Расчет деревянных арок.

Геометрический расчет арки заключается в определении всех необходимых для статического расчета размеров углов наклона и их геометрических функций. Ввиду того, что арки имеют симмет­ричные схемы, такой расчет достаточно произвести только для одной, обычно левой половины схемы. Рассчитывать удобно в прямоугольной системе координат с началом в центре левого опор­ного узла (рис. 21, а). Однако возможно использование для этой цели и полярной системы координат. Основными исходными величинами являются ее пролет l и высота f, а в стрельчатой арке также радиус полуарок r.

Геометрический расчет треугольной арки заключается в опре­делении угла наклона оси арки α, длины оси полуарки s и коорди­нат сечений числом n, равных х и y, которые находятся из выражений

tgα=2f⁄l; s=f⁄sinα; x=l⁄(2n-2); y=xtgα.

Геометрический расчет сегментной арки заключается в опреде­лении радиуса ее оси r, центрального угла дуги полуарки φ, длины оси полуарки s, координат сечений х и у и углов наклона касательных к оси в этих сечениях, которые определяются из выражений

; sinα= l/(2r); s=r; x=l⁄(2n-2);

; .

Геометрический расчет стрельчатой арки заключается в опре­делении следующих величин: угла наклона хорды α, длины хорды , центрального угла оси φ , длины оси s, угла наклона первого радиуса , координат центра b и с, координат сечений х и у, координат сечений по хорде z, углов наклона касательных к оси расстояния ее от среднего радиуса до центра правой опоры. Эти величины определяются из следующих выражений:

tgα=2f⁄l; = f⁄sinα; sinφ/2=/(2l); s=r; =90 – α – φ/2;

b=rcos; ; ;

sin=(c –x)/r; e=lcos α - /2.

 

Рис. 21. Геометрические схемы полуарок

а – сегментной; б - стрельчатой

Статический расчет арок (рис. 22) производится в следующем порядке. Определяют действующие на арку расчетные нагрузки. Затем вычисляют опорные реакции — вертикальную R и горизонтальную H — и действующие в сечениях арки усилия — изгибающие моменты М, продольные N и поперечные Q силы. Затем подбирают сечения арки — ее верхнего и нижнего поясов и проверяют действующие в них нормальные δ и скалывающие τ напряжения, которые не должны превышать расчетных сопротив­лений древесины при сжатии , растяжении , скалывании τ и расчетного сопротивления стали R. В заключение рассчитывают узловые соединения.

Расчетные нагрузки, действующие на арки, включают в себя нагрузки постоянные от собственного веса всех элементов покры­тия, веса арки и стационарного подвесного оборудования, времен­ные распределенные от веса снега, давления и отсоса ветра и временные сосредоточенные от веса подвижного оборудования. Они определяются в соответствии с нормами СНиП 2.01.07—85 «Нагрузки и воздействия».

Распределенные нагрузки определяются с учетом шага расста­новки арок В. Они являются линейными и их удобно вычислять в кН/м, сосредоточенные нагрузки — в кН.

Постоянная нагрузка g условно, в небольшой запас прочности, считается равномерно распределенной по длине пролета арки, для чего ее фактическое значение увеличивается на отношение длины арки к ее пролету, т. е. 2s/l. Снеговая нагрузка s на треугольные и стрельчатые арки дается в нормах условно равномерно распре­деленной по длине пролета арки, расположенной на всем пролете или на полупролетах. Снеговая нагрузка на сегментные арки может быть равномерно распределенной по всему пролету или его половинам и зависит от отношения длины пролета к его высоте l/(8f). Эта нагрузка может быть также треугольной: с максимальными значениями над опорными узлами и нулевыми в коньке в зависимости от отношения высоты арки к пролету f/l.

Ветровая нагрузка w дается нормами равномерно распределенной по длине верхнего пояса арки. На пологие треугольные и сегментальные арки она действует в виде ветрового отсоса и, как правило, не учитывается в расчете, так как она почти не увеличивает усилий, действующих в сечениях этих арок. На относительно высокие сегментные треугольные и стрельчатые арки ветровая нагрузка действует в виде давления на подветренную сторону и отсоса на заветренную, обычно близких по значению. На стрельчатые арки ветровая нагрузка может приниматься условно равномерно распределенной по длине хорд полуарок. При расчете этих арок ветровая нагрузка обязательно учитывает­ся, так как она существенно увеличивает усилия в их сечениях. Сосредоточенные нагрузки от подвесного оборудования с грузами Р принимаются в соответствии с данными технологической части расчета.

