Пусть - физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале . Это конечная импульсная характеристика (КИХ).
Преобразование Фурье от {h(n)} – частотная характеристика фильтра:
является периодической по частоте с периодом , т.е.:
, где
Рассмотрим действительные последовательности. Тогда (ранее рассматривали), можно получить, что:
, при
т.е. модуль АЧХ – симметричная функция, а ФЧХ – симметричная.
На практике часто требуется строго линейная ФЧХ, т.е.:
где ;
- постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации.
Можно показать, что для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
(*)
(**) h(n)=h(N-1-n) ;
Уравнение (**) - означает условие симметрии, чтобы ФЧХ была строго линейна.
Уравнение (*) – постоянная фазовая задержка.
Рассмотрим типичные импульсные характеристики, удовлетворяющие условию симметрии (**) при четно и нечетном N.
Уравнение при означает, что фильтр имеет постоянные как групповую (производная от ФЧХ по частоте), так и фазовую (отношение фазы к частоте) задержки.
Если постоянной будет только групповая задержка, можно определить еще один тип фильтра с ЛФХ, т.е.:
тогда условие ЛФХ:
h(n)=h(N-1-n) ;
Рассмотрим типичные импульсные характеристики, удовлетворяющие этим условиям:
Т.о. существуют 4 различных вида КИХ-фильтров с ЛФХ.
Частотные характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ.
Фильтр вида 1: (симметричная импульсная характеристика, нечетное N)
Можно сказать, что ЧХ:
Фильтр вида 2: (симметричная импульсная характеристика, четное N)
Можно показать, что ЧХ:
Т.о. отметим, что у таких фильтров:
при независимо от значений b(n) bkb h(n), т.е. нельзя построить ФВЧ.
Фильтр вида 3: (антисимметричная импульсная характеристика, нечетное N)
В том случае ЧХ – ряд синусов:
Фильтр вида 4. (антисимметричная импульсная характеристика, четное N)
Частотная характеристика:
при .
Методы расчета КИХ-фильтров c ЛФХ
3 класса методов расчета:
1) Метод взвешивания с помощью окна
2) Методы постоянной выборки
3) Методы расчета оптимальных (по Чебышеву) фильтров