ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ СИЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

 

Пример 8.1. Найти прогиб на конце консоли, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 2T/м (рис. 8.1, а).

Для определения вертикального перемещения точки В нужно рассмотреть два состояния системы: действительное с заданной нагрузкой

Рис. 8.1

и вспомогательное с силой , приложенной в точке В и направленной вертикально вниз (рис. 8.1,6). Воспользуемся способом Верещагина, построим две эпюры моментов: в действительном и во вспомогательном состояниях (рис. 8.1, в, г). Искомое перемещение

Здесь Ω₁ —площадь эпюры моментов действительного состояния, имеющая криволинейное очертание, a y_t — ордината под ее центром тяжести в эпюре вспомогательного состояния, имеющая прямолинейное очертание. Перемещение имеет положительный знак, так как перемножаемые эпюры находятся по одну сторону от оси.

Пример 8.2. Определить горизонтальное перемещение точки А полуциркульного стального бруса, жестко заделанного правым концом, а на левом конце загруженного горизонтальной силой P=6T .Радиус оси бруса бруса r=1 м, момент инерции на всем протяжении бруса постоянен:I=const (рис. 8.2, а). Модуль упругости E_cт=2∙10⁴ кГ/см².

Для определения горизонтального перемещения точки А нужно рассмотреть два состояния системы: действительное с приложенной заданной нагрузкой (см. рис. 8.2, а) и вспомогательное ,с приложенной в направлении искомого перемещения единичной силой

(рис. 8.2, б).

Перемещения определяем по формуле (8 3):

Рис. 8.2.

Составим общие выражения моментов для обоих состояний:

Подставим эти выражения в интеграл (8.3):

Для удобства интегрирования выразим все величины в полярных координатах:

Изменив независимую переменную, изменим и пределы интегрирования, т. е. вместо надо взять . Подставив эти значения по

лучим:

Знак плюс показывает, что направление перемещения выбрано правильно.

Пример 8.3. Определить вертикальное перемещение точки А и угол поворота сечения В в ломаном стержне (рис. 8.3, а). Жесткость всех стержней EI—const.

Рассмотрим данную систему в трех состояниях: в действительном приложенной заданной нагрузкой (рис. 8.3, а) и в двух вспомогательных—с приложенной силой в точке А, направленной вертикально вниз (рис. 8.3,6), и с приложенным моментом сечении В (рис. 8.3, в).

Строим эпюры моментов во всех состояниях (рис. 8.3, г, д, е). Пользуясь способом Верещагина, находим:

Рис. 8.3.

Площади Ω взяты в эпюре моментов действительного состояния, а координаты под центром тяжести этих площадей — из эпюр моментов, вспомогательного состояния. При определении углового перемещения сечения В знак минус у второго члена взят потому, эпюры моментов действительного и вспомогательного состояний находятся по разные стороны от оси.

Пример 8.4. Требуется определить угол поворота сечения на конце консоли рамы, изображенной на рис. 8.4, а. Момент инерции ригеля 2I, момент инерции стоек I.

Рис. 8.4.

Рассмотрим раму в двух состояниях: в действительном с приложенной заданной нагрузкой (см. рис. 8.4, а) и во вспомогательном c приложенным на конце консоли моментом (рис. 8.4,6).

Строим эпюры моментов в обоих состояниях (рис. 8.4, в, г).

Предварительно определяем опорные реакции.

Опорные реакции для первого состояния:

Опорные реакции для второго состояния находим аналогично первому:

Определяем перемещение, пользуясь способом Верещагина:

Знак при перемножении эпюр получается отрицательный, так как эпюры моментов действительного и вспомогательного состояния лежат по разные стороны от оси рамы.

В окончательном результате знак минус показывает, что направление угла поворота противоположно тому, которое было принято на рис. 8.4, б. Для получения ответа в радианах нужно El представлять в Т∙м².