Переходим к исследованию вопроса о существовании и единственности равновесия или, что то же самое, решения системы (6-8).
Из результатов §4 следует, что уравнение (7) определяет как функцию : .
Вместе с (6) это позволяет записать (8) в виде
, (9)
где
Равенство (9) представляет собой уравнение относительно . Выясним, когда оно имеет решение. Обозначим через , , . Это позволяет записать уравнение (9) в виде . Чтобы ответить на вопрос о существовании решения уравнения (9), надо выяснить свойства функции . Напомним, что функция не убывает и отлична от нуля, если . Тогда очевидно, функция будет возрастать при . («линейка»).
Что касается , то она представляет собой композицию трех функций: . Множество значений функции представляет собой отрезок . В то же время, область определения есть промежуток . Не исключено, что . В этом случае композиция будет иметь смысл лишь для тех значений , для которых . При естественном предположении , множество таких значений представляет собой некоторый отрезок («поезд»).
Покажем, что на функция не убывает (если , то ). Действительно, если , и соответственно .
Поскольку функция возрастает на , а не убывает на этом интервале, то возрастает на интервале («Рисунок»).
Положим , а . Из сказанного следует, что если (10), то уравнение (9) имеет решение, причём единственное. Всегда будем считать, не оговаривая этого особо, что параметры модели Кейнса согласованы таким образом, что имеют место неравенства (10). Для этого, в частности, необходимо, чтобы денежная масса была не слишком большой и не слишком малой.
Обозначим через решение уравнения (9). Положим далее
Понятно, что набор указанных величин образует равновесие в модели Кейнса. Из сказанного выше вытекает, что при сделанных ранее естественных предположениях, равновесие по Кейнсу существует и единственно.