Оценка параметров модели по формуле (3.5) «вручную».
Промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (1.5) приведены в табл. 1.15.
Табл. 1.15
| № | 
| 
| 
| 
| 
| 
|  
|
| -5,5 | 30,25 | -5 | 27,5 | 40,04 | 4,96 | ||
| -4,5 | 20,25 | -10 | 41,85 | -1,85 | |||
| -3,5 | 12,25 | -7 | 24,5 | 43,66 | -0,66 | ||
| -2,5 | 6,25 | -2 | 45,47 | 2,53 | |||
| -1,5 | 2,25 | -8 | 47,28 | -5,28 | |||
| -0,5 | 0,25 | -3 | 1,5 | 49,09 | -2,09 | ||
| 0,5 | 0,25 | 0,5 | 50,91 | 0,09 | |||
| 1,5 | 2,25 | 7,5 | 52,72 | 2,28 | |||
| 2,5 | 6,25 | 54,53 | -4,53 | ||||
| 3,5 | 12,25 | 24,5 | 56,34 | 0,66 | |||
| 4,5 | 20,25 | 58,15 | 1,85 | ||||
| 5,5 | 30,25 | 59,96 | 2,04 | ||||
| 6,5 |
При вычислении «вручную» по формуле (1.4) получаем те же результаты:
,
Табл. 1.16.
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| ВЫЧИСЛЕНИЯ В EXCEL С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛ | ||||||||
| № |
|
|
|
|
|
|
| |
| =B2-$J$15 | =D2*D2 | =C2-$K$15 | =D2*F2 | =$M$21+$M$18*B2 | =C2-H2 | |||
| =B3-$J$15 | =D3*D3 | =C3-$K$15 | =D3*F3 | =$M$21+$M$18*B3 | =C3-H3 | |||
| =B4-$J$15 | =D4*D4 | =C4-$K$15 | =D4*F4 | =$M$21+$M$18*B4 | =C4-H4 | |||
| =B5-$J$15 | =D5*D5 | =C5-$K$15 | =D5*F5 | =$M$21+$M$18*B5 | =C5-H5 | |||
| =B6-$J$15 | =D6*D6 | =C6-$K$15 | =D6*F6 | =$M$21+$M$18*B6 | =C6-H6 | |||
| =B7-$J$15 | =D7*D7 | =C7-$K$15 | =D7*F7 | =$M$21+$M$18*B7 | =C7-H7 | |||
| =B8-$J$15 | =D8*D8 | =C8-$K$15 | =D8*F8 | =$M$21+$M$18*B8 | =C8-H8 | |||
| =B9-$J$15 | =D9*D9 | =C9-$K$15 | =D9*F9 | =$M$21+$M$18*B9 | =C9-H9 | |||
| =B10-$J$15 | =D10*D10 | =C10-$K$15 | =D10*F10 | =$M$21+$M$18*B10 | =C10-H10 | |||
| =B11-$J$15 | =D11*D11 | =C11-$K$15 | =D11*F11 | =$M$21+$M$18*B11 | =C11-H11 | |||
| =B12-$J$15 | =D12*D12 | =C12-$K$15 | =D12*F12 | =$M$21+$M$18*B12 | =C12-H12 | |||
| =B13-$J$15 | =D13*D13 | =C13-$K$15 | =D13*F13 | =$M$21+$M$18*B13 | =C13-H13 | |||
| =СРЗНАЧ (A2:A13) | =СРЗНАЧ (B2:B13) | =СУММ (D2:D13) | =СУММ (F2:F13) | =СУММ (H2:H13) | ||||
| a1= | =G14/E14 | |||||||
| a0= | =C14-E17*B14 | |||||||
2) оценка качества построенной модели.
2.1) Оценка адекватности
Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений (табл. 1.17).
Табл. 1.17.
| № | 
| Точки поворота | 
| 
|
| 4,962 | 24,617 | |||
| -1,850 | * | 3,421 | 46,392 | |
| -0,661 | 0,437 | 1,413 | ||
| 2,528 | * | 6,391 | 10,169 | |
| -5,283 | * | 27,912 | 61,015 | |
| -2,094 | 4,387 | 10,169 | ||
| 0,094 | 0,009 | 4,791 | ||
| 2,283 | * | 5,213 | 4,791 | |
| -4,528 | * | 20,503 | 46,392 | |
| 0,661 | 0,437 | 26,924 | ||
| 1,850 | 3,421 | 1,413 | ||
| 2,038 | 4,155 | 0,036 | ||
| 100,902 | 213,504 |
· При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина–Уотсона по формуле (1.7):
Так как 
попало в интервал от d2, до 2 то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости.
