В модели экономической политики Я. Тинбергена рассматривается два целевых показателя и два инструмента экономической политики. Пусть T1 и T2 – два целевых показателя, I1 и I2 – два инструмента экономической политики. Желаемый уровень целевых показателей обозначим как T1* и T2*. Если экономика находится в состоянии, когда достигнуты оба целевых показателя, то принято говорить, что она находится в точке блаженства.
Связь между целевыми показатели и инструментами описывается с помощью простой линейной модели.
T1 = a1* I1 + a2* I2 (3.1)
T2 = b1* I1 + b2* I2 (3.2)
Экономическая политика может достигнуть обеих целей только тогда, когда влияние инструментов на цель линейно независимо друг от друга. Математически это условие достигается, если имеет место следующее неравенство.
a1/ b1 ≠ a2/ b2 (3.3)
Если имеет место равенство,
a1/ b1 = a2/ b2 (3.4)
то возможно достижение лишь одной из поставленных целей. Покажем это.
Пусть имеет место равенство (4). Тогда после простых преобразований можно получить следующее равенство.
b2/ b1 = a2/ a1 (3.5)
Разделим правую и левую часть соотношения (3.1) на a1 и правую и левую часть соотношения (3.2) на b1. Тогда эти соотношения могут переписаны в следующем виде.
T1/ a1 = I1 + a2/ a1* I2 (3.6)
T2 / b1= I1 + b2/ b1* I2 (3.7)
С учетом соотношения (3.5) уравнение (3.7) может записано следующим образом.
T2 / b1= I1 + b2/ b1* I2 = I1 + a2/ a1* I2 = T1/ a1 (3.8)
Из уравнения (3.8) следует, что, если описанная им комбинация инструментов экономической политики будет использована a1 раз, то будет достигнута цель T1. Если эта же комбинация будет использована b1, то будет достигнута цель T2. Однако невозможно достичь обеих целей одновременно.
Запишем теперь математическое выражение, позволяющее определить значение инструментов при достижении точки блаженства.
T1* = a1* I1 + a2* I2 (3.9)
T2* = b1* I1 + b2* I2 (3.10)
После преобразований получим следующие значения для инструментов экономической политики.
I1 = (b2* T1* - a2* T2*) / (a1* b2 - b1* a2) (3.11)
I2 = (a1* T2* - b1* T1*) / (a1* b2 - b1* a2) (3.12)
Таким образом, при линейной независимости инструментов экономика достигнет точки блаженства в случае, если они будут иметь значения, определяемые уравнениями (3.11) и (3.12).
Обобщение полученного вывода состоит в следующем. В экономике, которая может быть описана системой линейных уравнений с n целевыми показателями, данные показатели могут быть достигнуты при наличии n линейно независимых инструментов экономической политики.
Рассмотрим конкретный пример для системы уравнений (3.1) – (3.2). Пусть целевыми показателями являются ВВП при безработице, находящейся на естественном уровне (Y= Y*), и нулевая инфляция (π = π*). В качестве инструментов рассмотрим изменение денежной массы M и государственных затрат G. Тогда связь между целевыми показателями и инструментами экономической политики описывается следующими уравнениями.
Y = a1 * G + a2 * M (3.13)
π = b1 * G + b2 * M (3.14)
Пусть экономика находится в состоянии, когда инфляция π = 4% в год, а ВВП равен его значению при естественном уровне безработицы (Y = Y*). Цели правительства состоят в удержании ВВП на достигнутом уровне при снижении инфляции до нуля. Таким образом, цели экономической политики состоят в том, чтобы Δ π = -4%, Δ Y = 0. Перепишем систему уравнений (3.13) – (3.14) в терминах приростов с учетом требуемых численных значений изменения целевых показателей.
0 = a1 * ΔG + a2 * ΔM (3.15)
-4 = b1 * Δ G + b2 * Δ M (3.16)
После проведения простых преобразований получим следующие значения целевых показателей.
ΔG = 4a2 / (a1* b2 - b1* a2) (3.17)
ΔM = -4a1 / (a1* b2 - b1* a2) (3.18)
Необходимо помнить, что рассматриваемая модель Тинбергена является очень сильным упрощением действительности. На практике, при определенном сочетании численных значений коэффициентов a1, a2, b1, b2 расчетная величина изменения инструментов может быть такой, что, например, требуемая вариация ΔG может привести к недопустимому дефициту государственного бюджета или существенное изменение ΔM через определенное время породит большую инфляцию. Такого рода проблемы возникают в случае, когда a1/ b1 и a2/ b2 не равны, но имеют весьма близкие значения. В этом случае знаменатель в уравнениях (3.11) и (3.12) весьма близок к нулю и ΔI1, ΔI2 могут иметь очень значительные, недопустимые для практического применения значения.