Математические модели оптимального проектирования технологического процесса представляют собой формализованное описание критерия качества, условий, обеспечивающих выполнение заданных функций процесс-сом, требований, предъявляемым к отдельным параметрам процесса и др.
Именно в формировании математической модели заключается постановка задачи оптимального проектирования технологического процесса, которой предшествует определение цели и соответствующего критерия оптимизации. Например, при проектировании технологического процесса цели оптимизации могут состоять в обеспечении его минимальной трудоемкости, максимальной производительности, минимальной технологической себестоимости и др. Каждой их перечисленных целей оптимального проектирования соответствует свой критерий оптимальности (трудоемкость, производительность, технологическая себестоимость и др.). Критерии оптимальности выражают целевыми функциями Q(х), представляющие собой математические зависимости их значений от параметров проектируемого технологического процесса.
Цели оптимизации могут иметь и более сложный характер, когда число показателей качества проектируемого технологического процесса (критериев оптимальности) более одного. В реальных условиях оптимизационной задачи часто носит многокритериальный характер.
На первом этапе разработки математической модели оптимального проектирования выявляют параметры процесса, влияющие на критерий (критерии) оптимальности последнего (последних) от этих параметров. Далее определяют параметрические, дискретизирующие и функциональные ограничения, накладываемые на параметры технологического процесса, для обеспечения выполнения им заданных функций.
Если всей совокупности параметров технологического процесса поставить соответствие некоторые n-мерное декартовое пространство проектирования Rn , то оно будет состоять их двух частей – подпространство реальных процессов (допустимого подпространства проектирования D) и подпространство нереальных процессов. При этом подпространство реальных процессов образуется точками, координаты которых соответствуют значению параметров технологического процесса, удовлетворяющим указанным выше параметрическим, дискретизирующим и функциональным ограничениям.
Параметрическим называют ограничение M1 вида
x`i ≤ xi ≤ x``i (1)
где xi - i-тый параметр технологического процесса, x`i и x``i - соответственно минимально и максимально допустимые значения i-того параметра.
Совокупность ограничений (1) образует n-мерный параллелепипед в пространстве проектирования Rn .
Дискретизирующие ограничения М2 имеет вид
xj = { xj1, xj2,...., xjm } (2)
где xj – j-тый параметр технического объекта, xjk –допустимые дискретные значения j-того параметра ( k=1,2,...,m)
Ограничениями (2) n-мерный параллелепипед, образованный ограничениями (1), разрывается, и подпространство реальных процессов размерности n переходит в совокупность подпространств размерности n-m. Так, если n=3, а m=1, то подпространство реальных процессов, представляющие собой трехмерный параллелепипед, переходит в совокупность его плоских сечений в точках множества (2).
Ограничения вида (2) накладывают на значения параметров либо в связи с их физической сущностью (например, параметр «число инструментов» в наладке может принимать только целые значения в некотором интервале), либо в связи с требованиями ГОСТов, ОСТов и др.
Функциональные ограничения M3, накладываемые на параметры процессов, представляет собой условия связи их значений. Эти ограничения имеют вид
gi (x)≤ 0; gj (x)=0; gk (x) <0. (3)
Функциональные ограничения еще более уменьшают объем допустимого подпространства проектирования и усложняют его форму. Функциональными ограничениями при оптимальном проектировании технологических процессов могут быть условия: прочности, жесткости, точности, герметичности, и др. эти условия обеспечивают желаемые значения тех или иных технических характеристик и экономических показателей.
Таким образом, допустимое подпространство проектирования D представляет собой множество точек, удовлетворяющих ограничениям (1) -(3).
Определение ограничений (1)-(3) является чрезвычайно ответственным этапом в процессе постановки и решения задач оптимального проектирования. Неучет каких-либо ограничений может привести к таким нежелательным эффектам, как невозможность реализации технологического процесса или низкий уровень технико-экономических и других показателей процесса. Вместе с тем, избыточные ограничения повышают сложность модели, используемых алгоритмов и методов решения задач, а также увеличивают затраты машинного времени.
