рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Связь
- /
- ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ
Реферат Курсовая Конспект
ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ
ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ - раздел Связь, Министерство Транспорта Российской Федерации...
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ»
_______________________________________________________________
Голоскоков Д.П., Караваев В.И.
Методические указания
И
Варианты курсовой работы
По дисциплине
«ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ»
Санкт-Петербург
УДК 517
ББК 22.3
Рецензент: д.т.н., профессор Сухотерин М.В.
Голоскоков Д.П.
Методические указания и варианты курсовой работы по дисциплине «Вариационные методы в математической физике». – СПб: СПГУВК, 2012. – 80 с.
Методические указания содержат краткие теоретические сведения, варианты заданий для курсовой работы по дисциплине "Вариационные методы в математической физике" и примеры решения задач.
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010400.62 – "Прикладная математика и информатика".
Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций
УДК 517
ББК 22.3
© Голоскоков Д.П., 2012
© Санкт-Петербургский государственный
университет водных коммуникаций, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие указания. 4
Краткие теоретические сведения из вариационного исчисления. 5
Простейшая вариационная задача. 5
Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом 7
Прямые методы вариационного исчисления. 8
Конечно-разностный метод Эйлера. 8
Метод Ритца. 9
Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа. 10
Метод Бубнова–Галеркина. 13
О координатных функциях. 13
Варианты заданий для курсовой работы.. 15
Примеры решения задач. 45
Рекомендуемая литература. 54
Общие указания
Для выполнения работы необходимо использовать какие-либо программы символьных вычислений (рекомендуется Maple). В этом случае в отчет можно включить… 1. Учебная цель и задача работы. Целью работы является закрепление на практике… 2. Методика самостоятельной работы над заданием. Студент изучает материалы лекций и указания к лабораторным работам,…Краткие теоретические сведения из вариационного исчисления
Простейшая вариационная задача
В курсе вариационного исчисления рассматриваются задачи исследования на экстремум функционалов. Функционалом называется правило, по которому каждой функции из некоторого их класса ставится в соответствие число. Рассмотрим функционал, зависящий от функции одной переменной и её производной:
(1)
с заданными граничными условиями:
(2)
где F(x,y,y¢) — непрерывная функция трёх переменных и дифференцируемая функция двух своих последних аргументов.
Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации, вычисленной на экстремальной функции y0(x):
. (3)
Вариация функционала dJ — это главная, линейная относительно вариации функции dy, часть его приращения DJ. В нашем случае dJ(y) вызывается вариацией независимой переменной — функции y(x) и её производной y¢(x): y(x) = y0(x)+dy(x); y¢(x) = y¢0(x)+dy¢(x); причём в силу граничных условий на концах интервала dy(x1) = dy(x2) = 0.
Вычислим вариацию функционала как линейную часть его приращения. Для этого разложим F(x,y0+dy0,y¢0+dy¢) в ряд Тейлора в окрестности экстремальной функции с удержанием только линейных членов, а затем проинтегрируем по частям:
(4)
Так как вариация функции dy(x) — произвольная, то в силу основной леммы вариационного исчисления первый сомножитель под интегралом должен равняться нулю. Таким образом, функция, на которой достигается экстремум, должна удовлетворять дифференциальному уравнению
. (5)
Уравнение (5) называется дифференциальным уравнением Эйлера. Оно является в общем случае уравнением второго порядка и дополняется двумя граничными условиями (2). Любое его решение называется экстремалью. Это кривая, на которой может достигаться экстремум.
Так как уравнение Эйлера дополняется не начальными, а граничными условиями, то теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения здесь неприменима. Иными словами, экстремаль не обязательно существует, а если существует, то не обязательно единственна. Всё зависит от вида уравнения Эйлера (5) и разрешимости системы уравнений для граничных условий (2).
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Эйлера (5).
1. Подынтегральная функция F не зависит от производной y¢ или зависит от неё линейно. В этом случае уравнение Эйлера становится алгебраическим, в его решении нет произвольных постоянных, и оно не обязательно удовлетворяет условиям (2). Если граничные условия (2) удовлетворяются, то мы получили экстремаль, а если нет – то нет и решений у данной вариационной задачи.
2. Частный случай для случая 1: F = P(x,y)+y¢Q(x,y), причём ¶P/¶y = ¶Q/¶x. В этом случае уравнение (5) обращается в тождество 0 = 0, и экстремалью будет любая кривая, соединяющая точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Криволинейный интеграл (1) в этом случае не зависит от линии интегрирования, и вариационная задача теряет смысл.
