Реферат Курсовая Конспект
В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы - раздел Ядерная техника, Атомная Физика (12) Введение...
|
АТОМНАЯ ФИЗИКА (12)
Введение
В конце ХIX в. даже у крупных ученых сложилось представление, что в физике уже все изучено и объяснено, что все физические законы открыты и остается только рутинная работа по доработке теорий, уточнению формулировок, разработке вычислительных методик, а в целом здание физики как науки уже выстроено. Оставались не объясненными несколько вопросов, на которые надеялись получить ответы в ближайшем будущем. К ним относились отрицательный результат опыта Майкельсона, распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, закономерности фотоэффекта, сериальные закономерности спектров атомов, поведение теплоемкостей различных тел при изменении температуры, нарушения закона Дюлонга и Пти, связывающего электропроводность и теплопроводность твердых тел при изменении температуры.
Решение первой из указанных проблем привело к созданию Эйнштейном теории относительности, а решение второй проблемы, данное Планком, послужило толчком к созданию квантовой механики, объяснившей все остальные указанные проблемы.
Эти два направления в физике составляют содержание новейшей физики - физики XX-го столетия, которая выяснила, что все законы природы имеют приближенный характер и справедливы только при выполнении определенных условий.
В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы.
Принципиальная сложность при изучении квантовой физики заключается в том, что классические понятия, выработанные наукой при изучении макроскопических явлений совершенно непригодны в области микромира, то есть для явлений, происходящих с электронами, атомами и другими малыми частицами вещества.
Стоячие волны в трехмерном пространстве.
Теория Бора для водородоподобных атомов.
Пределы применимости классической механики
1. Соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат и импульсов отражают тот факт, что в природе объективно не существует состояний микрочастиц с точно определенными значениями координат и импульсов.
В частном случае неопределенности импульса может и не быть (). Так будет, например, в случае плоской монохроматической волны де Бройля. Но в этом случае, согласно неравенствам Гейзенберга неопределенности координат обращаются в бесконечность , и о месте, где локализована микрочастица, ничего сказать нельзя. Она может быть с одинаковой вероятностью обнаружена в любой точке пространства. (Плоская волна имеет бесконечную протяженность, как по фронту, так и вдоль направления распространения).
При локализации микрочастицы в какой-то точке пространства неопределенности координат исчезают, а неопределенности импульсов возрастают до бесконечности, т.е. все значения импульса становятся равновероятными.
Соотношения неопределенностей определяют принципиальный предел неточности координат и сопряженных им проекций импульса, с которыми состояние частицы можно описывать классически и рассчитывать их траектории.
2. Обратимся к числовым оценкам, вытекающим из принципа неопределенности Гейзенберга. Будем считать его универсальным законом природы и рассмотрим, в каких случаях квантовые неопределенности в координатах и импульсах можно не учитывать.
Рассмотрим движение макроскопического тела с массой . Пусть неопределенность в определении ее положения Dz составляет , тогда неопределенность импульса
.
Отсюда неопределенность в возможных значениях скорости
.
Данные неопределенности настолько малы, что всегда заведомо меньше погрешности измерения. В этом случае мы можем при движении частицы не учитывать ее волновых свойств и считать ее классической.
Отступления от классического движения из-за принципа неопределенности лежат далеко за пределами возможностей эксперимента.
Рассмотрим теперь движение электрона в электронно-лучевой трубке. Скорость электронов по порядку величины составляет uz = 107м/с.
Если считать неопределенность значений скорости лежащей в пределах , что составляет , то неопределенность в координате . В этом случае также погрешности измерения скорости и координат превышают квантовые неопределенности и движение электрона можно считать классическим.
Совсем иначе обстоит дело с движением электрона в атоме. Возьмем атом водорода и первую боровскую орбиту. Правило квантования орбит по Бору
означает, что на круговой орбите укладывается целое количество длин волн де Бройля
и
.
