Московский Государственный Авиационный Институт Технический университет Кафедра 704 Информационно-управляющие комплексы Курсовая работа Тема Статистический анализ САР Выполнил ст. гр. 07-403 Корнилов Д.М. Руководитель Кудряшов С. В. Москва 1998г. I. Задание Привод гибкого сопла ракеты-носителя Данные Параметры воздействий на входах системы заданы в виде корреляционных функций где 1.2 Усилительное звено Kp13 1c Параметры первой нелинейности S0.5 K12.5 K21.9 Параметры второй нелинейности S27 c Параметры третьей нелинейности S1. Промоделировать состояние системы в нелинейном виде. 2. Линеаризовать нелинейные элементы и промоделировать состояние системы в линеаризованном виде. 3. Построить эволюцию матрицы ковариаций Содержание 1. Задание 2. Теоретическая часть 2.1 Случайные процессы и их математическое описание 2.2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему 2.3 Формирующий фильтр 2.4 Априорный статистический анализ 2.5 Статистическая линеаризация 3. Реализация 3.1 Система дифференциальных уравнений 3.2 Расчет системы в нелинейной форме 3.3 Расчет линеаризованной системы 4. Заключение 5. Список литературы I. Теоретическая часть A. Случайные процессы и их математическое описание Пусть t принадлежит T допустимому множеству.
Если t пробегает непрерывные значения на множестве T, то xt принято называть случайным процессом.
При каждом фиксированном tt возникает случайная величина xt которую принято называть значением случайного процесса.
Случайный процесс характеризуется совокупностью плотностей распределения вероятностей с возрастающей размерностью k1,2 n. Действительно величина равна вероятности того, что Поэтому чем больше n, тем более полной информацией о поведении xt в интересующем нас интервале времени мы располагаем.
Практически ограничиваются рассмотрением только одномерных и двумерных плотностей распределения либо иных характеристик случайных процессов главным образом моментов первого и второго порядков, которые определяются данными плотностями. Примером случайного процесса, полностью характеризуемого одномерной и двумерной плотностями, является марковский случайный процесс.
Зависимость между значениям xti является простейшей, так как распространяется лишь на соседние значения xti-1 и xti. Наличие подобной зависимости приводит к тому, что вероятность нахождения xti в интервале xi, xidxi в момент времени tti является условной и зависит от значения случайного процесса в предыдущий момент времени ti-1.Зависимость xti от более ранних моментов времени t1, t2, ti-2, т. е. от более глубокой предыстории процесса отсутствует.
Это означает, что для марковского процесса условная или переходная плотность Отсюда Таким образом, начальная безусловная одномерная плотность и совокупность условных переходных плотностей полностью описывают марковский случайный процесс. Абсолютно случайным процессом принято называть такой процесс, любые два значения которого суть независимые случайные величины. В этом случае плотность вероятности имеет следующий вид Случайный процесс называется стационарным, если все его плотности вероятностей не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е. инвариантны к временному сдвигу Из этого следует, что одномерная плотность распределения стационарного процесса вообще не зависит от времени.
Гауссовский процесс -это такой случайный процесс сколь угодно мерная плотность вероятности которого гауссовская. n-размерность вектора X, Kx-матрица ковариации mx-математическое ожилание. Гауссовский случайный процесс является стационарным и марковским. К наиболее важным моментным характеристикам стационарного случайного процесса относятся математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.
Математическое ожидание характеризует среднее течение процесса xt по времени. Дисперсия случайного процесса Корреляционная функция где, эта функция представляет собой среднее произведение центрированных значений случайного процесса в моменты времени t и t. Корреляционная функция характеризует степень линейной связи корреляции между значениями процесса, отстоящими друг от друга на время. При 0, корреляционная функция равна дисперсии.
Понятие корреляционной функции может быть использовано и для характеристики степени связи двух случайных процессов xt и yt. В этом случае она называется взаимной корреляционной функцией В теории автоматического управления широко используются описания случайных процессов в частотной области или, по иному, спектральное представление случайных процессов. Рассмотрим преобразование Фурье от корреляционной функции Полученная функция есть четная вещественная функция называемая спектральной плотностью стационарного случайного процесса.
Справедливо обратное Для стационарного случайного процесса t с нулевым математическим ожиданием типа белого шума, корреляционная функция имеет вид где -дельта-функция Дирака, а N -интенсивность шума. Спектральная плотность этого процесса будет что может быть принято в качестве определения белого шума. Выражение означает, что мощность парциальных составляющих случайного процесса t для любых частот одна и та же. Поэтому белый шум является наиболее интенсивным видом помехи. A.
Теоретически выходной случайный процесс yt является стационарным тольк... Рассмотрим линейную динамическую систему с постоянными коэффициентами.... Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему. . Однако, в инженерных приложениях мы будем считать, что переходный проц...
Формирующий фильтр. A. . Как было показано выше белый шум имеет постоянную спектральную плотнос... Спектральная плотность всех физически существующих стационарных случай...
координат управляемого динамического объекта по известному его диффере... . -вектор белых шумов, размерности mx1. Априорный статистический анализ. Критерий вида MM DD Формулы для коэффициентов статистической линеариза...
Реализация Для решения поставленной задачи было написано программное обеспечение с помощью среды Microsoft Visual C 4.0 для матричных операций, численных методов интегрирования.
Основная задача решается в двух программах, для расчета нелинейной системы и линеаризованной. A.
Итак, спектральная плотность требуемого процесса имеет вид Согласно фо... Система дифференциальных уравнений. Для того чтобы ввести в систему случайные возмущения с требуемыми корр... . Его уравнение имеет вид Эти уравнения и составят систему дифференциаль...
Расчет системы в нелинейной форме Для расчета данной системы в нелинейном виде была разработана соответствующая программа которая интегрировала систему уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Для решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необходимо знать начальные условия, то есть значения вектора состояний в нулевой момент времени, в данном случае они нулевые. После осуществления интегрирования результаты были записаны в файл, и затем построены.
Графики имеют следующий вид Рисунок 1. A.
Расчет линеаризованной системы. Для расчета системы в линеаризованным виде по формулам, необходимо лин... Параметр входа в третью нелинейность имеется в векторе состояний. Поэт... Итак, посчитаем дисперсии от воздействий и, на входах первой и второй ... Эволюция матрицы ковариации по входным воздействиям имеет вид Рисунок ...
Заключение Как видно из рисунков 1 и 2 статистическая линеаризация проведена правильно.
Поведение системы в нелинейной и линеаризованной форме примерно одинаково.
Из рисунков 3 и 4 следует, что дисперсии сходятся, т. е. через некоторый промежуток времени переходные процессы в системе заканчиваются и на выходе системы имеется стационарный случайный процесс.
I. Список литературы 1. Конспект лекций 2. Лебедев и др. Статистическая динамика и оптимизация управления ЛА. 3. Корн Г. и Т. Справочник по математике 4. Поляков Ю. В, Круглов И. Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль 5.5 5. Бабак С. В Васильев В. И. и др. Основы теории многосвязных систем автоматического управления ЛА.