Рассмотренные методы простой и взвешенной скользящей средней не дают возможности сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда.
Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так важно по сравнению с последними наблюдениями, особенно если целью исследования является прогнозирование развития процесса.
Есть методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных. К их числу относится метод экспоненциального сглаживания.
Особенность этого метода заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение.
Сглаженное значение наблюдения ряда St на момент времени t определяется по формуле:
St = ayt + (1-a) St-1, (1.9)
где a - сглаживающий параметр, характеризующий вес выравниваемого наблюдения, причем 0<a<1.
Величину St-1 в формуле (1.9) можно представить в виде суммы фактического значения уровня yt-1 и сглаженного значения предшествующего ему наблюдения St-2, взятых с соответствующими весами.
Процесс такого разложения можно продолжить для членов St-2, St-3 и т.д. В результате получится следующее выражение:
St = ayt + (1-a) St-1 = ayt + (1-a) {ayt-1 + (1-a) St-2} =
= ayt + a(1-a) yt-1 + (1-a)2 {ayt-2 + (1-a) St-3} = (3.4.10)
= ayt + a(1-a) yt-1 + (1-a)2 yt-2 + ... + a(1-a)k yt-k +...+ (1-a)ty0,
в котором среднее сглаженное значение является комбинацией всех предшествующих уровней ряда.
Величина y0 характеризует начало условия процесса.
Формулу (1.10) можно переписать короче через знак суммы:
St = a å (1-a)k yt-k + (1-a)t y0 (1.11)
где 0 £ k £ t-1 - число периодов отставания от момента t.
Относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение (отсюда произошло название этого метода сглаживания).
При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают следующие затруднения: выбор сглаживающего параметра a и определение начального условия y0.
От численного значения параметра a зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень.