Постулат IV. Среднее значение наблюдаемой A в состоянии y вычисляется как

áAñ_y = áy||yñ.

Постулат V. Результатом измерения наблюдаемой A в любом состоянии может быть только одно из значений, принадлежащих спектру оператора .

Важную роль играет понятие дисперсии наблюдаемой A в состоянии y:

D_y(A) º á(DA)²ñ_y = áy|(- áñ)²|yñ = á²ñ_y - áñ²_y.

Если D_y(A) = 0, то говорят, что в этом состоянии наблюдаемая имеет определенное значение. Физический смысл собственных векторов: они и только они описывают состояния с определенными значениями данной наблюдаемой.

Вероятность получить при измерении наблюдаемой A в состоянии y значение A_n или A из ее спектра равна

|c_n|² или |c(A)|²,

где c_n и c(A) - коэффициенты разложения |yñ по {|j_A ñ}:

c_n = áj _nUyñ, с(A) = ác _AUy ñ.

Уточнение: для точек непрерывного спектра |c(A)|² есть не вероятность, а плотность вероятности получения значения A. Величина же |c(A)|²dA есть вероятность получить при измерении какое-то значение из малого интервала (A, A+dA).

Набор независимых наблюдаемых называется полным, если все операторы этих наблюдаемых взаимно коммутируют, и если набор не может быть расширен. У операторов ₁,...,_N полного набора имеются общие собственные векторы:

₁= ,... = ,

образующие базис в H. Совокупный спектр операторов полного наборявляется простым: совокупности собственных значений ,...,(индексов n₁,...n_N) отвечает только один общий собственный вектор.

Если = A_n Uj _nñ и Uc _Añ = Uc _Añ, т.е. оператор имеет смешанный спектр, то функция от этого оператора определяется так:

= Uj_nñáj_nU + òdAF(A)Uc _Añá c _AU.

При = получаем разложение единицы:

= .

Операторы P_n = Uj_nñáj_nU, P_A = Uc _Añá c _AU суть проекторы на базисные ортыUj_nñ, Uc _Añ.