ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Перемещения в статически определимых системах на-ходят по универсальной формуле Мора:

(8.1)

где — эпюры моментов, поперечных сил и нормальных сил от единичного воздействия;

M_k, Q_k, N_k — эпюры моментов, поперечных сил и нормальных сил от силового воздействия;

μ— коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения; ^F

α— коэффициент линейного расширения;

t — приращение температуры по оси стержня-

t΄ — разность приращений температур у крайних волокон стержня;

d — высота сечения;

— опорная реакция на смещаемой опоре от единичного воздействия;

с —смещение опоры.

Эта формула дает общее решение, пригодное для всех плоских упругих геометрически неизменяемых систем с различным внешним воздействием. Первые три члена этой формулы выражают перемещения, возникающие от силового воздействия на систему, следующие два члена – перемещения от температурного воздействия и последний член - перемещение, вызванное смещением опор.

Пользуясь приведенной выше формулой, можно решать три вида задач в зависимости от различных внешних воздействий:

а) задачи на силовое воздействие;

б) задачи на температурное воздействие;

в) задачи на смещение опор или других связей.

При решении задач на силовое воздействие формула для определения перемещений имеет вид:

(8.2)

Чтобы подчеркнуть влияние только внешней нагрузки, значок k в общей формуле заменен значком р. При расчете балок, рам и многих арок двумя последними членами формулы можно пренебречь, так как в сооружениях, для которых основным является изгиб, перемещения от поперечных и продольных сил малы по сравнению с перемещениями, вызываемыми изгибающим моментом Формула примет следующий вид:

(8.3)

При расчете ферм, в стержнях которых при узловой нагрузке возникают только продольные силы, справедлива формула

(8.4)

При решении задач на температурное воздействие

формула для определения перемещений имеет вид

(8.5)

Чтобы подчеркнуть влияние только температурного воздействия, значок k в общей формуле заменен значком t.

При решении задач на смещение опор формула имеет вид

(8.6)

Этими упрощенными формулами и пользуются при решении практических задач.

Анализируя формулу (8.1), видим, что в нее входят две величины: первая — от единичного воздействия, вторая — от действия нагрузки. Это значит, что при определении перемещений нужно рассматривать два состояния системы: I — действительное состояние с приложенной заданной нагрузкой и II — вспомогательное состояние под действием единичной силы или единичного момента, приложенных по направлению определяемого перемещения. Встречаются также задачи на взаимное перемещение сечений. В этом случае во вспомогательном состоянии необходимо приложить групповые единичные силы или групповые моменты по направлению определяемого перемещения.

Для прямолинейных стержней с постоянной по длине жесткостью Е1 можно обойтись без интегрирования эпюр, заменив его перемножением по способу А. Н. Верещагина. Он показал, что вычисление интеграла может быть произведено графоаналитическим способом в том случае, если хотя бы одна из эпюр на участке интегрирования ограничена одной прямой. Для этого площадь . эпюры моментов из одной эпюры нужно умножить на ординату у, взятую под центром тяжести этой площади из другой эпюры. Следует помнить, что ордината может быть взята только из эпюры, ограниченной прямой,

(8.7)

Произведение будет положительным, если обе эпюры лежат по одну сторону от оси стержня.

Интегралы Мора могут быть вычислены и по готовым формулам. При двух трапециевидных эпюрах с ординатами а, а₁ и b, b₁

(8.8)