Выбор и обоснование методов решений предполагаемой модели. Задача нелинейного программирования В общем виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального минимального значения функции 1 при условии, что все ее переменные удовлетворяют соотношениям 2 где f и g некоторые неизвестные функции n переменных, а - заданные числа. Здесь имеется в виду что в результате решения задачи будет определена точка, координаты которой удовлетворяют соотношениям 2 8, 251. 6.2 Задача выпуклого программирования.
Метод множителей Лагранжа Рассмотрим задачу нелинейного программирования 3 Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов.
Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций и, разработаны эффективные методы их решения. В частности, ряд таких методов имеется для решения задач нелинейного программирования, при условии, что - выпуклая вогнутая функция и область допустимых решений выпуклая.
Опираясь на некоторые выводы теории нелинейного программирования, можно дать математические условия оптимальности для модели 3. С задачей нелинейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая имеет вид где - множители Лагранжа. Необходимые условия экстремума запишутся Задача, состоящая в определении максимального минимального значения функции 4 при ограничениях 5 где - отрицательно положительно-полуопределенная квадратичная форма, называется задачей квадратического программирования.
Функция Лагранжа является оптимальной оценкой дохода 12. Целевая функция Лагранжа для задачи минимизации риска при фиксированном уровне доходности записывается следующим образом. Портфель, минимизирующий риск, находится, если положить для всех акций i. Эти условия первого порядка определяют систему уравнений, линейную по весовым коэффициентам портфеля или по конкретным суммам вложений и множителям Лагранжа и поэтому решаемую с помощью матричных методов с возможностью использования стандартных пакетов.
Например, целевая функция для задачи с тремя типами акций записывается так 6.3 Градиентные методы Используя градиентные методы, можно найти решение любой задачи нелинейного программирования. Однако в общем случае применение этих методов позволяет найти точку локального экстремума. Поэтому более целесообразно использовать градиентные методы для нахождения решения задач выпуклого программирования, в которых всякий локальный экстремум является одновременно и глобальным.
Функция двух переменных представляет собой поверхность, где точка максимума соответствует пику, а точка минимума впадине. Переменные соответствуют начальным условиям точке, в которой находим оптимальное значение целевой функции. 6.4