3. Подынтегральная функция F не зависит явно от y. Уравнение Эйлера имеет первый интеграл Fy¢ = C1. Это уравнение первого порядка, и оно решается легче, чем исходное уравнение второго порядка.
4. Если подынтегральная функция F не зависит явно от x, то уравнение Эйлера также имеет первый интеграл вида F-y¢Fy¢ = C1. Действительно, уравнение Эйлера (5) можно записать в виде Fy - Fxy¢ - Fyy¢y¢ - Fy¢y¢y¢¢ = 0. Из-за явной независимости от x это выражение имеет вид Fy - Fyy¢y¢ - Fy¢y¢y¢¢ = 0. Но такой же вид имеет и полная производная по x от выражения F - y¢Fy¢ = C1: d(F-y¢Fy¢)/dx = = Fyy¢ + Fy¢y¢¢ - y¢¢Fy¢ - y¢(Fyy¢y¢+Fyy¢y¢¢) = Fyy¢ - Fyy¢y¢2 - Fyy¢y¢y¢¢ = 0, что после сокращения на y¢ совпадает с уравнением Эйлера.
Чтобы проверить, действительно ли достигается экстремум на найденной экстремали, нужно воспользоваться достаточными условиями экстремума. Простейшее из них — это условие Лежандра. Для его применения нужно вычислить Fy¢y¢ и проверить знак этого выражения на кривых, близких к экстремали. Если Fy¢y¢ > 0 для всех y(x), близких к экстремали, и для любых y¢(x), то на данной экстремали достигается сильный минимум. Если же неравенство Fy¢y¢ > 0 выполняется для всех y(x), близких к экстремали, но только для y¢(x), близких к экстремали, то достигается слабый минимум. При Fy¢y¢ < 0 достигается максимум (соответственно сильный или слабый).
Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом
. Здесь . Вариационная задача:Прямые методы вариационного исчисления
Конечно-разностный метод Эйлера
(8) с заданными граничными условиями: (9)Метод Ритца
Решение уравнения , (6) где А — положительный оператор, сводится к нахождению минимума функционалаОсновные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа
Первая краевая задача или задача Дирихле для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона , (14) и краевому условиюМетод Бубнова–Галеркина
Пусть неизвестная функция u(P) удовлетворяет в некоторой области Ω неоднородному уравнению (28) и, может быть, некоторым однородным граничным условиям.О координатных функциях
Система функций (x – a)m(b – x)mxk полна по энергии оператора при краевых условиях u(k)(a) = u(k)(b) = 0, k = 0,1,2,…,(m – 1).Варианты заданий для курсовой работы
Вариант № 1.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Уравнение
описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.
1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании [9].
2. Пусть балка имеет единичную длину и свободно оперта на концах. Краевые условия, соответствующие свободно опертой балке, имеют вид 
при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти отклонение балки, если 
.
3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.
Вариант № 2.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Уравнение
описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.
1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании [9].
2. Пусть балка имеет единичную длину и защемлена в обоих концах так, что 
при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Бубнова-Галеркина. Используя метод Бубнова-Галеркина, найти отклонение балки, если .
3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.
Вариант № 3.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти решение уравнения Лапласа 
в прямоугольнике 
, если на границе этого прямоугольника функция 
принимает следующие значения
.
Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением
.
Построить графики решений. В численных расчетах принять A = 1, B = 1, a = b = 1.
Вариант № 4.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
В некоторой двумерной задаче стационарной теплопроводности для квадрата со стороной длины 2 температура на сторонах x = ± 1 изменяется как 1 – y2, а на сторонах y = ± 1 – как 1 – x2.
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности [1].
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца и аппроксимацию, удовлетворяющую граничным условиям, найти распределение температуры на квадрате.
3. Построить графики приближенных решений.
Вариант № 5.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат |x| £ 1, |y| £ 1, если на сторонах y = ± 1 поддерживается температура 1000С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие 
.
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности [1].
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Методом Ритца найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.
3. Построить графики приближенных решений.
Вариант № 6.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
1. Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня [10].
2. Построить точное решение задачи о кручении стержня прямоугольного сечения: 
.
3. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца.
4. Решить методом Ритца задачу о кручении стержня прямоугольного сечения: . В качестве координатных функций взять полиномы.
5. Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением.
