Лекция. 3. Спектральное представление колебательных процессов.

Обычной и естественной системой отсчета для нас является время. Мы наблюдаем, как развивается, то или иное событие во времени. Для наблюдения изменения во времени мгновенных значений величины какого-то электрического явления (или любого другого явления, переведенного в напряжение посредством надлежащего преобразователя) можно использовать осциллограф. Иными словами, мы используем осциллограмму для наблюдения формы сигнала во временной области. Частотная представление - альтернатива временной области.

На рис показано временное и частотное представление сложного сигнала, состоящего из двух частотных составляющих. В частотной области показан амплитуды каждой синусоидальной волны в спектре в зависимости от частоты. Как видно, в данном случае спектр состоит лишь из двух волн.

Рисунок 3.1. Связь между временной и частотной областью

Спектр – это набор синусоидальных волн, которые, будучи определенным образом, скомбинированы, дают изучаемый нами сигнал во временной области.

Теория Фурье гласит, что любое электрическое явление во временной области может быть представлено также одной или комбинацией синусоидальных волн с соответствующими частотами, амплитудами и фазами. То есть можно преобразовать сигнал во временной области в его эквивалент в частотной области. Использование модели гармонических колебаний позволяет описывать сложные периодические движения.

Периодические сигналы.

Еще в 1822 году французский физик и математик Жан Батист Жозеф Фурье в своей работе «Аналитическая теория теплоты» показал, что любая периодическая функция может быть представлена в виде суммы гармонических функций (то есть синусов и косинусов), причем частоты этих функций являются кратными основной частоте. Так, если период некоторой функции x(t) равен T, то эта функция может быть представлена в виде суммы (разложения Фурье):

где ω = 2π/T , коэффициенты Фурье рассчитываются по формулам

В общем случае эта сумма должна содержать бесконечно много слагаемых, однако в большинстве практически значимых случаев коэффициенты этого разложения достаточно быстро убывают с ростом номера k (и соответствующей частоты ω_k = k2π/T), поэтому практически всегда с достаточной степенью точности можно ограничиться относительно небольшим числом слагаемых.
С разложением периодической функции хорошо знакомы музыканты, которые знают, что каждой ноте (основному тону), взятой на любом музыкальном инструменте соответствует целый набор кратных частот (обертонов). Набор этих колебаний с кратными частотами составляет тембр звука. Член ряда Фурье называется первой гармоникой.Если колебания среды носят синусоидальный характер, сигнал называют гармоническим или чистым. Несколько гармонических сигналов образуют совокупность, называемую сложным звуком. В этом случае чистый звук с наименьшей частотой называют основным тоном, а остальные ‑ обертонами. Если колебания носят непериодический произвольный характер, то такой звук называют шумом(рис.3.2).

Рис. 3.2.. Типовые колебания воздуха

На рис. 3-3 показана временная форма сложного сигнала.

Рисунок 3-3. Сложный сигнал во временной области

Рассмотрим примеры:

На рис. 3.4 изображены два синусоидальных колебания, частоты которых относятся как 1:5, а отношение амплитуд выбрано 5:1, и результат сложения этих колебаний:

и .

Рис. 3.4. Сложение двух колебаний (отношение частот 5:1, отношение амплитуд 1:3)

На рис.3.5 представлена сумма двух колебаний с одинаковой амплитудой, но несколько отличающимися частотами ; и сумма этих колебаний представляющее собой синусоидальное колебание с периодически изменяющейся амплитудой. Такую форму колебаний называют биениями.

Рис. 3.5. Сложение двух синусоидальных колебаний с равными амплитудами (соотношение частот 10:9).

Последовательность прямоугольных импульсов (рис.3.6) также можно представить в виде суммы простых синусоидальных колебаний. Это уже удается сделать с некоторым приближением, сложив три синусоиды S₁, S₃ и S₅. Получится кривая S_r. Большее приближение к последовательности прямоугольных импульсов может быть достигнуто, если увеличить число слагаемых синусоид S₇, S₉ и т. д.

Рис.3.6. Последовательность прямоугольных импульсов, три первые гармоники и их сумма

Рис. 3.7. Представление прямоугольных импульсов с помощью гармонических функций

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица1

График f(t)	Разложение в ряд Фурье функции f(t)	Примечание
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T, то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T. Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.

Рисунок 3.8 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.

Преобразование Фурье также может быть осуществлено и из частотной области во временную. В этом случае, опять же, теоретически нам надо знать все спектральные составляющие в диапазоне частот до ± бесконечности. На самом же деле, производя измерения только в той области частот, в которой содержится наибольшая часть энергии сигнала, можно получить вполне приемлемые результаты. При преобразовании Фурье из частотной области очень важно знать фазу индивидуальных составляющих. Например, прямоугольный периодический сигнал, переведенный в частотную область и обратно, может превратиться в пилообразный, если не были определены фазы.

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональные функции. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

функции , являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышева и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Причины использования спектрального представления. Расчет физических процессов в частотном представлении имеет огромные преимущества для линейных процессов, поскольку позволяет заменить сложную процедуру решения дифференциальных уравнений решением алгебраических уравнений. Сигнал может быть разложен на отдельные синусоидальные волны, или спектральные составляющие, которые затем можно исследовать независимо друг от друга. Каждая такая волна описывается амплитудой и фазой. Если сигнал, который мы хотим исследовать, - периодический (как в нашем случае), то по теории Фурье составляющие его синусоидальные волны будут разнесены в частотной области на 1/Т, где Т – это период сигнала. Измерения в частотной области способны показать, сколько энергии имеется на каждой конкретной частоте.