Определение усилий в сечениях арок производится с учетом того, что трехшарнирные арки являются статически определенными конструкциями. Двухшарнирные арки однажды статически не определимы. Однако расчет их как трехшарнирных дает в большинстве случаев результаты, достаточно близкие к расчету, с учетом их статической неопределимости.

Опорные реакции трехшарнирной арки без затяжки, опираю­щиеся прямо на фундаменты, имеют вертикальные и горизон­тальные составляющие. Вертикальная опорная реакция арки R определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в противоположном опорном шарнире. Горизонтальная опорная реак­ция Н, численно равная распору арки без затяжки, определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в коньковом шарнире. В арке с затяжкой горизонтальная опорная реакция отсутствует, В такой арке возникает продольная растягивающая сила в затяжке, численно равная горизонтальной опорной реакции арки без затяжки. Например, при равномерной снеговой наг­рузке на левом полупролете арки без затяжки вертикальная опор­ная реакция левой опоры R = 3sl/8, а при этой нагрузке на правом полупролете R=sl/8. В обоих случаях горизонтальная опорная реакция H = s/(16f).

При треугольной снеговой нагрузке на левом полупролете арки с максимальным значением на опоре вертикальная опорная реакция левой опоры R=5l/24. При такой же нагрузке на правом полупролете вертикальная опорная реакция левой опоры R = s l /24. В обоих случаях горизонтальная опорная реакция H = s/(48f). Опорные реакции от двусторонней равномерной нагрузки будут равны сумме реакций от нагрузок на левом и правом полупролетах, т. е. R=ql/2 и H= q/(8f).

 

 

Рис. 22. Схемы работы и эпюры изгибающих моментов в сечениях арок

а – схемы работы; б – моменты в сегментных арках;

в – моменты в стрельчатых арках

 

 

Усилия в сечениях арок — изгибающие моменты М, продоль­ные N и поперечные Q силы — определяются в зависимости от нагрузок, координат сечений х и у и углов наклона α, касательных к оси в этих сечениях. Например, при равномерной снеговой нагрузке s на левом полупролете арки , и определяются по формулам

=Rx—Hy—s/2; =(R — sx)sinα+Hcosα; =(R—sx)cosα—Hsinα

При равномерной снеговой нагрузке на правой полуарке эти усилия определяются по тем же формулам без членов, содержащих нагрузку s. При треугольной нагрузке на левом полупролете с максимальным значением над опорой и промежуточными значениями =(1—2x/l)усилия в верхнем поясе сегментной арки определяются по формулам

=Rx—Hy—/2+s/(3l); =(R—x+/l)sinα+Hcosα;

=(R—x+/l)cosα—Hsinα

При треугольной снеговой нагрузке на правом полупролете усилия в левой полуарке сегментной арки определяют по этим же формулам без членов, содержащих нагрузку .

Определение опорных реакций и усилий в сечениях удобно производить в одной, например, левой полуарке в следующем порядке. Сначала от снеговой равномерно распределенной и тре­угольной нагрузки на левом и затем на правом полупролете арки, затем от ветровой нагрузки при ветре слева и справа и далее от подвесного оборудования.

Изгибающие моменты следует определять во всех сечениях левой полуарки и иллюстрировать их эпюрами моментов (рис. 22). Продольные и поперечные силы можно определять только в опорном и коньковом шарнирах сегментных арок, где они достигают наибольших значений. Усилия от двусторонней снеговой равномерно распределенной нагрузки определяются путем суммирования усилий от снеговых нагрузок на левом и правом полупролетах арки, а усилия от постоянной равномерно распределенной нагрузки определяются путем умножения усилий от равномерно распределенной нагрузки на всем пролете арки на отношение постоянной и снеговой равномерно распределенных нагрузок g/s. Полученные значения сводятся в таблицу усилий в сечениях арки. Затем с помощью этой таблицы определяют положительные максимальные и отрицательные изгибающие момен­ты, продольные и поперечные силы в сечениях арки и опорные реакции при расчетных сочетаниях действующих нагрузок. При этом усилия от двух и более временных нагрузок уменьша­ются коэффициентом сочетаний k = 0,9.

