Свойства преобразования Фурье
1. Прямое и обратное преобразование Фурье являются линейными операторами, следовательно, действует принцип суперпозиции. Если 
, то 
.
2. Прямое и обратное преобразование Фурье являются взаимно однозначными.
3. Свойство запаздывания.
Если 
, то
(в данном случае использованы подстановки: 
).
4. Спектральная функция δ-функции.
Используя общее выражение спектральной функции и фильтрующее свойство δ-функции, получим
.
5. Спектральная функция комплексного гармонического сигнала
.
(2.5)
Используя одно из определений δ-функции 
и выполняя в нём взаимную замену t и w (или f), получим
и 
.
Сопоставляя полученный результат с (2.5), имеем
(2.6)
6. Скалярное произведение комплексных сигналов в спектральной области. Пусть 
и 
– комплексные функции на интервале (–T/2, T/2). Их скалярное произведение
Из полученного результата для вещественных функций 
вытекает равенство Парсеваля (обобщённая формула Рэлея)
,
где 
– энергия сигнала ,
а 
– спектральная плотность энергии.
Для сигналов x(t), заданных на бесконечной оси времени (–¥,+¥), с 
, но имеющих ограниченную мощность 
, вместо спектральной плотности энергии 
можно использовать спектральную плотность мощности (энергетический спектр)
.
Тогда 
, т.к.
и 
– чётные функции, 
– односторонняя спектральная плотность мощности (энергетический спектр).
7. Скалярное произведение комплексных сигналов и 
в спектральной области. 
.
При 
и 
,
–
– корреляционная функция сигнала x(t).
Из последнего выражения вытекают важные соотношения между корреляционной функцией и энергетическим спектром сигнала
,
.
8. Спектр произведения сигналов 
.
,
– – свертка функций 
и 
.
Таким образом, спектральная функция произведения двух сигналов является свёрткой их спектральных функций.
Справедливо также и обратное соотношение
.
9. Свойство смещения спектра.
Если 
, то 
. (2.7)
10. Ширина спектра.
Теоретически ширина спектра сигналов бесконечна. Однако, учитывая, что интенсивность спектральных составляющих реальных сигналов уменьшается с ростом их частоты (не обязательно монотонно), можно ввести понятие практической (конечной) ширины спектров (рис. 2.3 и 2.4). Практическую ширину спектра DW можно определять как ширину частотного интервала, в пределах которого амплитудный спектр S(w) не меньше некоторого условного уровня g (например g = 0,1) от S(w)max или энергия (мощность) сигнала составляет определённую часть g (например g = 0,9) от полной
.
Для импульсов простых форм (прямоугольной, треугольной и т.п.), спектральная функция которых периодически принимает нулевые значения с ростом частоты (рис. 2.3 и 2.4), практическую ширину спектра часто определяют по первому или второму или иному «нулю» амплитудного спектра.
Независимо от способа определения практической ширины спектра Т-финитного сигнала выполняется общая закономерность – произведение практической ширины спектра на длительность сигнала Dt есть константа C, зависящая только от формы импульса
DW·Dt = C.
Это соотношение имеет фундаментальное значение в теории связи. Из него вытекает, что чем короче сигнал, тем шире его спектр и, следовательно, тем более широкополосный канал требуется для его передачи.