Это означает, что в ряду динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.
· Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек (формула (1.6)). Количество поворотных точек (p) равно 5 (рис. 1.14).
Неравенство выполняется (5>4). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Рис. 1.14. График остатков
· Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:
RS=[
max –min] / 
;
где max – максимальный уровень ряда остатков, max = 4,962;
min – минимальный уровень ряда остатков, min = – 4,528;
– среднеквадратическое отклонение,
=
= 
=3,029;
RS=[4,962–(–5.283)] / 3,029=3,383
Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
· Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае 
= 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В табл. 1.18собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица 1.18. Анализ ряда остатков
| Проверяемое свойство | Используемые статистики | Граница | Вывод | |||
| наименование | значение | нижняя | верхняя | |||
| Независимость | d-критерий Дарбина–Уотсона r(1) – коэффициент автокорреляции | d=2,12 dn =4-2,21=1,88 | 0,98 | 1,36 0,36 | адекватна | |
| Случайность | Критерий пиков (поворотных точек) | 5 > 4 | адекватна | |||
| Нормальность | RS-критерий | 3,383 | 2,6 | 2,7 | адекватна | |
| Среднее = 0 ?
| t-статистика Стьюдента | 0,000 | -2,179 | 2,179 | адекватна | |
| Вывод: Модель статистически адекватна | ||||||
2.2) Оценка точности
Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации 
Таблица 1.19.
| Номер наблюдения | 
|
| 
|
| 4,96 | 0,110 | ||
| -1,85 | 0,046 | ||
| -0,66 | 0,015 | ||
| 2,53 | 0,053 | ||
| -5,28 | 0,126 | ||
| -2,09 | 0,045 | ||
| 0,09 | 0,002 | ||
| 2,28 | 0,042 | ||
| -4,53 | 0,091 | ||
| 0,66 | 0,012 | ||
| 1,85 | 0,031 | ||
| 2,04 | 0,033 |
- хороший уровень точности модели.
3) Построить точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед
Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора 
:
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости α = 0,1, следовательно, доверительная вероятность равна 90%, а критерий Стьюдента при 
= n –2 =11 равен 1,812. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле (1.10):
,
где 
=3,177 
= 1,812, 
, 
(находим из табл. 1.15),
,
,
.
.
Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (см. табл. 1.20).
Верхняя граница = 
Нижняя граница = 
Таблица 1.20.
| 
| Прогноз | Верхняя граница | Нижняя граница |
| U1=6,80 | 61,77 | 68,57 | 54,97 | |
| U2=7,04 | 63,58 | 70,62 | 56,55 | |
| U3=7,29 | 65,40 | 72,69 | 58,10 |
Рис. 1.15. Результаты моделирования и прогнозирования
Ответ
1) Модель имеет вид Y = 38.23 +1.81 t .
2) Размеры платежей составят 61,77 , 63,58 , 65,40 тыс. руб.
3) Денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвестиционного проекта на 3 последующие месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.
Контрольные вопросы:
1.Основные понятия и определения временного ряда.
2.Основная цель статистического анализа временных рядов.
3.Какие требования предъявляются к исходной информации?
4.Какие этапы построения прогноза по временным рядам?
5.Перечислите процедуры анализа данных и их содержание.
6.Перечислите способы обнаружения тренда и их содержание.
7.Из - за каких причин проводится сглаживание временных рядов?
8.Раскройте содержание метода простой скользящей средней сглаживания временного ряда.
9. Раскройте содержание метода взвешенной скользящей средней.
10.Когда применяется метод экспоненциального сглаживания наблюдений временного ряда и его содержание?
11.Перечислите показатели развития динамики экономических процессов.
12.Что означает автокорреляция временного ряда?
13.Как вычислить коэффициент автокорреляции?
14.Для чего строятся модели временных рядов?
15.Что означает «кривая роста» показателей временного ряда?
16.Как производится оценка качества построенной модели?
17.Как оценивается точность модели?
18.Какой порядок расчета точечных интервальных прогнозов?