Нахождение комплексной функции передачи. Для нахождения комплексной функции передачи воспользуемся методом обобщенных чисел.
Рис 2. Схема фильтра для вычисления комплексной функции передачи. Составим проводимости узлов: 0: Y= 2: Y= 1: Y= 3: Y= Мы дополнительно ввели один узел между элементами L2 и C2. Диагональная матрица собственных проводимостей узлов Помножим все элементы на p и заменим ; ; ; Получаем звездное число: Напишем обобщенное число: = Далее определяем древесное число: Определитель: Числитель функции передачи: Древесное число числителя: Формула для вычисления функции передачи: H41(p)= Числитель: Подставим все значения в формулу и поделим на p: H41(p)= Преобразуем обратно Г1 =1/L1 и Г2 =1/L2 Подставим все значения элементов в формулу H41(p),получаем: Перейдем к нормированной частоте: Для проверки и для того, чтобы удостовериться, что расчеты методом обобщенных чисел верны, воспользуемся результатом, полученным при использовании программы General Numbers.vi где. Как мы видим, функция передачи, полученная методом обобщенных чисел, полностью совпадает с функцией передачи, рассчитанной с помощью программы General Numbers.vi. 3. Карта полюсов и нулей По ранее найденной комплексной функции передачи цепи определим полюса и нули: Для нахождения нулей выпишем отдельно числитель функции и приравняем его к нулю. Корни данного уравнения и будут являться нулями. =0 Решая данное уравнение, получим: p1,2,3,4= Для нахождения полюсов выпишем отдельно знаменатель функции и приравняем его к нулю. Корни данного полинома и будут являться полюсами. Решив данное уравнение, мы получили полюса: p1,2=-0.4775 1.3610j p3,4=-0.2296 0.6542j Рис 3. Карта полюсов и нулей. По полученным значениям построим карту полюсов и нулей: По виду карты полюсов и нулей можно определить некоторые особенности цепи: 1. Цепь является минимально-фазовой, т.к. в правой полуплоскости отсутствуют нули. 2. Цепь является устойчивой, т.к. в правой полуплоскости нет полюсов. 4. Нахождение функций АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ. Графики функций.
Рис 4. Амплитудно-частотная характеристика. Графики АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ построим с помощью программ MultiSim 10 и Micro Cap 9. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяется как: = Рис 5. Фазо-частотная характеристика. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) определяется как: По ФЧХ определяем время задержки сигнала: мкс. Логарифмическая АЧХ определяется как: 20*log(H(w)) Рис 6. Логарифмическая АЧХ. По графику определяем крутизну среза Sсреза=70 дБ/дек, что соответствует Sсреза =21 дБ/окт. 5. Импульсная и переходная характеристики. Графики характеристик 5.1 Импульсная характеристика цепи Импульсную характеристику посчитаем по формуле: где H1(p) – числитель функции передачи; H2(p) – знаменатель функции передачи; e – основание натурального логарифма; k – порядковый номер полюса.
Полюса функции передачи: p1= p2= p3= p4= H1=p4 + 2p2 + 1 H2=p4 + 2.8284p3 + 5.999p2 + 2.8284p + 2 g(t)= Рис 7. График импульсной характеристики цепи. 5.2 Переходная характеристика цепи. Связь между импульсной и переходной характеристиками: Получаем график: Рис 8. График переходной характеристики цепи. Для наглядности и сравнения приведем оба графика в одной системе координат: Рис 9. Графики переходной и импульсной характеристик цепи.