Максимальные изгибающие моменты возникают обычно в сечениях близ четверти пролета арки. Положительные изгибаю­щие моменты в левой полуарке возникают при сочетании посто­янной, снеговой на левом полупролете и ветровой нагрузки при ветре слева. Отрицательные изгибающие моменты возникают в этой полуарке при сочетании постоянной нагрузки, снеговой нагрузки на правом полупролете и сосредоточенных нагрузок близ конька арки.

Наибольшие продольные и поперечные силы возникают в се­чениях арок в опорных и коньковом узлах. Максимальные опор­ные реакции и растягивающие силы в затяжках возникают при действии постоянных и временных нагрузок, распределенных по всему пролету, и сосредоточенных нагрузок в коньковом узле арки. Расчетные изгибающие моменты при проверке напряжений в сечениях треугольных арок определяются с учетом эксцентри­ситета е крепления их полуарок в узлах и возникающего при этом изгибающего момента от продольной силы N из выражения М = — = — Ne.

Подбор сечений деревянных арок производится на действие в них максимальных усилий — изгибающих моментов М, про­дольных N и поперечных Q сил, при наиболее неблагоприятных сочетаниях расчетных нагрузок.

Верхние пояса арок рассчитываются на сжатие с изгибом и скалывание, а нижние пояса — на растяжение.

Подбор сечения верхнего пояса клеедеревянной арки может производиться в следующем порядке. Сначала можно задаться шириной прямоугольного сечения b в соответствии с шириной досок сортамента пиломатериалов и с учетом их острожки по кромкам. Затем, учитывая, что размеры сжато-изгибаемого элемента в наибольшей степени зависят от изгибающего момен­та, можно определить требуемый момент сопротивления и требуемую высоту сечения , исходя из формулы изгиба, в кото­рой влияние продольной силы можно учитывать коэффициентом 0,8:

=М/(0,8); =

Затем высоту сечения следует увязать с толщиной досок δ, из которых склеивается арка после их острожки.

Проверка нормальных сжимающих напряжений в сечениях арки производится по формуле:

σ=N/A + /W≤,

где =М/ξ; ξ =1 – N/(3000/A).

Здесь N—продольная сила, которую можно принять дей­ствующей в коньке сегментной арки и в четверти пролета тре­угольной или стрельчатой арки; — расчетная длина арки; при расчете сегментной арки =0,58·2s=1,16s; при расчете тре­угольной и стрельчатой арок =s, где s — длина полуарок. Расчетное сопротивление сжатию должно приниматься с учетом высоты сечения , ветра и толщины досок .

Проверка скалывающих напряжений производится в концах полуарки. При эксцентричном опирании пря­мой полуарки частью торца в числитель этой формулы вводится коэффициент, учитывающий концентрацию скалывающих напря­жений . При высоте торца полуарки , равном половине высо­ты сечения арки, =2. Подбор сечения нижнего пояса или затяжки и проверка напряжений в их сечениях производятся по формулам расчета на растяжение деревянных или стальных эле­ментов.

Расчет на устойчивость плоской формы деформи­рования верхнего пояса особенно необходим при расчете клеедеревянных арок, которые имеют сечения пояса значительной высо­ты h при относительно малой его ширине b. Этот расчет должен исключать опасность выхода пояса из вертикальной плоскости до момента потери им несущей способности по прочности. Верх­ние пояса арок закрепляются от выхода из вертикальной плоскости скатными связями в точках, равные расстояния между которыми называются расчетными длинами . Эти связи, как правило, располагаются близ верхних кромок арок.

При действии отрицательных изгибающих моментов верхняя зона арки оказывается растянутой и закрепленной связями, а нижняя зона — сжатой и не закрепленной. В этом случае опас­ность потери устойчивости в плоской форме деформирования выше, чем при положительных изгибающих моментах, когда закрепленной связями оказывается сжатая зона арки, и ее про­верка более необходима.