6. Вычислить крутящий момент 
.
7. Исследовать решение в зависимости от отношения сторон прямоугольника. Рассмотреть случай очень узкого прямоугольника.
Вариант № 7.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в квадрате 0 £ x £ l, 0 £ y £ l
при краевых условиях 
.
Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением
.
Построить графики решений, приняв 
.
Вариант № 8.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ a, 0 £ y £ b
при краевых условиях
.
Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.
Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 9.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Лапласа в квадрате 0 < x < 1, 0 < y < 1, если на границе этого квадрата решение принимает следующие значения
.
Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.
Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 10.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 11.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 5, 0 £ y £ 5
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 12.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 13.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 3
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 14.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 5
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 15.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня [10].
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, решить задачу о кручении стержня прямоугольного сечения
.
В качестве координатных функций взять полиномы.
Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением (предварительно построив точное решение задачи). Построить графики.
Вычислить интеграл
.
Вариант № 16.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Найти приближенное решение методом Ритца.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании; сформулировать основные типы граничных условий [9].
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения
на отрезке 
при граничных условиях 
на концах отрезка.
Построить точное решение и сравнить его с приближенным. Построить графики.
Вариант № 17.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 18.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 19.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 20.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
3. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 21.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 22.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 23.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 24.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 25.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 26.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 27.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 28.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат |x| £ 1, |y| £ 1, если на сторонах y = ± 1 поддерживается температура 10000С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие 
.
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности [1].
2. Подробно описать методику решения задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.
3. Построить графики приближенных решений.
4. Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 29.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать подробное описание метода Бубнова-Галеркина. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 30.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать подробное описание вариационного метода Ритца. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях 
. Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Примеры решения задач
Пример 1. Метод Ритца для одномерного интеграла.
Пользуясь методом Ритца, найти экстремали функционала
.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Определяем подынтегральную функцию:
>restart;
>F:=(x,y,y1)->x^2+y^2+y1^2;
Составим уравнение Эйлера для данного функционала. Для этого вычислим частные производные от F по y и y1 и полную производную по x от частной производной F по y1 (переменная y1 означает первую производную, а переменная y2 – вторую производную)
>dFdy:=diff(F(x,y,y1),y);dFdy1:=diff(F(x,y,y1),y1);
>d_dFdy1_dx:=diff(dFdy1,x);d_dFdy1_dy:=diff(dFdy1,y);
>d_Fdy1_dy1:=diff(dFdy1,y1);
Составим теперь уравнение Эйлера
>eq:=dFdy-d_dFdy1_dx-d_dFdy1_dy*y1-d_Fdy1_dy1*y2=0;
>eq:=simplify(lhs(eq)/2)=0;
>eq:=subs(y=y(x),y2=diff(y(x),x$2),lhs(eq))=0;
Решим полученное уравнение с заданными граничными условиями
>res:=dsolve({eq,y(-1)=1,y(1)=2},y(x));
>assign(res):y:=evalf(y(x));
Построим график точного решения
>py:=plot(y,x=-1..1,legend=`Точное решение`,
color=black):
>plots[display]({py});
Решим теперь эту задачу с помощью пакета VariationalCalculus:
>with(VariationalCalculus);
Определяем подынтегральную функцию:
>y:='y':f:=x^2+y(x)^2+diff(y(x),x)^2;
>EulerLagrange(f, x, y(x));
Решим уравнение Эйлера с заданными граничными условиями
>res1:=dsolve({op(%)=0,y(-)=1,y(1)=2},y(x));
assign(res1):y:=evalf(y(x));
То есть, как и следовало ожидать, получили тот же результат!
Решаем теперь нашу задачу методом Ритца. Выбираем базисные функции и определяем аппроксимирующую функцию. Рассмотрим два варианта — аппроксимация полиномами и аппроксимация тригонометрическими функциями:
>phi0:=x->y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1);
>phi:=(x,n)->sin(n*Pi*(x-x1)/(x2-x1));
>Us:=proc(x,N)option operator,arrow; local n;
phi0(x)+sum(a[n]*phi(x,n),'n'=1..N);
end proc;
>Up:=proc(x,N)option operator,arrow; local n;
phi0(x)+(x-x1)*(x-x2)*sum(a[n]*x^n,'n'=0..N);
end proc;
С целью автоматизации расчетов разработаем процедуру, формирующую и решающую систему уравнений метода Ритца, например, такую
>Ritz:=proc(F,u,i0,N,a)
local Fu,eqns,var,eq,i,res;global x1,x2;
Fu:=simplify(int(subs(y(x)=u,F),x=x1..x2)):
eqns:={}:var:={}:
For i from i0 to N do
eq[i]:=diff(Fu,a[i])=0: eqns:=eqns union {eq[i]}: od:Пример 2. Конечно-разностный метод Эйлера.
Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала
.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Аппроксимация подынтегральной функции конечными разностями:
> restart; interface(displayprecision = 5):
> F:=proc(Y,m,h)
(Y[m+1]-Y[m])^2/h^2+Y[m]^2+2*X[m]*Y[m]
end proc;
Интеграл заменяем суммой по формуле прямоугольников
> S1:=proc(h,F,N) options operator, arrow;
h*(sum(F(Y,i,h),i = 0 .. N-1))
end proc;
Задаем пределы интегрирования:
> a := 0; b := 1;
Выбираем число узловых точек и определяем шаг интегрирования:
> N:=10: h:=(b-a)/N;
Вычисляем абсциссы вершин ломаной
> for j from 0 to N do X[j] := a+j*h end do:
Функционал как функция ординат вершин ломаной:
> Phi:=S1(h,F,N);
Учет граничных условий:
> Y[0]:=0; Y[N]:=0; Phi;
Составляем минимизирующую систему уравнений:
Gt; for k to N-1 do
Eq[k]:=evalf(diff(Phi,Y[k]))=0
end do:
var := {}: eqns := {}:
For k to N-1 do
eqns := `union`(eqns, {eq[k]}): end do: nops(var); nops(eqns);Пример 3. Метод Ритца для двойного интеграла.
Используя метод Ритца, найти экстремали функционала
Исследовать сходимость. Построить графики.
Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Выбираем базисные функции и определяем аппроксимирующую функцию:
>restart;
>phi0:=(x,y)->x/10+y^2/50;
>phi:=(x,y,i,j)->
sin(i*Pi*(x-x1)/(x2-x1))*sin(j*Pi*(y-y1)/(y2-y1));
>U:=proc(x,y,M,N)option operator,arrow;
local n,m;
phi0(x,y)+
sum(sum(a[m,n]*phi(x,y,m,n),'m'=1..M),'n'=1..N);
end proc;
Здесь также удобно разработать процедуру для автоматического составления и решения уравнений метода Ритца. Например, такую
>Ritz:=proc(F,M,N,a)local Fu,eqns,var,eq,i,j,res;
Fu:=simplify(int(int(F,x=0..1),y=0..2));
eqns:={}:var:={}:
For i from 1 to M do
For j from 1 to N do
eq[i,j]:=diff(Fu,a[i,j])=0: eqns:=eqns union {eq[i,j]}: od:Пример 4. Уравнение Эйлера для двойного интеграла.
Решить вариационную задачу для функционала, если на контуре области функция принимает заданные значения:
.
Решение. Будем решать задачу в среде Maple. Определим подынтегральную функцию. Для удобства обозначим производные функции 
по 
и по 
соответственно, через 
и 
:
>F:=proc(x,y,u,ux,uy) options operator, arrow;
ux^2+uy^2+2*y*u*cos(x)
end proc;
Уравнение Эйлера в этих обозначениях имеет вид:
.
Вычисляем последовательно производные в этом уравнении
> a1:=diff(F(x,y,u,ux,uy),u);
a2:=diff(F(x,y,u,ux,uy),ux);
a3:=diff(F(x,y,u,ux,uy),uy);
Составляем уравнение Эйлера для функционала
> EulerEq:=a1-(diff(subs(ux=diff(u(x,y),x),a2),x))-
(diff(subs(uy=diff(u(x,y),y),a3),y))=0;
Таким образом, получили следующее уравнение
> pde:=-(1/2)*op(2,lhs(EulerEq))-
(1/2)*op(3,lhs(EulerEq))=(1/2)*op(1,lhs(EulerEq));
Сформируем теперь граничные условия. Для этого определим граничную функцию
> f:=proc(x,y) options operator, arrow;
(1/10)*x+(1/50)*y^2
end proc;
Определяем граничные условия:
> bc:=u(0,y)=f(0,y),u(1,y)=f(1,y),
u(x,0)=f(x,0),u(x,2)=f(x,2);
Таким образом, задача математической физики поставлена: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
в прямоугольнике 
, и принимающую заданные значения на границе этого прямоугольника
,
.
