Т.к. частотная характеристика ЦФ – периодическая функция частоты, ее можно представить рядом Фурье:
(*) , где
Коэффициенты ряда Фурье, т.е. h(n) – совпадает с коэффициентами импульсной характеристики ЦФ.
Трудности использования соотношения (*):
1) Импульсная характеристика h(n) – получается имеет бесконечную длину, т.к. суммирование в пределах .
2) Фильтр – физически нереализуем,. Т.к. h(n) начинается в , т.е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.
Один из методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию - усечение (ограничение) бесконечного ряда Фурье (*) за .
Однако простое усечение ряда приводит к хорошо известному явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций до и после разрывов в аппроксимируемой частотной характеристике и в увеличении переходной полосы.
Простое увеличение числа отсчетов h(n), т.е. увеличение M, не всегда приводит к желаемому результату, хотя иногда это приводит к улучшению аппроксимации частотной характеристики.
Лучшие результат дает метод, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины a(n), называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье h(n) в формуле (*) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье.
Вывод: с увеличением N – уменьшается полоса пропускания ФНЧ.
Нельзя получить боковой лепесток с подавлением больше чем –13 дБ.