Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом

Ход рассуждений для определённого, двойного и тройного интегралов одинаков. Приведём эти рассуждения для двойного интеграла (рис. 1). Рассмотрим функционал

.

Здесь .

Вариационная задача:

(6)

Здесь Γ – граница области D. Предполагаем, что Γ непрерывна и имеет непрерывные производные 1-го и 2-го порядков по своим аргументам; .

Пусть — решение задачи (6). Образуем функции сравнения

,

причём . Тогда, очевидно, и .

Рассмотрим разность

.

Отсюда получаем необходимое условие экстремума

,

или, в явном виде,

.

Исключим . Для этого введём функцию η под знак производной:

,

откуда

.

Воспользуемся известной формулой Грина

для второго интеграла в последнем равенстве. Получим:

.

А так как , то получаем уравнение Эйлера в следующем виде:

. (7)

Уравнение (7) — дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. В случае, когда , мы имеем вариационную задачу для функционала

,

а соответствующее уравнение Эйлера будет таким:

.