Під системою автоматичного керування (САК) розуміють сукупність об’єкта керування (робочої машини, механізму, процесу) та з’єднаних певним чином елементів, взаємодією яких забезпечується розв’язання поставленого завдання керування об’єктом.
Основними елементами САК є: об’єкт керування; вимірювальний елемент; керуючий елемент; виконуючий елемент.
При дослідженні САК у ТАУ застосовують так звані типові ланки, які приблизно відповідають елементам реальних систем і точно і просто описуються математично.
Під динамічною ланкою розуміють пристрій будь-якої фізичної природи і конструктивного виконання, але описуване певним диференціальним рівнянням.
Класифікація ланок проводиться саме по виду диференціального рівняння. Одним і тим же рівнянням можуть описуватися доволі різноманітні пристрої (механічні, гідравлічні, електричні і т. д.). Для теорії автоматичного керування це буде один і той же тип ланки. Конкретні елементи автоматичних систем, їх теорія, конструкція і розрахунки викладаються у відповідних підручниках і посібниках.
САК в цілому, володіє певним обмеженим набором фізичних властивостей (здатність до накопичення впливу або до посилення впливу) і інерційністю.
Типова ланка це структурно-математична модель динамічного елемента САК (системи автоматичного керування) або САК в цілому, володіє певним обмеженим набором фізичних властивостей, наприклад здатність до накопичення впливу або до посилення впливу і інерційністю.
Типові ланки дозволяють провести структурний аналіз системи керування шляхом заміни функціональних елементів системи їх математичними моделями при збереженні зв’язків між елементами. Результати досліджень дозволяють судити про її фізичні якості.
Нехай у результаті аналізу динаміки ланки вийшло диференційне рівняння другого порядку:
де x, y відповідно вхідна та вихідна величини.
У теорії автоматичного керування прийнято приводити рівняння ланки до стандартного вигляду і символічної запису:
, (1)
де .
Тут введені постійні часу, які в даному випадку будуть дорівнювати:
, ,
і коефіцієнт підсилення (передаточне число) ланки:
.
Коефіцієнт передачі визначає статичні властивості ланки у відповідності з його рівнянням статики. У сталому стані, коли і , отримаємо з рівняння (1)
.
Коефіцієнт передачі визначає статичні властивості ланки у відповідності з його рівнянням статики. Показує крутизну нахилу статичної характеристики ланки.
В рівнянні (1) оператор при вихідній величіні y називають власним оператором, а оператор при вхідному діянні x – оператором діяння.
Відношення оператора діяння до власного оператора називають передаточною функцією. Передаточна функція ланки, яка описуються рівнянням (1) має вигляд:
. (2)
В загальному випадку передаточна функція ланки має вигляд:
, (3)
Де , - багаточлени з коефіцієнтами 1 у молодших членах, при чому ступінь не перевищує .
Типові ланки в залежності від виду та порядку диференціального рівняння, яким вони описуються, розділяють на: найпростіші (пропорційні, інтегруючи і диференціюючи); ланки першого порядку (аперіодичні, форсуючи, інерційно-диференціюючи та ін.); ланки другого порядку (коливальні і аперіодичні другого порядку); ланки з запізненням. Перераховані лінійні ланки містять один вхід і один вихід. Суматор - необхідна ланка для розбудову-керування моделі досить складної системи, що складається з декількох ланок. Передаточні функції основних типових ланок наведені у таблиці 1.
Таблиця 1 – Передаточні функції типових ланок
| Назва ланки | Передаточна функція ланки |
| Підсилювальна (безінерційна) | |
| Інтегрувальна | |
| Диференціювальна | |
| Аперіодична ланка 1-го порядку (інерційна) | |
| Аперіодична ланка 2-го порядку (всі корені дійсні) | , |
| Коливальна | , |
| Консервативна | |
| Інтегрувальна з запізненням (реальна інтегруюча) | |
| Диференціювальна з запізненням (реальна диференціювальна) | |
| Форсувальна | |
| Ізодромна |
Типових ланок всього близько півтора десятків, але з них, як з кубиків можна побудувати модель лінійної системи управління будь-якої складності.
Динамічні характеристики визначають властивості ланки або системи при зміні в часі вхідних і вихідних величин.
Часові характеристики являють собою реакції ланки або системи на типові впливи при нульових початкових умовах.
Нульові початкові умови це коли вхідна та вихідна величини та їх похідні тотожно дорівнюють нулю при відсутності зовнішнього збудження.
Перехідна (часова) характеристика - це перехідний процес зі зміни вихідної величини (реакція на виході ланки) при одиничному ступеневому діянні на вході і нульових початкових умовах. Перехідна характеристика позначається як h(t).
Одиничне ступінчасте діяння (одинична ступінчаста функція) - це вплив, яке миттєво зростає від нуля до одиниці і далі залишається незмінним. Одиничний ступінчастий вплив позначається 1(t) і записується наступним чином:
і показаний на рис. 1.
Рисунок 1 - Одиничне діяння
Вагова (імпульсна перехідна) характеристика - це перехідний процес зміни вихідної величини при одиничному імпульсному вхідному діянні і нульових початкових умовах. Реакція ланки на одиничний імпульс позначається як w(t).
Одиничний імпульс (дельта-функція Дірака) - це математична ідеалізація гранично короткого імпульсного сигналу. Позначається як d(t). Це імпульс, площа якого дорівнює одиниці при тривалості рівною нулю, і рівній висоті нескінченності. Математично дельта-функція записується так:
При цьому згідно з визначенням:
Дельта-функція пов'язана одиничної ступінчастою функцією:
.
Між перехідною і ваговою функціями існують наступні види зв'язку:
і .
На рис. 2 показані три різні види перехідних та імпульсних характеристик що відповідають різним типам ланок.
Рисунок 2 - Перехідні (а) і імпульсні (б)
характеристики, різних ланок
Знаючи перехідну або вагову функцію, можна визначити реакцію ланки на довільне вхідне діяння при нульових початкових умовах за допомогою наступних таких формул:
, (4)
(5)
де - значення при ;
Перша складова у виразах (4 і 5) у реальних інерційних ланках дорівнює нулю, так як реакція на виході завжди відстає від вхідного впливу, тобто . Тому в подальшому ці вирази будуть використовуватися без першої складової.
Перехідні характеристики можуть бути виражені безпосередньо через передатну функцію ланки з допомогою перетворення Лапласа. Вважаючи початкові умови нульовими диференціальне рівняння в зображенні Лапласа має вигляд:
.
Якщо вхідне діяння являє собою одиничний імпульс і враховуючи, що його зображення Лапласа , отримуємо наступний вираз для зображення вагової функції ланки:
або .
Таким чином, вагова функція визначається через передавальний за формулою зворотного перетворення Лапласа як її оригінал.
Коли вхідне діяння , і, враховуючи, що його зображення Лапласа , отримаємо вираз для зображення перехідною характеристики ланки:
.
Відповідно перехідна характеристика ланки:
.
В даній лабораторній роботі досліджуються часові характеристики основних видів типових ланок.