Задача 4
Для стальной (сталь 40) консольной балки, изображённой на рис. 1 из условия прочности (приняв коэффициент запаса = 2,5), по допускаемым напряжениям подобрать следующие поперечные сечения:
- круг с диаметром ;
- кольцо (α = / = 0,5);
- прямоугольник ( / = 2);
- два швеллера;
- двутавр.
Сравнить расход материала балки для рассчитанных поперечных сечений.
Исходные данные для расчёта:
= 10 кН; = 10 кН м; = 20 кН/м; = 1,1 м; b = 1,4 м.
Решение
1.Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Для построения эпюр воспользуемся методом сечений. Разбиваем балку на участки. Нумерацию участков ведём от свободного конца балки. Для каждого участка балки составляем уравнение поперечной силы и изгибающего момента как функцию от . Начало координаты помещаем вместе свободного конца балки.
Участок I0 ≤ < b
= · – = 20 · – 10
Эпюра – прямая наклонная линия
Рис. 1
= · – = 10 · – 10 ·
Эпюра – отрезок параболы, ветви которой направлены вниз
При = 0
= – 10 кН; = 0
При = = 1,4 м
= 20 · 1,4 – 10 = 18 кН
= 10 · – 10 · = – 5,6 кН·м
На участке поперечная сила изменила знак, следовательно, функция имеет экстремальное значение
= 0 при = = 0,5 м
= = 10 · – 10 · = 2,5 кН·м
Участок II ≤ ≤
= · – = 20 · – 10
Эпюра – прямая наклонная линия
= · – + = – 10 · + 10 · + 10
Эпюра М(х) – отрезок параболы, ветви которой направлены вниз
При = = 1,4 м
= 20 · – 10 = 18 кН
= – 10 · + 10 · + 10 = 4,4 кН·м
При х = а + b = 1,1 + 1,4 = 2,5 м
= 20 · – 10 = 40 кН
= – 10 · + 10 · + 10 = – 27,5 кН·м
По результатам расчётов строим эпюры поперечных сил (рис. 1 ) и изгибающих моментов (рис. 1с).
Из эпюры изгибающих моментов, определяем опасное сечение балки – это сечение в месте заделки, так как здесь возникает наибольший, по абсолютной величине, изгибающий момент:
= 27,5 кН·м = 27,5 · 103 Н·м
По нему и будем вести расчёт сечений балки
2. Подбор сечений балки.
Условие прочности при изгибе:
≤ ;
Где = - наибольшие нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении;
– осевой момент сопротивления сечения, который зависит от формы поперечного сечения балки;
= – допускаемые напряжения;
– предел текучести материала, который при отсутствии площадки текучести на диаграмме растяжений, принимается равный напряжению, при котором относительная остаточная деформация равна 0,2%.
Для стали 20 = 340 МПа = 340·106 Па
= 2,5 – заданный коэффициент запаса прочности.
Таким образом, из условия прочности при изгибе
= = = 0,202·10-3 м3
= = = 136 МПа
а) Круглое сечение
Для круглого сечения осевой момент сопротивления равен:
= ;
Следовательно
≥ 0,202·10-3
Откуда находим
≥ = 0,127 м. = 127 мм
Принимаем ближайшее большее стандартное (кратное 10 мм.) значение = 130 мм
Тогда площадь сечения равна
= = = 13,3 ·
Проверяем выполнение условия прочности:
= = = =
= 127,5· Па = 127,5 МПа < = 136 МПа
Условие прочности выполнено.
б) Кольцевое сечение
Для кольцевого сечения осевой момент сопротивления равен:
= ·(1 )
Где = / = 0,5 , следовательно
·(1 ) ≥ 0,202·10-3
Откуда находим
≥ = 0,129 м. = 129 мм
Принимаем ближайшее большее стандартное значение = 130 мм = 0,5 = 0,5·130 = 65 мм
Тогда площадь сечения равна
= · ( – ) = ( – ) = 10,0 ·
Проверяем выполнение условия прочности:
= = = =
= 135,9· Па = 135,9 МПа < = 136 МПа
Условие прочности выполнено.
в) Прямоугольное сечение
Для прямоугольного сечения осевой момент сопротивления сечения равен
= при = 2 =
Следовательно
≥0,202·
Откуда находим
≥ = 0,067 м. = 67 мм
Принимаем = 70 мм; = 140 мм.
Тогда площадь сечения
= · = 0,07 · 0,14 = 9,8 · м2
Проверяем выполнение условия прочности:
= = = = 120,3 · Па =
= 120,3 МПа < = 136 МПа
Условие прочности выполнено.
г) Два швеллера
2· ≥0,85 ·
Тогда для одного швеллера
≥0,202· = 202
По таблице сортамента проката принимаем швеллер № 16а, у которого
= 103 = 19,5
Тогда для сечения, составленного из двух швеллеров
= 206 = 0,206· = 39,0 = 3,9·
Проверяем выполнение условия прочности:
= = = 133,5 · Па =
= 133,5 МПа < = 136 МПа
Условие прочности выполнено.
д) Двутавровое сечение
≥0,202 ·
По таблице сортамента проката принимаем двутавр № 22, у которого
= 232 = 0,232 · = 30,6 = 3,06·
Проверяем выполнение условия прочности:
= = = 118,5 · Па =
= 118,5 МПа < = 136 МПа
Условие прочности выполнено.
3. Сравнительный анализ расхода материала для балок
с рассчитанными поперечными сечениями.
Масса изготовленной балки рассчитывается по формуле:
= · μ = · · μ
Где – объём материала балки;
μ – плотность материала балки;
– длина балки;
– площадь поперечного сечения балки.
Поскольку · μ = const, то для сравнения масс балок, достаточно сравнить их поперечные сечения.
Составим сравнительную таблицу, приняв площадь поперечного сечения (массу) круглой балки за 100%.
| Сечение | Размер | Значение | , МПа | ·10-3 м2 | % |
| Круглое | 127,5 | 13,3 | |||
| Кольцевое | / | 130·65 | 135,9 | 10,0 | |
| Прямоугольн. | 70·140 | 120,3 | 9,8 | ||
| Два швеллера | № | 16а | 133,5 | 3,9 | |
| Двутавр | № | 118,5 | 3,06 |
Вывод:Самая экономичная балка – балка из двутавра, которая в 4,3 раза легче самой неэкономичной балки – балки круглого сечения.