Останнє диференційне рівняння (3) можна записати в такому вигляді:
(4)
Де є символом диференціювання.
Математична операція перемножування змінної на буде означати її диференціювання, а ділення – операцію зворотну до диференціювання, тобто інтегрування:
Рівняння (4) можна переписати в такому вигляді:
(5)
Аналогічно записуються рівняння більш високого порядку, які можуть мати похідні в правій частині:
(6)
Де D (p) і B (p) багаточлени від р.
Така форма запису рівнянь називається операторною і звичайно застосовується при складанні рівнянь ланок і систем.
Рівняння типу (5) і (6) простіше розв’язати як алгебраїчне відносно p, але для цього необхідно перетворити функції змінних в функції іншої змінної – р, тобто в Це перетворення здійснюється з допомогою інтегралу Лапласа-Карсона:
(7)
Цей інтеграл залежить лише від значень , які існують в інтервалі часу t від 0 до ∞. Після інтегрування і підставлення цих меж замість t отримуємо вираз, який не містить в собі t і залежить від р, тобто , в якому р розглядається вже не як символ диференціювання, а як число.
Функція , яка перетворюється називається оригіналом, а функція , яка утворюється після перетворення – її зображенням L ].
Отже, вираз (4) трансформується у вираз:
(8)
А вираз (6) у вираз , (9)
де р – символ диференціювання, і - багаточлени від р (операторні багаточлени); Y(р) і Х(р) –зображення відповідно регульованої(вихідної) величини і регулюючої дії (вхідної величини).
Знайдемо відношення:
, (10)
Це відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини називається передавальною функцією (оператором) ланки (групи ланок, системи). Позначається передавальна функція через . Отже оператор ланки або передавальна функція , відповідно до рівняння (5) може бути подана і записана такими виразами:
. (11)
Висновок: Отже, оператор ланки або системи дорівнює відношенню операторних багаточленів правої та лівої частин їх рівнянь. При цьому зображення диференційних рівнянь мають такий самий вигляд, як і самі рівняння, отримані шляхом простого підставлення в них р замість yІ.