Коэффициенты отражения и пропускания ступенчатого барьера

На опыте измеряются не амплитудные коэффициенты прошедшей и от-раженной волн, а коэффициенты отражения и пропускания для частиц, которые связаны с амплитудными коэффициентами вероятностными соотношениями.

4. При оба волновых числа являются действительными, поэтому все три волны однородны. Наличие отраженной волны приводит к конечной вероятности обнаружения частицы, движущейся навстречу падающему потоку.

Плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функции . Если умножить ее на массу частицы, мы получим величину , имеющую размерность плотности вещества (кг/м³). Она имеет смысл усредненной по ансамблю частиц плотности вещества. Поскольку есть плотность потока вещества в классической механике, то и в квантовой механике величину

рассматривают как плотность потока вещества.

В падающей волне эта величина равна , а в отраженной и прошедшей волнах и , соответственно.

Отношение плотности потоков отраженной волны к плотности потока падающей волны называется коэффициентом отражения частицы

. (7)

Если начало отсчета энергии выбрать так, чтобы слева от барьера потенциальная энергия равнялась нулю , тогда, введя безразмерную энергию , для коэффициента отражения получим формулу

.

С увеличением энергии коэффициент отражения уменьшается от значения равного единице при до нуля при . Уже при получается значение коэффициента отражения .

Аналогично определяется коэффициент пропускания частицы через отношение плотности потока прошедшей волны к плотности потока падающей волны

. (8)

Нетрудно увидеть, что , в согласии с законом сохранения вещества.

5.Рассмотрим теперь ситуацию, когда энергия налетающей частицы меньше высоты потенциального барьера E < U₂. В этом случае величина является чисто мнимой

,

поэтому прошедшая волна является уже неоднородной и имеет вид

.

Амплитуда волны экспоненциально убывает при удалении от границы раздела областей. Глубина проникновения определяется как расстояние, на котором плотность вероятности

.

уменьшается в е раз. Для нее получаем формулу

.

Коэффициент отражения в этом случае получается равным единице

.

Это означает, что падающая волна полностью отражается. Несмотря на это, волна проникает в область II, но плотность вероятности нахождения микрочастицы убывает по экспоненте с увеличением координаты х:

По мере увеличения высоты барьера U глубина проникновения l и амплитудный коэффициент прошедшей волны d уменьшаются до нуля. Это означает, что в пределе , и вероятность обнаружения микрочастицы в области II (под барьером) обращается в нуль. Этот результат нам пригодится для формулировки граничных условий в бесконечно глубокой потенциальной яме.