Линейные пространства
Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа.
ЛинейнымпространствомL над полем F называют множество элементов 
, называемых векторами, для которых заданы две операции –сложение элементов (векторов) 
и умножение векторов на элементы из поля F (называемые скалярами)
. Не вдаваясь в математические детали, в дальнейшем, под полем скаляров будем понимать множества вещественных чисел R (случай действительного пространства L) или комплексных чисел С (случай комплексного пространства L). Эти операции должны удовлетворять системе аксиом линейного пространства.
1. Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр:
,
.
2. Свойства сложения:
ассоциативность,
коммутативность.
3. Свойства умножения на скаляр:
ассоциативность,
дистрибутивность суммы векторов,
дистрибутивность суммы скаляров.
4. 
существование нулевого вектора.
5. 
существование проти-
воположного вектора.
Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами
,
называют линейной комбинацией (многообразием). Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов 
при разных ai (не затрагивая 
) также образует линейное пространство, называемое линейной оболочкой для векторов 
.
Множество векторов называют линейно независимыми, если равенство
возможно лишь при всех ai = 0. Например, на плоскости любые два неколлинеарные вектора (не лежащие на одной прямой) являются линейно независимыми.
Система линейно независимых и ненулевых векторов 
образует в пространстве L базис, если
.
Этот единственный набор скаляров {ai}, соответствующий конкретному вектору 
, называют егокоординатами(проекциями) по базису 
.
Благодаря введению базиса операции над векторами превращаются в операции над числами (координатами)
.
Если в линейном пространстве L можно отыскать n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов зависимы, то n – размерностьпространства L (dim L = n).