Свойства канонических уравнений. Построение эпюры моментов.

Отметим следующие свойства коэффициентов при неизвестных канонических уравнений:

1. Перемещения от единичных сил Х₁=1 и Х₂=1 с различны­ми индексами равны между собой, т. е.

(8)

или, иначе, «единичные» перемещения не меняются от перестановки индексов—теорема о взаимности перемещений.

2. Перемещения от единичных сил X₁ и Х₂ с одинаковыми . индексами всегда положительны (δ₁₁, δ ₂₂), что непосредственно сле­дует из выражений (6) для этих перемещений, содержащих квад­раты изгибающих моментов.

«Единичные» перемещения с одинаковыми индексами δ₁₁, δ₂₂ называют главными, поскольку они не могут быть равны нулю и всегда входят в уравнения. «Единичные» перемещения с различ­ными индексами δ₁₂, δ₂₁ называют побочными, так как при удачном выборе неизвестных они могут оказаться равными нулю. Если наметим линию, соединяющую в уравнениях (5) главные перемещения δ₁₁ и δ₂₂ (главная диагональ), то побочные переме­щения, расположенные симметрично относительно главной диаго­нали, согласно равенству (8) должны быть равны между собой. Найдя из канонических уравнений лишние неизвестные Х₁ и Х₂, перейдем к построению эпюры моментов в заданной раме по основной системе. Эту эпюру называют окончательной эпюрой момен­тов М_сум. Ее ординату в произвольном сечении находим, пользуясь принципом сложения (см. рис. 147,б):

М_сум = М_p + Х₁М₁ + Х₂ М₂ (9)

По правой части выражения (9) момент в заданной статически неопределимой раме получается как сумма моментов от нагрузки М_р и от каждого лишнего неизвестного X_t и Х₂. Увеличивая ор­динаты моментов от Х1 = 1 и Х₂ = 1 соответственно в Х₁ и Х₂ раз и складывая этот результат с ординатой эпюры моментов только от нагрузки М_р (рис. 148,а), получаем ординаты окончательной эпюры М_сум (рис. 148,д). На этой эпюре показано, как найти момент в середине ригеля.

Проверка вычисления перемещений.В случае дважды ста­тически неопределимой системы, решая систему уравнений (5), выражаем лишние неизвестные так:

где D — определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных; D₁, D₂—определители системы, которые получа­ются путем замены соответствующего столбца членами Δ_1p и Δ_2p.

Существуют специальные способы решения системы линейных алгебраических уравнений вида (5), которые будут рассмотрены ниже.

Решение канонических уравнений в этом случае необходимо проводить с большой точностью, а каждую ступень вычислений подвергать тщательной проверке. Естественно избавиться от coвместности канонических уравнений и сводить решение к определению неизвестных из одного уравнения с одним неизвестным. Если в системе уравнений (5) будет δ ₁₂ = 0, то для X_t получим такое решение:

 

Лишнее неизвестное здесь выражено отношением двух переме­щений. Основная задача упрощения расчета сложных статически неопределимых систем и сводится к исключению совместности канонических уравнений путём специального выбора основной сиетемы и лишних неизвестных. Для решения системы уравнений успешно применяются электронные счетнорешающие машины и но­вые приемы решения системы линейных уравнений.

Отметим важность осуществления контроля всех операций рас­чета статически неопределимой системы, в особенности при наличии совместности уравнений. Проведем проверку расчета рамы, изображенной на рис. 147, а. Для отыскания всех переме­щений, входящих в систему канонических уравнений, необходимо построить эпюры M_1t М₂ и М_р. Они изображены на рис. 148, а—в. Полагаем I₁ = I₂ = I. Проверив правильность построения всех эпюр, вычислим по правилу перемножения эпюр перемещения:

Далее производят так называемую построчную проверку единичных перемещений. Она состоит в следующем. Находят сум­му перемещений (δ ₁₂ + δ ₁₂). которую можно рассматривать как перемещение по направлению силы X₁ , вызванное системой сил Х₁=1 и Х₂=1, действующих одновременно. Тогда

(10)

где М₁₂ — изгибающий момент от действия системы сил Х₁=1 и X₂= 1 по рис. 148,г.

Назовем момент М₁₂ моментом в суммарном единич­ном состоянии. (В общем случае этот момент обозначают M_s)

Итак, сумма «единичных» перемещений первого канонического уравнения может быть получена путем перемножения единичной эпюры моментов на суммарную единичную эпюру моментов М₁₂.

Аналогично,

(11)

— сумма единичных перемещений второго канонического уравнения получается перемножением эпюры М₂ на эпюру М₁₂.

Кроме построчной проверки, проводим универсальную проверку всех выражений (10) и (11), применяя теорему о взаимности перемещений для групповых и простых перемещений при наличии единичных силовых воздействий:

 

«Перемножая эпюру» М₁₂ на нее же, получаем сумму всех еди­ничных перемещений. Для нашего примера (рис. 148, г)

а сумма всех единичных перемещений

-универсальная проверка соблюдается.

Проведем еще первую построчную проверку:

С другой стороны, перемножая эпюры М₁ и М₁₂, находим:

Таким образом, построчная проверка также выполняется. Кроме универсальной и построчной проверок проводим постолбцовую проверку грузовых членов Δ_1p и Δ _2p к которой приходим на основании следующих равенств:

т. е. сумму всех грузовых членов получаем «перемножением» эпюры моментов от нагрузки М_р на эпюру моментов М₁₂ (рис. 148, a, г).

В данном случае

— постолбцовая проверка выполняется.

Проверив правильность всех предшествующих вычислений, пе­рейдем к решению уравнений. В данном случае, подставляя чис­ленные значения перемещений в канонические уравнения (5) и умножая все члены на EI, находим:

Решая уравнения способом исключения неизвестных, получаем:

Проверка суммарной эпюры моментов. Применяя принцип сло­жения, получаем все ординаты «суммарной» эпюры моментов (рис. 148, д). При этом суммирование ординат эпюр М_р, Х₁М₁, Х₂М₂ проводим последовательно, вычисляя их для сечений, взятых по концам каждого стержня рамы и соединяя концы ординат со­ответствующими линиями (при отсутствии нагрузки — прямыми). Получив суммарную (окончательную) эпюру моментов, проводим проверку правильности ее построения. Для этого выясняем, вы­полняется ли каждое условие совместности перемещений вида (2), т. е.

(12)

Вместе с тем перемещения по направлениям Х₁ и Х₂ от одно­временного действия нагрузки и неизвестных Х₁, Х₂ можно найти, перемножая суммарную эпюру M_сум на соответствующую единич­ную эпюру моментов М₁ или M₂. Вместо выражения (12) по­лучим:

(13)

Результат перемножения суммарной эпюры моментов на любую единичную должен равняться нулю. Заметим, что это соотношение не выполняется при действии на статически неопределимую систему температуры.

В частном случае, если M_t — const вдоль всех стержней рамы и рассматривается случай действия нагрузки, вместо выражения (13) получим

— приведенная площадь эпюры моментов [площадь M_сум / (EI)], под­считанная по всей длине оси рамы, должна быть равна нулю, если для какого-либо состояния Х_i=1 эпюра Мi- постоянна (например, в случае замкнутого бесшарнирного контура).