Важное значение при постановке задач оптимального проектирования: имеет анализ совместимости параметрических, дискретизирующих и функциональных ограничений. При этом если окажется, что
D={x│M1, M2 , M3 }=Ǿ,
т.е. допустимое подпространство проектирования является пустым множеством, то следует пересмотреть ограничения (1) - (3) и выяснить противоречащие. Поиск оптимальных решений возможен, если D содержит хотя бы две точки. Указанный анализ можно выполнить проверкой выполнения ограничений на реальном процессе или зондированием подпространства D на ЭВМ.
Таким образом, задачу оптимального проектирования формулируют следующим образом. Найти такое x*Є D, для которого Q (х*)=min Q(x ), xЄ D
Найденное в результате решения задачи х* называется оптимальным решением, а Q (х*) оптимальным значением критерия оптимальности.
Сложнее формулировать многокритериальные задачи оптимального проектирования, в которых требуется определить такое значение вектора параметров x*Є D, которое обеспечивало бы минимум одновременно по всем критериям оптимальности. При этом среди последних обычно есть и противоречивые, оптимизация по каждому из которых в отдельности приводит к разным значениям x*. В этих случаях, задача состоит в определении некоторого компромиссного решения, для чего критерии оптимальности объединяют в один - обобщенный критерий.
Известно множество способов построения обобщенных критериев. Среди них наиболее часто используют метод взвешенных сумм, согласно которому обобщенный критерий
Q(x)=∑ λi Qi(x),
где Qi(x), - i -й критерий оптимальности; λi – весовой коэффициент.
Значения весового коэффициента устанавливают исходя из степени важности того или иного критерия на основе опыта, интуиции или метода экспертных оценок. Наличие элемента субъективизма в определении λi - недостаток рассматриваемого метода. Известен и такой подход, когда задачу решают для нескольких сочетаний весовых коэффициентов, а затем выбирают наиболее подходящее решение.
Метод взвешенных сумм наиболее удобен для критериев оптимальности, измеряемых в одинаковых единицах или в относительных величинах.
Для равноценных критериев оптимальности обобщенный вектор можно построить в виде суммы
Q(x)=∑ {[Qi(x)- Q*i (x)]/ Q*i(x)}
где Qi(x) - i -й критерий оптимальности; Q*i(x), - оптимальное значение i-того критерия, найденное при решении задачи с целевой функцией Q0(x)= Qi(x)
Если построение обобщенного критерия оптимальности невозможно или нецелесообразно, то используют способы оптимизации главного из многих критериев или последовательной оптимизации всех критериев. В первом случае по тем или иным соображениям выбирают наиболее важный критерий и оптимизацию выполняют по нему. Остальные критерии учитывают в виде ограничений на их значения. При последовательной оптимизации всех критериев поступают следующим образом. Сначала устанавливают последовательность оптимизации критериев. Затем решают задачу оптимизации с одним первым критерием и находят его оптимальное значение Q*1 . После этого решают задачу оптимизации по второму критерию, но при этом в модель вводят дополнительное ограничение
Q1(x)= Q*1 +δ1
где δ1 - уступка по первому критерию.
Аналогично решают задачи оптимизации по остальным критериям с добавлением на каждом шаге в модель ограничений по предыдущим критериям. Таким образом, полученное в итоге оптимальное решение x* во многом определяется значениями компонент вектора уступок δ1 .
Для определения их наилучших значений можно решать задачу оптимизации по критерию
T(x)=min max (Qi(x)- Q*i - δ1 )
После решения задачи многокритериальной оптимизации исследователю предстоит на основе интуиции и опыта оценить полученные результаты. При этом мажет оказаться необходимым повторить решение задачи с другим обобщенным критерием или при других значениях весовых коэффициентов, вектора уступок и т.д. В этих условиях особое значение приобретают системы диалогового взаимодействия человека с ЭВМ в процессе решения задач многокритериальной оптимизации.
После построения математической модели оптимального проектирования в первом приближении встает задача ее анализа, к целям которого относятся: выявление выпуклости, вогнутости, унимодальности (наличия у целевой функции одной точки экстремума и ее совпадение с глобальным экстремумом), многоэкстремальности (наличие у целевой функции нескольких локальных экстремумов), исследование совместимости ограничений; исследование допустимого подпространства проектирования, образуемого ограничениями; выявление адекватности модели проектируемому процессу.
Результаты анализа математической модели имеют важное значение для правильного выбора необходимых при решении задачи математических методов оптимизации.