Сформулированная задача классифицируется как задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике [1]. Это — неоднородная задача, причем неоднородности присутствуют как в граничных условиях, так и в уравнении.
Чтобы построить решение задачи разобьем ее на две вспомогательные задачи. А именно, будем искать решение задачи в виде суммы двух функций: 
. Функции 
и 
определим как решения следующих задач.
Задача 1: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
и граничным условиям
,
.
Задача 2: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
и граничным условиям
,
.
Определим эти задачи в Maple.
Задача 1:
> pde1:=diff(u1(x,y),x,x)+diff(u1(x,y),y,y)=
(1/2)*y*cos(x);
bc1:=u1(0,y)=0,u1(1,y)=0,
u1(x,0)=f(x,0),u1(x,2)=f(x,2);
Задача 2:
> pde2:=diff(u2(x,y),x,x)+diff(u2(x,y),y,y)=
(1/2)*y*cos(x);
bc2:=u2(0,y)=f(0,y),u2(1,y)=f(1,y),
u2(x,0)=0,u2(x,2)=0;
Очевидно, решение исходной задачи будет
> u:=proc(x,y) options operator, arrow;
u1(x, y)+u2(x, y)
end proc;
Проверим это. Подставим функцию в уравнение
> simplify(pde, {pde1, pde2});
Как видим, получили тождество. Проверим выполнение граничных условий
> bc;
Таким образом, условия на функцию тоже выполняются.
Рассмотрим задачу 1. Будем решать ее методом Гринберга [1]. Соответствующая задача Штурма-Лиувилля
очевидно, имеет решение[1]
> X:=proc(x,n) options operator, arrow;
sin(n*Pi*x)
end proc;
lambda:=proc(n) options operator, arrow;
n^2*Pi^2
end proc;
Действительно, подставим это решение в уравнение
> Diff(X(x,n),x,x)+lambda(n)*X(x,n) = 0;value(%);
Проверим выполнение граничных условий
>X(0,n)=0,X(1,n)=0;simplify(%,assume=integer);
Решение задачи 1, в соответствии с методом Гринберга, представим в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
.
Здесь учтено, что квадрат нормы собственных функций равен 
:
.
Действительно,
>int(X(x, n)^2, x = 0 .. 1);
simplify(%, assume = integer);
Уравнение для трансформанты 
получим, умножив исходное уравнение в частных производных на 
и проинтегрировав на отрезке 
:
>int(lhs(pde1)*X(x,n),x = 0 .. 1) =
int(rhs(pde1)*X(x,n),x = 0 .. 1);
>intPDE1 := simplify(%, assume = integer);
Преобразуем правую часть полученного уравнения
>LHS1:=IntegrationTools[Expand](lhs(intPDE1));
Первый интеграл берем по частям два раза:
>IntegrationTools[Parts](op(1, LHS1), sin(n*Pi*x));
I1 := simplify(%, assume = integer);
>IntegrationTools[Parts](I1, cos(n*Pi*x));
I1 := simplify(%, assume = integer);
Учтем граничные условия
>I1 := simplify(I1, {bc1});
Итак, первый интеграл с учетом преобразовался в выражение
> I1 := subs(op(4, I1) = U1(y, n), I1);
Второй интеграл в выражении LHS1 есть, очевидно, 
> I2:=subs(op(2,LHS1)=diff(U1(y,n),y,y),op(2,LHS1));
Таким образом, уравнение для трансформанты 
получено:
> ode1 := I2+I1 = rhs(intPDE1);
Сформируем граничные условия
>int(lhs(bc1[3])*X(x,n),x = 0 .. 1) =
int(rhs(bc1[3])*X(x,n),x = 0 .. 1);
>bcODE1:=simplify({subs(lhs(%) = U1(0,n), %)},
assume = integer);
>int(lhs(bc1[4])*X(x,n),x = 0 .. 1) =
int(rhs(bc1[4])*X(x,n),x = 0 .. 1);
>simplify({subs(lhs(%) = U1(2,n), %)},
assume = integer);
>bcODE1 := `union`(bcODE1, %);
Находим трансформанту
> res := dsolve(ode1, U1(y, n));
Удобно записать общее решение ОДУ так
>V1:=proc(y) options operator, arrow;
C1*sinh(n*Pi*y)+C2*sinh(n*Pi*(2-y))+
(-1+cos(1)*(-1)^n)*y/(-2*n*Pi+2*n^3*Pi^3)
end proc;
Проверим
>subs(U1(y,n) = V1(y), ode1);
simplify(subs(U1(y,n) = V1(y), ode1));
Все в порядке!
