Основная система при расчете рам методом сил. Канонические уравнения

Порядок расчета.Рассмотрим порядок проверочного расчета статически неопределимой рамы на действие неподвижной на­грузки. При расчете рам произвольного очертания целесообразно от заданной статически неопределимой рамы переходить к основ­ной статически определимой системе. Основной называют такую систему, которая принимается в основу расчета данной статически неопределимой конструкции. По основной системе уста­навливают перемещения и усилия, по которым находят лишние неизвестные, применяя уравнения совместности перемещений, затем определяют окончательные усилия для заданной системы. Общий порядок расчета рамы методом сил следующий. От заданной статически неопределимой системы переходим косновной системе — статически определимой и неизменяемой, которая получается из заданной системы путем отбрасывания всех лишних связей (за исключением необходимых).

Заменяем отброшенные лишние связи соответствующими им си­лами, называемыми лишними неизвестными X₁, X₂, Х₃ и т. д.

Составляем уравнения совместности перемещений, выражаю­щие условия равенства нулю перемещений по направлению каж­дой лишней связи.

Определив все коэффициенты при неизвестных и свободные чле­ны уравнений совместности перемещений, решаем систему этих уравнений и находим лишние неизвестные, после чего строим эпюры М, Q и N для рамы.

Уравнения совместности перемещений метода сил, написанные в определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими уравнениями метода сил.

Рассмотрим порядок расчета простейшей несимметричной статически неопределимой рамы (рис. 147, а). В данном случае система дважды статически неопределима. От заданной статически неопределимой системы переходим к основной системе, отбрасывая шарнирно неподвижную опору (рис. 147,б). Получаем основную систему в виде рамы, защемленной правым концом, со свободным левым концом. Действие неподвижной опоры возмещаем силами X₁ и Х₂ — составляющими реакции неподвижной опоры. Это один из вариантов основной системы.

Можно предложить другой вариант основной системы — в виде двухопорной рамы; отбрасывая защемление правой опоры, заменя­ем ее действие моментом Х’₁; ликвидируя горизонтальное закрепле­ние левой опоры, возмещаем ее действие горизонтальной реакцией Х’₁ (рис. 147, в)

И еще один вариант основной системы — в виде трехшарнирной рамы acb (рис. 147, г); действие лишних связей при этом возме­щаем моментами Х”₁ и Х"₂ , где моменты Х"₂ заменяют жесткую связь соседних сечений в заданной системе. Меняя положение шарнира с, получаем ряд вариантов основных систем.

Наиболее простой является основная система в виде защемлен­ной рамы (рис. 147,6), для которой проще всего строится эпюра изгибающих моментов.

Выбрав основную систему и представив действие лишних связей неизвестными силами Х₁ и Х₂, составляем канонические уравне­ния.

 

Каждое уравнение совместности перемещений, как было отме­чено, выражает условие равенства нулю перемещения по направ­лению лишнего неизвестного. В заданной раме (рис. 147, а) вер­тикальное и горизонтальное перемещения центра неподвижной опоры а равны нулю. Те же условия должны выполняться и для основной системы (рис. 147,6). Условия равенства нулю верти­кального и соответственно горизонтального перемещений точки а можно выразить так:

Δx1(x1x2 p)=0; Δx2(x1x2 p)=0; (2)

где Δx1(x1x2 p)— вертикальное перемещение точки а, т. е. перемеще­ние по направлению силы Х₁ от действия сил Х₁, Х₂ и нагрузки р; Δx2(x1x2 p)=0; — горизонтальное перемещение точки а по направлению си­лы Х₂ от действия сил Х₁, Х₂ и нагрузки интенсивностью р.

Чтобы выразить уравнения (9.2) в явной форме через лишние неизвестные, применим известный из предыдущего принцип неза­висимости действия: перемещение, вызванное системой сил, пред­ставим в виде суммы перемещений, вызванных отдельными силами X,, X, и нагрузкой интенсивностью р. Вместо уравнений (2) по­лучим:

Δx1x1+Δx1x2+Δx1p=0; Δx2x1+Δx2x2+Δx2p=0;(3)

где первый индекс в выражении перемещения указывает, по на­правлению какой силы совершается перемещение, а второй индекс отмечает, какой силой вызвано перемещение.

Для краткости опустим в индексах при всех перемещениях бук­ву х, оставив лишь номер лишнего неизвестного. Тогда вместо уравнений (3) получим

(4)

Перемещения Δ1pи Δ2p, вызванные нагрузкой интенсивностью р, определяются в основной системе.

Для линейно-деформируемой упругой системы перемещения Δ12, Δ21, Δ22, вызванные силами Х₁ и Х₂, представляем по обоб­щенному закону Гука пропорциональными силами Х₁ и Х₂ соответственно:

где δ11— перемещение по направлению силы X₁ вызванное единич­ной силой Х₁=1; δ₁₂ — перемещение по направлению силы Х₂, вызванное единичной силой Х₂=1; δ₂₂ — перемещение по направле­нию силы Х₂, вызванное единичной силой Х₂=1.

Уравнения деформаций (4) теперь можно представить в явной форме от лишних неизвестных:

(5)

Здесь δ₁₁, δ ₁₂, δ ₂₁, δ ₂₂— «единичные» перемещения; их легко определить по соответствующим эпюрам моментов, пользуясь формулами:

(6)

В выражениях (6): М₁ — функция изгибающего момента в произвольном сечении основной системы от Х₁=1; М₂ — изгибающий момент в том же сечении от X₂=l; s — длина стержня рамы; п — число ее стержней.

Свободные члены уравнений (5), так называемые грузовые члены, определяют по общей формуле для перемещений:

(7)

При этом в формулах (6) и (7), как обычно при расчете рам, учтено лишь влияние на перемещения изгибающих моментов. Най­дя выражения изгибающих моментов М_р , М₁, и М₂ и вычислив пе­ремещения по формулам (6) и (7), решаем канонические урав­нения деформаций (5) и находим лишние неизвестные Х₁ и Х₂. Если стержни рамы имеют переменное сечение, меняющееся от стержня к стержню, при решении уравнений (5) вводят соотно­шения моментов инерции сечений стержней.

Эпюры моментов М_р и от единичных неизвестных М₁ и М₂ даны

на рис. 148, а — в.