Для математического исследования динамической модели, построенной в §1, перейдём к относительным переменным
(11)
Производительность труда и фондовооружённость были введены в рассмотрение в предыдущем пункте. Величина есть потребление на одного рабочего. её называют удельным потреблением. Если считать, что величина потребления полностью совпадает (в денежном выражении) с общей массой зарплаты, то совпадает с . Величина представляет собой долю произведённого продукта, вкладываемую в расширение производства, и называется нормой (долей) накопления. Как отмечалось в §1, для замыкания однопродуктовой динамической модели надо в частности задать закон изменения численности занятых . Сейчас мы обсудим один из возможных вариантов.
На семинарских занятиях мы выяснили, что при отсутствии войн, эпидемий, притока или оттока беженцев и других потрясений население с течением времени стабилизируется. Сделав такое допущение, можно считать, что численность населения изменяется с постоянным темпом, т.е. по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о численности активного населения, поскольку оно составляет фиксированную долю от численности населения в трудоспособном возрасте.
Предположим, что экономика развивается в условиях полной занятости или с постоянным уровнем безработицы (с постоянным процентом безработных). Тогда и численность занятых будет изменяться с постоянным темпом.
Под темпом роста непрерывной величины понимают
(12).
Если , то .
В дальнейшем будем считать, что речь идет о росте в буквальном понимании этого слова, т.е. . В силу (4) уравнение (2) может быть записано в следующем виде:
(13)
Отсюда и из (11) следует
.
Разделив обе части этого равенства на , с учётом (12) будем иметь . Используя формулу (8), приходим к дифференциальному уравнению, которое называют моделью Солоу:
(14)
Как видно из формул (4) и (11),
(15)
С учётом этого уравнения получим
(16) –
дифференциальное уравнение первого порядка относительно фондовооружённости.
Если задана норма накопления , то по решению уравнения (16) можно легко найти макропеременные . Действительно, если , то .
Вычислив по формулам (8-15) , можно получить и остальные макропеременные: , , .