Геометрическая интерпретация множества допустимых планов и достижимого множества

Требуется дать геометрическую интерпретацию для задач «прибыль» и «себестоимость».

Прибыль

Себестоимость

Для отображения на плоскости задачи приводятся к двум переменным.

Изобразив все ограничения для данной задачи, мы получаем выпуклый многоугольник, представляющий множество допустимых планов. Функция «выручка» может принимать любое значение в пределах допустимого множества ABCD.

Рисунок 3. Геометрическая интерпретация выручка

В одной из вершин множества ABCD должен быть заключён оптимальный план задачи. В ходе решения симплекс методом перебираются вершины фигуры, и находится та точка, значение координат (x1,x2) которой дают наибольшее значение целевой функции . Для графического решение требуется определить направление наибольшей скорости возрастания (убывания) функции. Это направление может быть показано вектором градиента, координаты которого находятся как частные производные от целевой функции. В нашем случае вектор градиента будет иметь координаты Передвигая перпендикуляр к вектору градиента по направлению возрастания функции, мы должны упереться в точку, несущую в себе оптимальный план решения задачи. Такой точкой будет точка Именно в этой точке мы получим максимум прибыли 84 тысяч рублей при заданных ресурсных ограничениях. При изменении цен в пределах интервала оптимальности будет меняться направление вектора градиента, но оптимальный план останется в той же точке. При изменении вектора ресурсов в пределах интервала устойчивости будет меняться область допустимых значений, но вектор градиента сохранит своё направление. Возможные значения функции «прибыли» при изменении цен и ресурсных ограничений мы рассмотрели при решении задач с параметрами.

Для задачи «себестоимость» принцип графического отображения будет схожим.

В данном случае максимальное значение функции (мы привели её к виду на максимум) будет достигнуто в точке Тогда, подставив эти значения в функцию, мы получим . Меняем знак, получаем минимальное значение себестоимости при существующих ограничениях = 138 тысяч рублей. Такое значение может быть достигнуто при полном отказе от производства первых двух видов продукции, при этом мы потратим на третий продукт весь ресурс R3 (необходимо потратить по условию).