Конечно-разностный метод Эйлера

Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала

(8)

с заданными граничными условиями:

(9)

где F(x, y, y¢) — непрерывная функция трёх переменных и дифференцируемая функция двух своих последних аргументов.

Решаем задачу методом Эйлера – значения функционала (8) рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариационной задаче кривых, а лишь на ломаных, составленных из заданного числа N прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин

, где .

На этих ломаных функционал (8) превращается в функцию ординат вершин ломаной. Ординаты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума, т. е. они определяются из системы уравнений

(ординаты и известны из граничных условий ).