через его квадратурные компоненты

Любой действительный сигнал можно записать в виде

.

,

где – косинусная,

– синусная

квадратурные компоненты сигнала ,

– комплексная огибающая.

Представление через квадратурные компоненты особенно полезно для узкополосных сигналов, у которых они оказываются медленно меняющимися функциями по сравнению с (при выборе внутри спектра сигнала ). Формально условие узкополосности сигнала «в расширенном смысле» можно записать следующим образом

, где – верхняя частота в спектре

Обработку узкополосных сигналов можно выполнить проще и точнее через обработку их квадратурных компонентов. Действительно, если выполняется условие узкополосности сигнала, то спектр комплексного сигнала вида

,

получаемого сдвигом спектра огибающей вверх на полностью располагается в области положительных частот, следовательно этот сигнал – аналитический и его мнимая часть является преобразованием Гильберта действительной части

.

Таким образом, можно считать, что преобразование Гильберта узкополосного сигнала сводится к сдвигу фаз на угол –90° гармонических колебанийи не затрагивает его квадратурных компонентов.

На рис 2.10 приведена векторная диаграмма аналитического сигнала. Она представляет собой комплексную плоскость с вращающим-ся и меняющим свою длину вектором .

Угловая скорость его вращения изменяется во времени по закону

.