Устойчивость плоской формы деформирования верхнего пояса сегментной клеедеревянной арки, имеющего площадь сечения A = bh, момент сопротивления W=b/6, длину полуарки s, центральный угол ее оси — (рад) и закрепленного из плос­кости скатными связями поверху с шагом , на которую действу­ет продольная сила N и отрицательный изгибающий момент , производится по формуле

N/(A)+ /(W)≤1

где , — коэффициенты устойчивости; =3000/; =s/(0,29b). =140/(h)при =1,13; , —коэф­фициенты;=0,75+ 0,06+ 0,6/h; =0,142(/h)+ l,76(h /)+l,4.

Расчетной длиной полуарки из ее плоскости является длина ее оси s.

Если условие этой формулы не соблюдается, шаг скатных связей должен быть уменьшен или необходимы дополнительные связи, закрепляющие из плоскости нижнюю зону полуарки.

Расчет узлов арок производится на максимальные действующие в них продольные N и поперечные Q силы, а также при наличии нижних поясов или затяжек и на действие усилий в них и опорных реакций R и Н.

Опорный узел клеедеревянной арки без затяжки проверяется по прочности древесины при смятии. В опор­ном узле сегментной или стрельчатой арки торец полуарки пер­пендикулярен ее оси, продольная сила действует вдоль волокон древесины при угле смятия α=0, и расчетное сопротивление смятию является максимальным, равным расчетному сопротивле­нию сжатию . В опорном узле треугольной арки торец полуар­ки обычно перпендикулярен продольной и поперечной силе, и сминающая сила =. Эта продольная сила действует под углом к волокнам древесины, определяемым из выражения tgα=Q/N, и расчетное сопротивление смятию соответ­ственно несколько ниже.

Число болтов крепления конца сегментной и стрельчатой арок к боковым фасонкам башмака определяется по величине поперечной силы Q, как двухсрезных, работающих симметрично при стальных накладках под углом α=90° к волокнам древесины. В опорном узле треугольной арки, где равнодействующая сил N и Q действует перпендикулярно торцу полуарки, сдвигающая сила отсутствует, и болты крепления являются не расчетными, а конструктивными.

Опорный лист башмака работает на изгиб как балка на упру­гом основании. Максимальный изгибающий момент в его сечении при расчетной ширине b=1 см определяется по приближенной формуле

M = (- )/8,

где и равны давлению торца полуарки и реактивному дав­лению фундамента, а и равны соответственно длине листа и ширине сечения арки.

Требуемая толщина опорного листа δ определяется из выра­жения =. Анкерные болты рассчитываются на срез и смятие при действии поперечных сил по нормам проектирования стальных конструкций. Поверхность опор рассчитывается на смятие от действия продольных сил N .

Опорный узел сегментной или треугольной клеедеревянной арки с затяжкой из двух сталь­ных уголков (рис. 18, а) рассчитывается по прочности при смятии двух наклонных лобовых упоров торца полуарки в эле­менты башмака. Нижняя горизонтальная площадь упора рас­считывается на смятие от действия на нее через опорный лист вертикальной опорной реакции R по формуле σ = R/≤, где расчетное сопротивление смятию определяется при угле наклона касательной оси арки α = . Вертикальная площадь упора рассчитывается на смятие диафрагмой от горизонтального усилия в затяжке по формуле σ = R/≤, где угол смятия α = 90° —. Расчетные сопротивления смятию определяются в соответствии со значениями этих углов.

Опорный лист этого башмака работает на изгиб как стальная пластинка, опертая по трем сторонам с консолями на реактивное давление опоры и вертикальное давление торца полуарки. Диа­фрагма работает и рассчитывается на изгиб как стальная плас­тинка, опертая по трем сторонам на горизонтальное давление торца полуарки.

В опорном узле с наклонной ребристой диафрагмой (рис. 18, б) торец полуарки проверяется на смятие силой N вдоль волокон древесины. Число двухсрезных болтов определяется по величине поперечной силы Q, а диафрагма рассчитывается на изгиб от давления торца полуарки, как балка пролетом, равным расстоя­нию между боковыми фасонками башмака.

