Передаточная характеристика фильтра Баттерворта

Наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n-го порядка определяется следующим образом:

, (1)

где n = 1, 2, 3, … .

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно убывает при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики, что можно видеть из рис. 5, где для А = 1 изображены некоторые характеристики фильтра Баттерворта.

Рис. 5. АЧХ фильтра Баттерворта нижних частот

(n – порядок фильтра)

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцией вида

, (2)

где K – постоянное число.

Для нормированного фильтра, т.е. при w_с = 1 рад/с, передаточную функцию можно записать в виде произведения сомножителей для n = 2, 4, 6,... . как

(3)

или для n = 3, 5, 7, ... как

. (4)

В обоих случаях коэффициенты задаются при b₀ = 1 и для k = 1, 2, 3, ... следующим образом:

; . (5)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты w = 0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n-го порядка и вследствие этого называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике фильтра Чебышева.

Однако фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (более близка к линейной), чем соответствующие фазочастотные характеристики фильтров Чебышева, что согласуется с общим правилом для фильтров данного типа: чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазочастотная, и наоборот.