При классическом рассмотрении движение системы из двух частиц сводится к движению двух квазичастиц, одна из которых с массой описывает движение центра масс системы как единого целого, а вторая с массой - описывает относительное движение частиц системы в системе центра масс. Величина называется приведенной массой.
При квантовомеханическом анализе системы из двух микрочастиц мы будем считать, что гамильтониан системы складывается из операторов кинетической энергии обеих микрочастиц , и оператора энергии их взаимодействия , которая зависит от взаимного расположения микрочастиц. В случае центральных сил она является функцией только расстояния между частицами . Операторы Лапласа в операторах кинетической энергии имеют вид
, .
Через , обозначены координаты рассматриваемых микрочастиц.
Таким образом, стационарное уравнение Шредингера для системы из двух взаимодействующих микрочастиц имеет вид
. (1)
Так же как при классическом рассмотрении, перейдем к новым независимым переменным: координатам центра масс
и координатам первой частицы относительно второй
.
Проведя соответствующие преобразования, стационарное уравнение Шредингера (1) принимает вид
. (2)
Здесь , .
Оператор Гамильтона распадается на два независимых оператора, один из которых зависит только от , а другой только от . В соответствии с этим решение уравнение уравнения можно искать в виде . Это позволяет разделить переменные
.
Поделив обе части уравнения на , получим
.
В левой части этого уравнения две функции, зависящие от разных переменных, а в правой части постоянная величина. Это возможно только в том случае, если каждое слагаемое в левой части равно постоянным величинам, которые обозначим и , соответственно, причем .
Таким образом, уравнение Шредингера для двух взаимодействующих частиц распадается на два независимых уравнения для двух невзаимодействующих квазичастиц
,
,
одна из которых, имеет массу, равную сумме масс частиц, а масса второй равна приведенной массе.
Первое уравнение описывает независимое движение системы частиц как единого целого, а второе описывает относительное движение частиц в системе центра масс, как независимое движение второй квазичастицы относительно центра масс.