ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ СПРОСА
Цель: используя методы моделирования с помощью целевой функции потребления научиться находить оптимальный набор благ потребителя, функции спроса на блага по цене, функции спроса по доходу с помощью ЭВМ.
Рассмотрим некоторого потребителя, который потребляет некоторые блага Б1, Б2,…, Бn. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U. Пусть количество потребления каждого блага равно х1, х2, …, хn. Целевой функцией потребления называется зависимость U=U(x1, x2, ..., xn). Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть U→ max. Обозначим цену на единицу каждого блага через р1, р2,…, рn, а доход потребителя через D. Тогда должно выполняться бюджетное ограничение p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn ≤D. В результате для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:
U(x1, x2,...,xn) → max,
x1, x2 ,..., xn ≥ 0,
p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn ≤D.
Рассмотрим методы ее решения на примере.
ПРИМЕР 7.1.Пусть число благ равно трем, а функция потребления равна U(x1, x2, x3) = 
. Предположим, что цена на единицу первого блага равна 15, второго 10 и третьего 15, а доход потребителя составляет 500. Тогда задача примет вид:
→ max,
x1, x2, x3≥ 0,
15x1 + 10x2 + 15x3 ≤500.
Подготовим данные для решения задачи в Excel согласно рис. 7.1:
Рисунок 7.1 Исходные данные примера 7.1
Вводим в ячейку В4 «=КОРЕНЬ(B3*C3*D3)» (кавычки не вводить!), а в В5 «=B3*B2+C3*C2+D3*D2». Запускаем СЕРВИС/ПОИСК РЕШЕНИЯ. В ячейку «Установить целевую» устанавливаем ссылку на В4, флажок напротив надписи «Равной максимальному значению». После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки» и обводим ячейки с переменными В3, С3 и D3. Для того чтобы ввести ограничения, нажимаем «Добавить», откроется окно «Добавление ограничения».
В левом поле «Ссылка на ячейку» вводим ссылку на левую часть первого ограничения – ячейку В5, в центральном окне определяем знак «≤» и в правом «Ограничения» делаем ссылку на доход в D4. Для ввода второго ограничения вновь нажимаем «Добавить», ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В3, С3 и D3 в среднем окне ставим «≥» и в правом число 0.
Нажимаем «Выполнить», подтверждаем результаты, выбирая «Сохранить найденное решение» и «ОК», получаем результат: x1 =11,1; x2=16,7; x3 =11,1; целевая функция равна 45,4 (рис.7.2).
Рисунок 7.2 Решение примера 7.1
Решим теперь задачу нахождения функции спроса по цене. Найдем, например, спрос на второе благо для разных цен на единицу этого блага. Будем задавать цену на второе благо от 5 до 15 и фиксировать спрос x2 при этих ценах. Введем в столбец F цену блага, а в столбец G спрос на него. Ставим курсор в F1 и вводим подпись «Цена», а в ячейку G1 вводим подпись «Спрос». В соответствии с условием задачи, цена второго блага составляет 10 денежных единиц, в результате решения спрос на это благо составляет x2 =16,7 . Вводим в ячейку F7 значение цены 10, а в соседнюю G7 – спрос 16,7. Рассчитаем теперь спрос при цене 11. Исправляем в С2 значение на 11, вызываем СЕРВИС/ПОИСК РЕШЕНИЯ, нажимаем «Выполнить», подтверждаем результаты. Видим в ячейке С3 новое значение спроса – x2 =15,2 . Вводим в F8 число 11, в G8 число 15,2. Точно также (обязательно проделать на ЭВМ!) изменяем в С2 значения на 12, 13, 14 и 15, записав эти же значения в F9-F12, каждый раз запускаем надстройку «Поиск решения», получаем новые результаты в С3, записываем их вручную (не копированием, округляя до десятых) в G9-G12. Далее рассчитываем значения спроса для цены меньшей 10 единиц. Для этого изменяем в С2 значения на 5, 6, 7, 8 и 9, записав эти значения в F2-F6, каждый раз запускаем надстройку «Поиск решения», получаем новые результаты в С3, записываем их в G2-G6. В результате, при правильном выполнении всех действий, получаем следующие результаты:
| Ячейка | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 | F9 | F10 | F11 | F12 |
| Значение | |||||||||||
| Ячейка | G2 | G3 | G4 | G5 | G6 | G7 | G8 | G9 | G10 | G11 | G12 |
| Значение | 33,3 | 27,8 | 23,8 | 20,8 | 18,5 | 16,7 | 15,2 | 13,9 | 12,8 | 11,9 | 11,1 |
Построим по полученным данным функцию спроса. Для этого ставим курсор в любую свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм (ВСТАВКА/ДИАГРАММА), выбираем тип диаграммы «График», вид «График с маркерами» (левый второй сверху), нажимаем «Далее».
Ставим курсор в поле «Диапазон» и обводим ячейки G2-G12. Переходим на закладку «Ряд» и ставим курсор в поле «Подписи оси Х», обводим ячейки F2-F12, нажимаем «Готово». Получаем график функции спроса по цене (рис.7.3).
