Анализ погрешностей исходной информации

 

Значения экономических показателей обычно известны неточно, с некоторой погрешностью. Рассмотрим основные правила обработки данных, содержащих погрешности, или ошибки измерений. Пусть число a представляет точное (неизвестное нам) значение некоторой величины, а x_i (i=1,2,…,n) – известные приближенные значения той же величины, при этом

x_i=a+e _i , (12.1)

где e _i – погрешность i-го измерения. Значения погрешностей e _i нам неизвестны, т.к. неизвестно точное значение a, но, как правило, удается оценить модуль разности

| x_i –a|<e . (12.2)

Величину e > 0 называют предельной абсолютной погрешностью, или короче, абсолютной погрешностью. Если a≠0 , то можно ввести относительную погрешность
δ=e /|a|. На практике величину относительной погрешности вычисляют по формуле
δ =e /||, полагая

. (12.3)

Принято использовать запись a=x±e как условную запись неравенства

x-e<a<x+e (12.4)

и запись a=x(1±δ) как сокращенную запись неравенств

x(1-δ)<a<x(1+δ) . (12.5)

Величина относительной погрешности δ связана с числом верных десятичных знаков числа x. Рассмотрим этот вопрос на простых примерах. Число a=51.0±0.5 имеет два верных десятичных знака. Поэтому относительная погрешность δ=0.5/51≈0.01 или 1%. Число b=0.51±0.005 также имеет два верных знака и ту же относительную погрешность δ=1%. Если число задается с тремя верными знаками, то относительная погрешность будет иметь порядок 0.1%. Например, если a=510±0.5, то δ=0.001 или 0.1%. Рассматривая в качестве примеров числа 110 и 910 (с тремя верными знаками), нетрудно проверить, что относительная погрешность δ этих величин будет меняться в пределе от 0.05% до 0.5%. При двух верных десятичных знаках относительная погрешность изменяется в диапазоне 0.5% ¸5%.

Различают погрешности (ошибки) систематические и случайные. Если часы спешат или отстают, то они показывают время с некоторой систематической ошибкой. Для ее устранения нужно узнать точное время и выставить часы правильно. В общем случае для устранения систематической ошибки либо заменяют измерительный прибор на более точный, либо вводят поправку на систематическую ошибку (в астрономии, навигации и т.п.).

Анализ случайных ошибок проводится с применением методов теории вероятности и математической статистики. Пусть величина e _i в равенстве (12.1) является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием Ee _i=0 и дисперсией De _i =s ², что принято записывать как e _iÎN(0, s ²).

Измеренные значения x_i также являются случайными величинами, при этом Ex_i=a, Dx_i=s ². Интуиция подсказывает нам, что среднее арифметическое (12.3) является лучшей оценкой для величины a, чем отдельные наблюдения x_i . Действительно, - оценка является несмещенной, а дисперсия среднего при n®∞ стремится к нулю. Величину дисперсии измерений s ² можно оценить по данным x_i известными формулами

(12.5)

или

(12.6)

При этом оценка (12.5) является смещенной оценкой дисперсии s ², так как известно [3], что . Оценка (12.6) несмещенная: . В теории ошибок величина называют средней квадратичной ошибкой серии наблюдений {x_i}, а величина - средней квадратичной ошибкой среднего арифметического.