Перечислим основные краевые задачи, связанные с уравнениями Пуассона и Лапласа, и их вариационные формулировки.
Первая краевая задача или задача Дирихле для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона
, (14)
и краевому условию
(15)
на границе S области Ω. Здесь Ω — некоторая конечная m-мерная область (можно считать m = 2 или m =3). Областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области и которые равны нулю на S.
Сформулированная задача Дирихле равносильна задаче о минимуме функционала
. (16)
Вторая краевая задача или задача Неймана для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона (14) и краевому условию
(17)
на границе S области Ω (n — внешняя нормаль к поверхности S). Здесь областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области ; удовлетворяют краевому условию (17) и удовлетворяют условию
. (18)
Условие (18) необходимо для единственности решения. Отметим, что для разрешимости задачи Неймана необходимо, чтобы
. (19)
Сформулированная задача Неймана равносильна задаче о минимуме функционала (16).
Краевое условие (17) — естественное, поэтому нет нужды ему удовлетворять заранее, отыскивая минимум функционала (16).
Третья краевая задача для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона (14) и краевому условию
(20)
на границе S области Ω. Здесь областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области и которые удовлетворяют краевому условию (20).
Сформулированная третья краевая задача равносильна задаче о минимуме функционала
. (21)
Краевое условие (20) – естественное.
Часто приходится решать уравнение Лапласа с сопутствующим ему неоднородным краевым условием. Приведем формулировки основных задач в этом случае.
Интегрирование уравнения Лапласа в области Ω при краевом условии (задача Дирихле)
(22)
приводит к отысканию минимума функционала
(23)
на множестве функций, удовлетворяющих условию (22); если краевое условие имеет вид (задача Неймана)
, (24)
то задача сводится к отысканию минимума функционала
(25)
на множестве функций, которые никаким краевым условиям не подчинены. Добавим к этому, что в случае краевого условия смешанного типа (третья краевая задача)
, (26)
соответствующий функционал имеет вид
. (27)