Теперь если мы зададимся столь большой неопределенностью в положении орбиты, что , то
.
Для первой боровской орбиты неопределенность в импульсе превысит величину самого импульса.
В этом случае представление о движении электрона по классическим орбитам теряет смысл. Неопределенности в координатах и импульсе столь велики, что движение является безтраекторным. В лучшем случае, понятием траектории можно пользоваться для высоких энергетических состояний (большие n).
Оператор координаты и проекции импульса
1. Уравнения квантовой механики записываются в операторном виде. Оператор это закодированный некоторым символом алгоритм действий над функцией. Как правило, для обозначения операторов над буквенным символом используется шляпка. В результате действия оператора на функцию получается новая функция
.
Если функция пропорциональна , и коэффициент пропорциональности является физической величиной Q
, (1)
то оператор является оператором физической величины Q. Функция называется собственной функцией, а численное значение величины Q –собственным значением оператораили уравнения (1).
2. Для того чтобы установить вид операторов, используемых в квантовой механике, рассмотрим плоскую волну де Бройля, соответствующую свободному движению микрочастицы
. (2)
Продифференцируем выражение (2) по координате и умножим результат на ().В результате получим уравнение
.(3)
где является проекцией импульса на ось x, а оператор, стоящий перед волновой функцией в левой части уравнения называется оператором проекции импульса на ось x
. (4)
Уравнение (3) показывает, что волновая функция (2) является собственной функцией оператора проекции импульса на ось x.
Общим решением уравнения (6) является функция
, (5)
в которой С может учитывать зависимость волновой функции от других переменных.
Аналогично можно получить операторы для двух других проекций
, .
Собственные функции этих операторов имеют вид
, .
3. Кроме рассмотренных операторов в квантовой механике используется оператор координаты , действие которого на волновую функцию сводится просто к умножению ее на величину x. Точно также оператором скалярной функции координат является сама скалярная функция .
Сложение и умножение операторов
1. Операторы можно складывать и умножать. Оператором суммы двух операторов и называется такой оператор , действие которого на функцию , равно сумме результатов действия на нее операторов и
.
Если операторы и имеют собственные функции и собственные значения, удовлетворяющие уравнениям
, , (7)
причем операторы и действуют только на свои собственные функции, т.е
и , (8)
тогда оператор
(9)
имеет собственные значения, равные сумме собственных значений операторов и
, (10)
и собственные функции, равные произведению собственных функций операторов и
, (11)
удовлетворяющие уравнению
.(12)
Для доказательства этого утверждения подставим (11) в (12) и учтем (8) и (10)
.
Таким образом, функции (11) являются собственными функциями уравнения (12) по определению (1), а собственные значения оператора равны сумме собственных значений операторов и .
Не все операторы коммутируют. Так, например, операторы и не коммутируют, так как
,
,
поэтому
. (13)
Если операторы и не коммутируют, то точных значений величин A и B одновременно не существует. Поэтому операторное равенство (18) неразрывно связано с соотношением неопределенности для координаты и соответствующей проекции импульса.
Операторы физических величин
1. Мы установили операторы координаты и проекции импульса. Все остальные операторы вводятся следующим образом. Всякой классической величине соответствует оператор , получающийся заменой классических величин и на соответствующие операторы и .
Например: для оператора импульса
оператор имеет вид
,
а волновая функция будет равна произведению волновых функций
,
и собственное значение – сумме собственных значений операторов проекций, умноженных на соответствующие орты
.
2. Пользуясь произведением операторов, можем написать выражение для оператора квадрата проекции импульса на ось x
.
Оператор квадрата проекции импульса на ось x представляет собой вторую производную по координате x, умноженную на
. (14)
Аналогично записываются операторы для квадратов проекций на другие оси координат
, . (15)
Прямой проверкой можно убедиться в том, что собственные функции оператора проекции импульса являются собственными функциями оператора , т.е. уравнения
.
Действительно, учитывая уравнение для собственных функций оператора проекции импульса , получаем .
