Под дискретизацией сигналов (в узком смысле) понимают преобразование аналогового сигнала x(t) в последовательность отсчётов его мгновенных значений, взятых через интервалы времени Dt (рис. 2.5)
, k = 0, ±1, ±2,…,
Dt – шаг дискретизации,
– частота дискретизации.
x(t) а t xд(t) б t yр(t) 1 в t Рис. 2.5. Дискретизация сигнала |
Для аналитического описания процесса дис-кретизации используем решётчатую функцию (рис. 2.5, в) вида ,
где .
Функция связана с функцией 1(t) (единичного скачка) и d-функцией следующим образом
. (2.8)
Введение функции позволяет процесс дискретизации аналогового сигнала x(t) выразить произведением вида (рис. 2.5, б)
.
Как и d-функция обладает фильтрующим свойством
.
Поскольку периодическая функция с периодом Dt, то её можно представить рядом Фурье
, где
(фильтрующее свойство!)
и, следовательно, .
Учитывая свойство спектральной функции комплексного гармонического колебания (2.6) и выражение (2.8), имеем
.
Исходя из очевидных соотношений , получим
. (2.9)
Окончательно
(2.10)
и по свойству смещения спектра (2.7)
.
Из (2.10) вытекает, что процесс дискретизации сигналов можно реализовать на перемножителе (рис.2.6).
Теорема отсчётов
Любой F-финитный сигнал (сигнал с ограниченным частотой Fв спектром) точно определяется последовательностью своих отсчётов, взятых через интервалы .
Справедливость этого утверждения следует из рассмотрения спектров, приведённых на рис. 2.7. На рис. 2.7(а) изображён двусторонний спектр исходного аналогового сигнала , ограниченный частотой . На рис. 2.7(б) –спектр решетчатой функции , построенный по выражению (2.9). На рис. 2.7 (в, г и д) представлены спектры дискретизированного сигнала при разных соотношениях частот дискретизации и . Обратите внимание, что в результате дискретизации сигнала его спектр периодически повторяется по оси частот с периодом .
Исходя из свойства взаимно однозначного соответствиявременного и спектрального представлений сигнала, можно утверждать, что точное восстановление сигнала в аналоговой форме по его отсчётам возможно, если из спектров (рис.2.7 (в, г и д)) можно получить спектр (рис. 2.7 (а)). Очевидно, что это достижимо:
1) фильтрацией дискретизированного сигнала с помощью идеального ФНЧ с частотой верхнего среза ,
2) только в случае , когда отсутствует наложение спектров, такое, как показано на рис. 2.7 (д).
Таким образом, процедура восстановления сигнала по
отсчётам может быть осуществлена идеальным ФНЧ с передаточной функцией
,
и, соответственно, с импульсной характеристикой
.
Поскольку импульсная характеристика цепи есть её реакция на воздействие в виде d-функции , то легко определить реакцию идеального ФНЧ на дискретизированный сигнал
Выражение известно в литературе как ряд Котельникова (с масштабным коэффициентом с) и представляет собой частный случай обобщенного ряда Фурье, где базисом является система функций , а коэффициентами разложения служат отсчёты мгновенных значений сигнала.
На практике абсолютно точное восстановление сигналов по их отсчётам невозможно по следующим причинам:
1) Идеальный ФНЧ–физически нереализуемая цепь, т.к. его импульсная характеристика отлична от 0 при t<0. Характеристики реальных ФНЧ могут быть приближены к идеальным лишь с определенной погрешностью, тем меньшей, чем больше задержка.
2) Реальные сигналы являются Т-финитными, а следовательно имеют неограниченный по частоте спектр. Если всё же спектр сигнала ограничить частотой , то на интервале существования сигнала Т число независимых отсчётов N, определяющих сигнал с заданной погрешностью, становится конечным
,
где – база сигнала.
При осуществлении дискретизации сигнала, когда частота дискретизации выбрана, необходимо использовать антиэлайсинговыйФНЧ с частотой верхнего среза для ограничения спектра сигнала и предотвращения тем самым искажений, вызванных перекрытием спектров (рис.2.4 (д)) (антиэлайсинговый – от слова «элайсинг», означающего наложение спектров).