Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором основные макропоказатели растут с постоянным темпом. Применительно к рассмотренной модели, это означает, что с постоянным темпом должны возрастать величины . При сделанном в предыдущем параграфе предположении, будет обладать таким свойством: обозначим – темпы роста первых четырех показателей, и сохраним принятое обозначение для темпа роста рабочей силы. Тогда
, , , , (17)
Покажем, что в этом случае темпы роста всех показателей должны совпадать. В силу (2) и (17) имеем: . Отсюда, учитывая, что , получаем .
Из (13) и (17):
(18)
Разделив обе части этого тождества на будем иметь
После дифференцирования по времени получаем
.
Это тождество при , что эквивалентно ( ).
Отсюда и из (18) получаем
,
что может иметь место лишь в случае .
Сопоставляя полученные соотношения между темпами роста, приходим к выводу, что . Покажем, что все эти величины равны - темпу роста рабочей силы. Поскольку величины связаны производственной функцией, то . Используя линейную однородность производственной функции, получаем . Т.к. , то отсюда следует .
Производственная функция монотонно возрастает по каждому аргументу, поэтому полученное тождество может выполняться лишь в том случае, когда есть константа, т.е. . Таким образом, , что и требовалось доказать.
Итак, при сбалансированном росте темпы изменения основных макропоказателей должны быть одинаковы. Отсюда, в частности, следует, что при сбалансированном росте норма накопления и фондовооружённость не зависят от времени. Это означает, что траектории сбалансированного роста отвечает решение дифференциального уравнения Солоу (16), имеющее вид . Найдя такое решение, можно легко определить основные макропеременные:
(19)
Покажем, что в рассматриваемой модели для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.
Постоянное решения дифференциального уравнения (16), соответствующее сбалансированному росту, обращает левую часть этого уравнения в нуль, то есть является корнем следующего конечного уравнения:
(20)
Покажем, что при заданном постоянном значении нормы накопления уравнение (20) имеет в области (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Для этого исследуем свойства функции
(21)
Поскольку (см. § 2), то . В силу (10) имеем
Отсюда, в частности, следует, что в некоторой правосторонней окрестности нуля функция принимает положительные значения.
Далее, из (9) следует . Тогда при достаточно больших . Сопоставляя полученные результаты, приходим к тому, что в некоторой точке функция обращается в ноль. Осталось доказать единственность.
Поскольку (см. параграф 2), то и , то есть - строго вогнутая функция. Тогда, как легко убедиться, она не будет иметь положительных нулей, отличных от . Возможный график этой функции приведен на рисунке «Муравейник».
Итак, при фиксированной постоянной норме накопления уравнение (20) имеет в области единственное решение, т.е. в рассматриваемой модели существует единственная траектория сбалансированного роста при каждом .
Замечание. Легко видеть, что чем больше норма накопления, тем больше фондовооружённость на траектории сбалансированного роста.