Длины сварных швов, соединяющих элементы башмака, креп­ление к нему накладок затяжки рассчитывают с учетом растяги­вающей силы в затяжке по нормам проектирования стальных конструкций. Анкерные болты арок с затяжками не воспринима­ют распора и являются конструктивными.

Опорный узел арки с клеедеревянной затяжкой и соединения­ми на вклеенных стальных стержнях рассчитывается на усилие растяжения в затяжке в соответствии с несущей способностью вклеенных стальных стержней. Опорная площадь горизонтального торца конца полу­арки рассчитывается на смятие под углом α = 90° —(где — угол наклона касательной к оси полуарки в центре узла) и на давление опорной реакции. При сборной конструкции этого узла вертикальная площадь конца полуарки проверяется на смятие, стальная шайба — на изгиб от давления усилия в нижнем поясе арки, а концы свободных здесь стержней с нарезками проверя­ются на растяжение.

При расчете конькового узла сегментной клеедеревянной арки со стальными узловыми крепле­ниями проверяется прочность лобовых упоров торцов полуарок в упорные листы креплений на смятие продольными силами, дей­ствующими вдоль волокон древесины. Число двухсрезных сим­метрично работающих болтов, соединяющих концы полуарок с фасонками креплений, определяется по величине поперечной силы Q, действующей в узле, с учетом того, что эта сила давит на болты под углом смятия α = 90° к волокнам древесины, поэто­му при определении несущей способности болтов надо вводить коэффициент . Монтажные болты, соединяющие упорные лис­ты, рассчитывают на действие поперечной силы. Стальные листы крепления не требуют расчета, так как обычно работают со значительными запасами прочности.

Расчет коньковых узлов треугольных и стрельчатых клеедеревянных арок производится аналогично с учетом того, что продольная и поперечная силы действуют здесь под углами к волокнам древесины, равными α и 90° - α, где α— угол наклона касательной к оси полуарки в этом узле.

Расчет коньковых узлов клеедеревянных и брусчатых мало пролетных арок с накладками из толстых досок или клеедеревянными и с болтовыми креплениями (рис. 19, б) производится на смятие торцов полуарок продольными силами N. Требуемое число соединительных болтов определяется при действии поперечной силы Q. При этом каждая половина накладки условно считается, консольной балкой пролетом l, равным расстоянию между рядами болтов, и консолью а, равной расстоянию крайнего ряда болтов от оси узла, где действует поперечная сила Q. При этом в ближайшем к оси узла ряду болтов возникает усилие = Q(l + a)/l, а в дальнем ряду — = Qa/l. По этим усилиям определяются требуемые количества болтов с учетом того, что они работают под значи­тельными углами к волокнам древесины как двухсрезные и сим­метричные. В ближайшем к оси узла ряду ставятся обычно два болта, а в более дальнем один болт. Сами накладки обычно работают на изгиб с избыточным запасом прочности.

Определяем рациональную кривизну полуарок стрельчатых арок. Стрельчатая форма дает возможность принимать такую кривизну полуарок, при которой изгибающие моменты в них и соответственно сечения будут близки к минимальным. Этого можно достичь методом выравни­вания положительных и отрицательных изгибающих моментов, действующих в арке. Статические расчеты показывают, что при сочетаниях равномерно распределенных и сосредоточенных в зоне конька расчетных нагрузок в этих арках возникают как положительные , так и отрицательные изгибающие мо­менты. Эти моменты, особенно от сосредоточенных нагрузок, существенно зависят от кривизны полуарок. При увеличении радиуса кривизны растут положительные изгибающие моменты. При уменьшении этого радиуса увеличиваются отрицательные моменты в полуарках.

Имеется возможность, меняя величину радиуса кривизны полуарок, определить и принять такой радиус кривизны, при котором положительные и отрицательные моменты будут близки по величине или даже равны. При этом, естественно, расчетный изгибающий момент будет близким к наименее возможному. Соответственно требуемые размеры сечений будут тоже близки к минимальным, так как они намного больше зависят от изгибаю­щих моментов, чем от продольных сил. Решение этой задачи может быть получено с разной степенью точности.