Средняя арифметическая используется в двух формах:
– в форме простой:
(1)
– в форме средней арифметической взвешенной:
(2)
Формула 1 применяется тогда, когда все частоты равны 1 или равны между собой. Во всех остальных случаях применяется формула 2.
Свойства средней арифметической:
1. Произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведения вариант на частоты:
.
2. Если к каждой варианте прибавить (или отнять) какое-либо постоянное число, то средняя увеличится (или уменьшится) на такое же число:
3. Если каждую варианту разделить (умножить) на какое-либо число А≠0, то средняя уменьшится (увеличится) во столько же раз:
4. Если частоты разделить или умножить на какое-либо не равное 0 число, то средняя не изменится.
Учитывая это свойство средней арифметической, в формулу (5.2) для вычисления средней можно подставить вместо частот частости.
5. Сумма отклонений вариант от их средней арифметической равна 0:
Пример 1 Вычисление средней в дискретном ряду
Имеются следующие данные:
| Стаж, лет, Х | Число рабочих, чел., f | X·f |
| ИТОГО |
Вычислить средний стаж данной группы рабочих
Пример 2 Вычисление средней в интервальном ряду
Чтобы вычислить среднюю арифметическую в интервальном ряду, нужно перейти от интервального ряда к дискретному, приняв в качестве вариант середину интервала, т.е. полусумму верхней и нижней границы интервала. Если ряд имеет открытые интервалы, то недостающие границы следует определить условно. При этом принято считать, что первый интервал имеет такую же длину, как последующий, а последний – как предыдущий.
Пусть имеются следующие данные:
| Группы рабочих по размеру месячной оплаты труда, тыс.р. | Число рабочих, чел., f | X | X·f |
| До 120 | |||
| 120-130 | |||
| 130-140 | |||
| 140-150 | |||
| 150-160 | |||
| 160-170 | |||
| 170-180 | |||
| свыше 180 | |||
| Итого: |
Найти среднюю заработную плату.
Дан интервальный вариационный ряд, нужно перейти от интервального к дискретному. Так как первый интервал открытый, то считаем, что он такой же по величине, как последующий, т.е. его длина равна: 130 – 120 = 10. Тогда недостающая граница равна: 120 – 10 = 110.
Для первого интервала середина будет равна .
Для второго интервала: и т.д.
Для исчисления средней воспользуемся формулой (5.2):