Формируем систему уравнений по граничным условиям
>subs({U1(0,n) = V1(0), U1(2,n) = V1(2)}, bcODE1);
Решаем систему
>solve(%, {C1, C2}); assign(%):
Проверка:
>subs(U1(y,n) = V1(y), ode1): simplify(%);
Итак, трансформанта найдена:
>U1 := unapply(V1(y), y, n);
Решение задачи 1 дается следующим рядом
>u1:=proc(x,y) options operator, arrow;
2*(Sum(U1(y, n)*X(x, n), n = 1 .. infinity))
end proc;
> u1(x,y);
Проверим найденное решение. Подставим решение в уравнение; отдельно рассмотрим левую и правую части уравнения. Левая часть:
> LHSpde := combine(lhs(pde1)); RHSpde := rhs(pde1);
Упростим левую часть уравнения:
> op(1, LHSpde);
> numer(op(1, LHSpde));
> expand(%);
> factor(%);
Таким образом, левая часть ДУЧП имеет вид
>LHSpde:=Sum(-2*Pi*n*y*sin(n*Pi*x)*(-1+cos(1)*
(-1)^n)/(-2+2*n^2*Pi^2), n=1..infinity);
Правая часть уравнения:
> RHSpde := rhs(pde1);
Покажем, что левая часть уравнения совпадает с правой частью, т. е.
>1/2*y*cos(x)=Sum(-2*Pi*n*y*sin(n*Pi*x)*(-1+cos(1)*
(-1)^n)/(-2+2*n^2*Pi^2),n = 1 .. infinity);
Для этого разложим функцию 
в ряд по собственным функциям 
на отрезке . Коэффициенты разложения:
>2*int(1/2*y*cos(x)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);
simplify(%, assume = integer);
Таким образом, уравнение выполняется.
Проверим выполнение граничных условий.
Граничные условия по переменной :
> simplify(u1(0,y), assume = integer);
simplify(u1(1,y), assume = integer);
Граничные условия по переменной :
> u1(x,0);
Это — разложение граничной функции 
в ряд по функциям на отрезке . Действительно, коэффициенты разложения
> 2*int(f(x,0)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);
simplify(%, assume = integer);
Далее,
> u1(x,2);
Это — разложение граничной функции 
в ряд по функциям на отрезке . Действительно, преобразуем общий член ряда
> q:=op(2, u1(x,2));
> q:=op(1,q);
> op(1,q);
> q:=%:combine(q);
Таким образом, мы имеем ряд
> 'u1(x,2)'=2*Sum(%*sin(n*Pi*x),n=1..infinity);
Коэффициенты разложения граничной функции в ряд по функциям на отрезке :
>2*int(f(x,2)*sin(n*Pi*x), x = 0 .. 1);
simplify(%, assume = integer);
что и требовалось доказать.
Итак, решение задачи 1 найдено. Читателю предлагается построить решение задачи 2 самостоятельно, в качестве упражнения. Приведем формулу этого решения, полученную в Maple
,
где
.
Окончательно решение задачи дается суммой решений задачи 1 и задачи 2: .
Рекомендуемая литература
1. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 539 с.
2. Голоскоков Д.П. Практический курс математической физики в системе Maple. Учебн. пособие. – СПб.: ООО «ПаркКом», 2010. – 640 с.
3. Голоскоков Д.П. Практический курс математической физики. Учебн. пособие. – СПб.: СПГУВК, 2007. – 214 с.
4. Голоскоков Д.П., Шкадова А.Р. Вариационные методы математической физики. Учебн. пособие. – СПб.: СПГУВК, 2009. – 94 с.
5. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – М., Наука, 1969.
6. Краснов Л. М., Макаренко Г. И., Киселёв А. И. Вариационное исчисление. – М., Наука, 1973.
7. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М., ГИТТЛ, 1957.
8. Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – М., Наука, 1970.
9. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 1995. – 560с.
10. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990. – 400 с.
Голоскоков Дмитрий Петрович
Караваев Василий Игоревич
Методические указания
И
Варианты курсовой работы
По дисциплине
«ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ»
– Конец работы –
Используемые теги: водных, коммуникаций0.036
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.101 сек.
Новости и инфо для студентов