Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала
(8)
с заданными граничными условиями:
(9)
где F(x, y, y¢) — непрерывная функция трёх переменных и дифференцируемая функция двух своих последних аргументов.
Решаем задачу методом Эйлера – значения функционала (8) рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариационной задаче кривых, а лишь на ломаных, составленных из заданного числа N прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин
, где .
На этих ломаных функционал (8) превращается в функцию ординат вершин ломаной. Ординаты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума, т. е. они определяются из системы уравнений
(ординаты и известны из граничных условий ).