Нелинейные модели.

 

Мы изучили применение метода наименьших квадратов для определения параметров, которые входят в функциональные зависимости линейно. Поэтому для них в параграфах 3 и 4 получились системы линейных уравнений (3.6), (4.8). Однако в эконометрике приходится иметь дело и с такими функциональными зависимостями, неизвестные параметры которых входят в эти зависимости нелинейно. Например, параметр a в зависимостях

y=ax^a , (5.1)

y=ae^ax (5.2)

в случае двух величин (x,y), параметры a₁, a₂, …, a_m в зависимости

(5.3)

и др. Типичным примером является функция Кобба – Дугласа y=aL^aK^b, где a>0, 0<a<1, 0<b <1, обычно принимают также условие a+b =1. Эта функция выражает зависимость произведенной продукции y от объема привлеченных трудовых ресурсов (числом рабочих, человеко-часов и т.п.) L и объема основных фондов K.

При определении параметров в формуле (5.1), (5.2) или параметров a₁, a₂, …, a_m в формуле (5.3) методом наименьших квадратов их следует предварительно прологарифмировать. Например, логарифмирование степенной функции y=ax^a дает уравнение

ln y=ln a+a ln x,

линейное относительно величин A=ln a и a. Сделав замену переменных: Y=ln y,

A=ln a, X=ln x, получим соотношение Y=A+aX, определение параметров которого по методу наименьших квадратов приведет к системе линейных уравнений. Линеаризация формулы (5.3) также достигается логарифмированием:

ln y=ln a+ a₁ln x₁+a₂ln x₂+…+a_mln x_m,

Замена переменных: Y=ln y, A=ln a, X_i=lg x_i приводит к модели линейной множественной регрессии

Y=A+a₁X₁+a₂X₂+…+a_mX_m.

Есть модели, которые не могут быть приведены к линейному по коэффициентам виду. Например: . Для оценки параметров таких моделей используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду. Оценка параметров такого типа моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных программ EXCEL, STATISTICA и др.

Таким образом, если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью нелинейных функций. Различают два класса нелинейных моделей:

· модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих
переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

· модели, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примерами нелинейных моделей первого класса могут служить следующие функции:

· полиномы разных степеней: y = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ;

· гиперболическая зависимость:

· тригонометрические полиномы y= a₁ sin x +b₁cos x + a₂ sin 2x +b₂ cos2 x+…
+ a_m sin mx +b_mcos mx.

К нелинейным моделям второго класса относятся функции:

· степенная: y = ax^b ;

· показательная: y = ab^x ;

· экспоненциальная: .