Операцию сопряжения можно ввести и для векторов: по определению

 

(|yñ)⁺= áy|, (áy₁U)⁺ = |yñ,

 

а для чисел она понимается просто как комплексное сопряжение. Для скалярного произведения (числа) имеем, применяя правила сопряжения:

 

áy₁|y₂ñ⁺ = áy₂|y₁ñ,

 

а это, в силу свойства эрмитовости скалярного произведения, и есть число, комплексно сопряженное к áy₁|y₂ñ. Теперь в дираковских обозначениях определение эрмитова оператора можно записать так:

 

áy₁|⁺|y₂ñ = áy₂||y₁ñ⁺.

 

Оператор называется самосопряженным (или эрмитовым), если ⁺=.

В более подробной форме записи это означает, что

 

áy₁||y₂ñ = áy₂||y₁ñ⁺.

 

Постулат IV. Среднее значение динамической переменной в нормированном состоянии y вычисляется так:

áñ_y º = áy||yñ.

Среднее значение физической величины должно быть действительным. Но действительность áy||yñ равнозначна эрмитовости , откуда и возникает это требование.

В квантовой механике (и в математике) важнейшую роль играет задача на собственные значения данного эрмитова оператора :

 

|j_lñ = A_l |j_lñ,

 

где |j_lñ - собственные векторы, A_l - собственные значения. Если собственные значения различны (A_l ¹A_l,), то соответствующие им собственные векторы взаимно ортогональны:

Þ = 0.

Если данному A_l соответствует несколько линейно независимых собственных векторов, то оно называется вырожденным (в противном случае - простым). Максимальное число линейно независимых собственных векторов |j_l ñ с заданным A_l называется кратностью вырождения A_l. Разные собственные векторы при фиксированном A_l автоматически не являются взаимно ортогональными. Но их всегда можно ортогонализовать процедурой Шмидта, а кроме того, их можно и нормировать. Будем считать все эти операции проделанными и введем единый индекс n º {l,a}.Тогда получим систему ортонормированных векторов:

 

áj_m|j_nñ = d_mn; (|j_nñ º |j^a_lñ, |j_mñ º |j^b_nñ).

Здесь предполагается, что все собственные значения _l принадлежат дискретному (а не непрерывному) спектру оператора . Совокупность всех таких собственных значений образует дискретный спектр.

Построим всевозможные линейные комбинации вида

|j_nñ.

 

Если всякий вектор из H может быть представлен в такой форме, то оператор имеет чисто дискретный спектр. В противном случае расширим исходное пространство:

 

H® , HÜ

 

и доопределим оператор , распространяя его на все и сохраняя свойство линейности. Теперь можно говорить об обобщенных собственных векторах |c_Añ оператора , лежащих в , но не принадлежащих H:

 

|c_Añ Î . |c_Añ = A|c_Añ.

 

Они ортогональны обычным собственным векторам (из H) и взаимно ортогональны при разных собственных значениях , но их норма равна уже бесконечности, и они нормируются на d - функцию. Таким образом,

 

áj_n|c_Añ = 0, .

 

Всякий вектор |yñ Î H может быть разложен по обычным собственным векторам |j_nñ (в сумму) и по обобщенным собственным векторам |c_Añ ( в интеграл):

 

|yñ = |j_nñ + òdAc(A)|c_Añ.

 

Множество {A} есть непрерывный спектр оператора , а объединение множеств {A_l} и {A} есть его полный спектр.