Передаточна функція має вигляд:
Диференційне рівняння ланки:
Легко бачити, що ланка з даною передаточною функцією може розглядатися як послідовне з’єднання двох елементарних ланок: ідеального інтегруючого з передаточною функцією 1/р і аперіодичної ланки з передаточною функцією к/(Тр+1).
Із взаємної відповідності динамічних характеристик відомо, що перехідна функція може бути знайдена як зворотне перетворення Лапласа частки, діленим якої є передаточна функція, а дільником – оператор р. Тобто:
Знайдемо перехідну функцію. Для цього отриманий дріб розкладемо методом невизначених коефіцієнтів на прості дроби:
З таблиці зворотного перетворення Лапласа видно, що
, ,
Перетворивши отриману формулу, знаходимо h(t):
, або
Застосувавши методи аналітичної геометрії, можна впевнитися в тому, що асимптота до кривої відтинає на осі часу відрізок, що дорівнює постійній часу .
Коефіцієнт нахилу асимптоти:
,
а параметр, що визначає точку перетину з віссю ординат
Маємо рівняння асимптоти:
Знайдемо тепер імпульсну перехідну функцію. Як відомо, вона представляє собою похідну від перехідної функції, тобто:
Характерним є те, що дотична до графіка імпульсної перехідної функції в точці перетинає пряму паралельну осі часу на відстані від осі ординат.
Амплітудно-фазова характеристика може бути отримана шляхом підстановки в передаточну функцію .
Звідси видно, що дійсна і уявна частотні характеристики дорівнюють відповідно: ; .
Амплітудно-частотна характеристика представляє собою модуль вектора амплітудно-фазової характеристики і знаходиться за формулою:
Підставивши в дану формулу вирази для та , отримаємо:
Проаналізувавши графік функції , можна побачити, що реально інтегруюча ланка має властивості фільтру низьких частот, тобто гармонічні сигнали малої частоти пропускаються ланкою добре, а сигнали великої частоти зазнають сильного ослаблення.
Фазочастотна характеристика може бути отримана за формулою:
В ФЧХ маємо доданок завдяки тому, що комплексне число знаходиться на комплексній площині в 3 квадранті.
Чим менша частота вхідного сигналу, тим більше відставання по фазі вихідного сигналу по відношенню до вхідного. Максимально можливе відставання .
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика описується виразом:
Асимптотична логарифмічна амплітудно-частотна характеристика характеризується тим, що її перша асимптота при () представляє пряму, що йде під нахилом :
,
а при () представляє пряму, яка має нахил :
,
частота спряження при цьому: , або на графіку .