Отсюда следует, что волновая функция свободной микрочастицы является собственной функцией оператора квадрата проекции импульса на ось x.
3. Из этих операторов можно составить оператор
. (16)
Если этим оператором подействовать на волновую функцию (2), то получим
. (17)
Так как величина является кинетической энергией, то оператор является оператором кинетической энергии, и волновая функция (2) является собственной функцией оператора .
Собственные значения и собственные функции
Собственные функции и собственные значения оператора
Собственные значения оператора углового момента
Собственные значения и собственные функции оператора квадрата момента импульса находятся путем решения соответствующего операторного уравнения
.
Но собственные значения можно определить с помощью одних только правил коммутации. Приведем эти правила к более удобному для этой цели виду, введя два оператора
, .
Простой проверкой можно убедиться в справедливости соотношений
, , .
Далее, вычисляя оператор квадрата углового момента, получим
,
или
.
Рассмотрим состояние, в котором проекция углового момента на ось z принимает наибольшее значение
.
В этом состоянии
, .
Из соотношений коммутации для такой функции получим
.
Отсюда следует, что функции и являются собственными функциями оператора , имеющими собственные значения и , соответственно. Но величина не может быть собственным значением оператора , так как по предположению наибольшим собственным значением этого оператора является .
Таким образом, равенство
невозможно, хотя оно логически вытекает из соотношений коммутации и уравнения .
Избежать противоречия можно только в том случае, если . Но отсюда следует и
.
Но в силу того, что и , получим
.
Следовательно, собственные значения оператора углового момента равны
.
Квантовое число называется орбитальным квантовым числом и принимает положительные целочисленные значения 0, 1, 2, … .
Для наглядности пространственное квантование обычно представляют на векторных диаграммах. По оси z откладывают возможные значения m, рассматривая их как проекции вектора длины , имеющего дискретные направления в пространстве. Эти диаграммы не следует понимать буквально. (Вектор углового момента в квантовой механике принципиально не имеет определенных направлений в пространстве.) Они правильно передают только два факта: возможные значения проекции m и возможные значения квадрата углового момента .
В классической механике кинетическая энергия вращающегося тела определяется формулой
,
где - момент инерции тела относительно соответствующей оси вращения. Такая же формула справедлива и в квантовой механике. Различие состоит в том, что величина принимает дискретные значения.
Неизменяемая вращающаяся система в квантовой механике называется ротатором. Таким образом, энергетические уровни ротатора дискретны и определяются формулой
.
Для некоторых целей вращающуюся молекулу можно рассматривать как жесткий ротатор, и пользоваться этой формулой, если изменения l , связанные с вращением, не велики.
Собственные функции оператора квадрата момента импульса
Уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора имеет вид
.
Введя обозначение
,
и записывая оператор Лапласа на сфере в явном виде, получим дифференциальное уравнение в частных производных
. (1)
Уравнение необходимо решить для всей области координат на сфере (, ). Поэтому собственные функции оператора квадрата момента импульса зависят только от угловых координат. Они называются сферическими функциями и используются в различных разделах физики (в акустике, электродинамике, метеорологии, и т.д.). Так как собственные функции операторов квадрата момента и проекции момента на ось являются общими, то решение этого уравнения отыскивается методом разделения переменных, полагая
.
Подстановка этого решения в уравнение, приводит к выражению
В этом выражении приравниваются функции, зависящие от разных аргументов, что возможно, если они равны постоянной величине, которую мы обозначили . В результате разделения переменных мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения
, (2)
. (3)
Волновая функция оператора проекции момента импульса удовлетворяет уравнению (3).
Уравнение (2) имеет непрерывные однозначные конечные решения только при строго определенных значениях параметра
, , 1, 2, 3, . . . .
Это значит, что квадрат момента импульса принимает дискретный ряд значений
.
Отметим только, что решения уравнения (2) зависят от двух чисел и . Сделав замену переменной в уравнении, его решения представляют собой присоединенные полиномы Лежандра.
