Квазигармоническое представление сигналов

Во многих случаях сигнал удобно записывать в квазигармонической форме в виде

,

где – называют огибающей,

- полной фазой,

– частотой (выбираемой произвольно),

– начальной фазой сигнала.

Для определения и введём в рассмотрение комплексный сигнал , получаемый из действительного сигнала следующим образом:

,

– называют сопряжённым сигналом (связанным некоторым образом с ). Тогда

, .

Поскольку сопряженный сигнал можно связать с исходным разными способами, то задача вычисления огибающей и полной фазы оказывается неоднозначной.

По ряду причин, часть из которых станет понятной из дальнейшего, в качестве сопряжённого удобно выбрать преобразованный по Гильберту исходный сигнал

.

Комплексный сигнал вида называют аналитическим сигналом.

Преобразование Гильберта в спектральной области сводится к сдвигу фаз всех спектральных составляющих сигнала на угол в области положительных () и на в области отрицательных () частот.

С точки зрения схемотехники преобразователь Гильберта – это фазовращатель (рис. 2.9) с передаточной функцией

или ,

где – – знаковая функция.

Найдём импульсную характеристику преобразователя Гильберта

.

Первый интеграл в полученном выражении равен 0 в силу интегрирования нечетной функции при симметричных пределах, а второй сводится к табличному интегралу вида

при .

Окончательно получаем

.

Из полученного результата с очевидностью вытекает невозможность физической реализации преобразования Гильберта, т.к. при t < 0. Тем не менее, реально преобразование Гильберта осуществляют приближённо, допуская временную задержку, тем большую, чем выше требования к точности преобразования.

Рассмотрим преобразование Гильберта во временной области. Из рис. 2.9 вытекает

.

– прямое преобразование Гильберта.

Поскольку

,

то, после умножения обеих частей равенства на , получим

,

откуда следует, что передаточная функция обратного преобразования Гильберта отличается от передаточной функции прямого только знаком

.

Соответственно

–

– обратное преобразование Гильберта.