Рисунок 7.3 График функции спроса по цене
Точно также можно исследовать спрос и на первое и третье благо.
Найдем теперь функцию спроса по доходу на второе благо. Для этого будем менять доход в диапазоне 200-500 через 50 единиц, фиксируя спрос в ячейке С3. Вводим в H1 подпись «Доход», а в I1 подпись «Спрос». Исправляем в С2 цену на 10, а в D4 ставим доход 200. Вызываем и запускаем надстройку ПОИСК РЕШЕНИЯ. Видим, что спрос на второе благо равен 6,7. Вводим в H2 значение дохода 200, а спрос 6,7 вводим в I2. Далее, по аналогии, изменяем в D4 доход на 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, занося эти данные в H3-H10, каждый раз запускаем надстройку ПОИСК РЕШЕНИЯ, полученный в С3 спрос вносим в ячейки I3-I10. При правильном расчете результаты будут 8,3; 10; 11,7; 13,3; 15; 16,7; 18,3; 20. По полученным данным, также как и для функции спроса по цене, строим график. Видно, что в данном случае график спроса по доходу прямая линия (рис.7.3).
Рисунок 7.4 График функции спроса по доходу
Следует отметить, что можно построить функцию перекрестного спроса на одно благо по цене на другое.
Задание 7.1. Четырехфакторную целевую функцию потребления U=U(x1, x2, x3, x4), цены на блага p1, p2, p3, p4, и доход D взять в соответствии с вариантом из таблицы.
1. Составив и решив задачу оптимального программирования, найти оптимальный набор благ.
2. Составить функцию спроса на второе благо от его цены, взяв 5 целых последовательных значений цены до и после той, какая указана в таблице.
3. Составить функцию спроса на третье благо по доходу, взяв по четыре значения дохода до и после указанной в таблице с шагом 50.
| Вар | U(x1, x2, x3, x4) | p1 | p2 | p3 | p4 | D | Вар | U(x1, x2, x3, x4) | p1 | p2 | p3 | p4 | D |
| ln(x1x2x3x4) |  x3x4
| ||||||||||||
| x1(x2+7)x3x4 | x3x4
| ||||||||||||
| ln(x1x2x3x4) | ||||||||||||
 x2x3x4
| x1(x2+1)x3x4 | ||||||||||||
| x1x2x3(x4+3) | x1x2(x3+5)x4 | ||||||||||||
 x2x4
|  x1x2x4
| ||||||||||||
| ln(x1x2x3x4) | x3x4
| ||||||||||||
| x1(x2+7)x3x4 | x3x4
| ||||||||||||
|
| ln(x1x2x3x4) | ||||||||||||
| x2x3x4
| x1(x2+1)x3x4 | ||||||||||||
| x1x2x3(x4+3) | x1x2(x3+5)x4 | ||||||||||||
| x2x4
| x1x2x4
| ||||||||||||
| x2x3x4
| x1(x2+1)x3x4 | ||||||||||||
| x1x2x3(x4+3) | x1x2(x3+5)x4 | ||||||||||||
| x2x4
| x1x2x4
|
ПРИМЕЧАНИЕ:
Для искомых количеств x1, x2, x3, x4 подготовить ячейки В3-Е3. В ячейке с целевой функцией В4 должна содержаться функция вида:
1. =LN(B3*C3*D3*E3) 16. =КОРЕНЬ(В3*С3)*D3*Е3
2. = B3*(C3+7)*D3*E3 17. =КОРЕНЬ(B3*С3)*D3*Е3
3. =СТЕПЕНЬ(B3*C3*D3*E3; 0,33) 18. =LN(B3*C3*D3*E3)
4. =КОРЕНЬ(B3)*C3*D3*E3 19. =B3*(C3+1)*D3*E3
5. =B3*C3*D3*(E3+3) 20. =B3*C3*(D3+5)*E3
6. =КОРЕНЬ(B3*D3)*С3*Е3 21. =КОРЕНЬ(D3)*B3*C3*E3
7. =LN(B3*C3*D3*E3) 22. =КОРЕНЬ(В3*С3)*D3*Е3
8. = B3*(C3+7)*D3*E3 23. =КОРЕНЬ(B3*С3)*D3*Е3
9. =СТЕПЕНЬ(B3*C3*D3*E3; 0,33) 24. =LN(B3*C3*D3*E3)
10. =КОРЕНЬ(B3)*C3*D3*E3 25. =B3*(C3+1)*D3*E3
11. =B3*C3*D3*(E3+3) 26. =B3*C3*(D3+5)*E3
12. =КОРЕНЬ(B3*D3)*С3*Е3 27. =КОРЕНЬ(D3)*B3*C3*E3
13. =КОРЕНЬ(B3)*C3*D3*E3 28. =B3*(C3+1)*D3*E3
14. =B3*C3*D3*(E3+3) 29. =B3*C3*(D3+5)*E3
15. =КОРЕНЬ(B3*D3)*С3*Е3 30. =КОРЕНЬ(D3)*B3*C3*E3
Отчет должен содержать оптимальный набор благ x1, x2, x3, x4, график функции спроса на второе благо от его цены x2(p2) и график функции спроса на третье благо по доходу x3(D).