Ход рассуждений для определённого, двойного и тройного интегралов одинаков. Приведём эти рассуждения для двойного интеграла (рис. 1). Рассмотрим функционал
.
Здесь .
Вариационная задача:
(6)
Здесь Γ – граница области D. Предполагаем, что Γ непрерывна и имеет непрерывные производные 1-го и 2-го порядков по своим аргументам; .
Пусть — решение задачи (6). Образуем функции сравнения
,
причём . Тогда, очевидно, и .
Рассмотрим разность
.
Отсюда получаем необходимое условие экстремума
,
или, в явном виде,
.
Исключим . Для этого введём функцию η под знак производной:
,
откуда
.
Воспользуемся известной формулой Грина
для второго интеграла в последнем равенстве. Получим:
.
А так как , то получаем уравнение Эйлера в следующем виде:
. (7)
Уравнение (7) — дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. В случае, когда , мы имеем вариационную задачу для функционала
,
а соответствующее уравнение Эйлера будет таким:
.