,
где
- полиномы Лежандра
Процедура решения уравнения (2) выходит за рамки курса общей физики. Поэтому мы ограничимся приведением сферических волновых функций для нескольких небольших квантовых чисел
,
, , ,
, , .
Сферические волновые функции позволяют определить вероятность того, что микрочастица (квазичастица), находящаяся в состоянии, описываемом волновой функцией , будет находиться в элементе телесного угла
.
Поэтому эта вероятность не зависит от угла . Это означает, что в плоскости, перпендикулярной оси распределение вероятности имеет осевую симметрию.
Угловое распределение вероятности зависит от квантовых чисел и , т.е. от величины момента импульса и величины его проекции на ось .
Состояние с (-состояние) обладает сферической симметрией распределения вероятности, так как . Поэтому
.
Такие состояния являются сферически симметричными и обозначаются буквой s.
Для l = 1 состояния с различными значениями магнитного квантового числа имеют различную направленность в угловом распределении плотности вероятности. Такие состояния обозначаются буквой p.
, .
Для l =2 число состояний увеличивается до пяти и направленность электронных облаков увеличивается (лепестки распределений сужаются).
, ,
.
Соответствующие распределения угловой плотности вероятности показаны на рисунке.
Состояния с l =2,3,4,... обозначаются буквами d, f, g,.., соответственно.
Центральное силовое поле. Оператор Лапласа в сферических
Спин электрона. Тонкая структура спектра излучения
Принцип тождественности состояний неразличимых частиц.
Эффект Зеемана. Классическое объяснение
В 1896 г. Зееман обнаружил, что если источник света помещен в магнитное поле, то спектральные линии расщепляются. При наблюдении поперек магнитного поля спектральная линия расщепляется на три линейно поляризованные компоненты. Средняя компонента не смещена и вектор направлен параллельно магнитному полю (такие компоненты называются -компонентами).
Две крайние компоненты с частотами и поляризованы перпендикулярно к нему (такие компоненты называются -компонентами).
При наблюдении вдоль магнитного поля средняя компонента отсутствует, а две крайние поляризованы по кругу. Причем компонента с меньшей частотой поляризована по правому кругу, а с большей частотой – по левому кругу.
Частота
называется Ларморовой частотой прецессии электронных орбит, которая происходит по закону
.
Лоренц дал этому явлению следующее объяснение. Излучателем световых волн является гармонический осциллятор, представляющий собой электрический диполь. Дипольный момент осциллятора можно разложить на две составляющие вдоль направления магнитного поля и перпендикулярно ему. Продольная составляющая дипольного момента не дает излучения вдоль этого направления. Она ответственна за появление линейно поляризованной -компоненты. Поперечная составляющая дипольного момента ответственна за появление -компонент.
В отсутствие магнитного поля колебания этой составляющей дипольного момента можно разложить на два круговых вращения в плоскости xy с одной и той же угловой частотой . При наблюдении вдоль магнитного поля они дают волны поляризованные по кругу, а при наблюдении поперек магнитного поля – линейно поляризованные волны.
При наложении магнитного поля возникает дополнительное вращение этой составляющей дипольного момента против часовой стрелки с ларморовой частотой, если смотреть в направление против направления магнитного поля.
Такое расщепление спектральных линий на три компоненты наблюдается в сильных магнитных полях и называется простым эффектом Зеемана. Простой эффект дают синглетные, т.е. одиночные спектральные линии. Подавляющее большинство спектральных линий являются мультиплетами, т.е. состоят из нескольких тесно расположенных спектральных линий. Мультиплеты в магнитном поле дают значительно более сложную картину расщепления. Такие расщепления называются сложным эффектом Зеемана.
Учет спина позволил полностью объяснить эффект Зеемана.
– Конец работы –
Используемые теги: данной, теме, нач, Изучение, квантовых, закономерностей, явлений, роды0.114
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов