В §5 был исследован вопрос о поведении траектории однопродуктовой макромодели в том случае, когда норма накопления – заданная постоянная величина. Эта норма может быть выбрана различной по значению, что, разумеется, сказывается на характеристиках роста макроэкономических показателей. Важнейшим из таких показателей с точки зрения потребителя является удельное потребление . Согласно формуле (15)
(25),
где - норма накопления, - фондовооружённость.
Из полученных выше результатов следует, что при расчёте экономических показателей для достаточно больших значений времени может быть использован режим сбалансированного роста.
На траекториях сбалансированного роста фондовооружённость постоянна, а значит, будет постоянным и удельное потребление . Поставим перед собой задачу отыскания таких значений , при которых удельное потребление (25) максимально. Величины называют оптимальной нормой накопления и оптимальной фондовооружённостью.
Рассмотрим сначала модель без учёта запаздывания при освоении капиталовложений. В этом случае норма накопления и фондовооружённость при сбалансированном росте связаны между собой уравнением (20). Таким образом, мы приходим к задаче отыскания точки максимума функции (25) при ограничении (20) и естественных условиях .
Из уравнения (20) следует, что
(26)
Тогда удельное потребление как функция фондовооружённости задается формулой
(27)
имеет те же свойства, что и (21), а именно, это строго вогнутая функция, принимающая положительные значения на некотором интервале (ссылка на старый рисунок, ТРИ).
Поскольку только положительные значения имеют экономический смысл, то фондовооружённости , которые возможны при сбалансированном росте, заполняют интервал . То, что фондовооружённости не могут быть сколь угодно большими на неформальном языке можно объяснить следующим образом: при фонды должны возрастать слишком быстро. Для этого потребуется настолько много инвестиций, что они будут просто превышать выпуск продукта.
Очевидно, максимум функции достигается в единственной точке , которая является корнем уравнения или, что то же самое,
(28)
Поскольку функция убывает, это уравнение имеет единственный корень. Согласно (26), оптимальная норма накопления равна
(29).
Пусть - максимальное удельное потребление. Заметим, что любое меньшее удельное потребление достигается при двух значениях фондовооружённости (или накопления). Одно из них меньше оптимального, а другое – больше (рисунок). Обсудим это весьма интересное обстоятельство.
Как уже отмечалось, фонды (капитал) предназначены для производства предметов потребления в будущем, представляя собой как бы отложенные потребления. Однако может случиться так, что фонды будут воспроизводить как бы самое себя, «забыв» о своем предназначении. Для наглядности рассмотрим следующую ситуацию: добывая уголь и руду, мы производим из них металл. Часть этого металла пойдет на производство ложек и вилок, часть - на производство машин для добычи угля и руды. Но те же ложки и вилки можно сделать гораздо меньшими усилиями, не добывая так много руды и угля и не производя поэтому так много машин для их добычи.
Итак, одно и то же потребление можно обеспечить при очень большом объёме инвестиций, которые предназначены прежде всего для усиления воспроизведения фондов, и при сравнительно малом объёме, когда фонды в таком количестве не создаются.
В случае функции Кобба-Дугласа уравнение (28) для нахождения оптимальной фондовооружённости принимает вид
,
откуда
,
то есть оптимальная норма потребления .
В однопродуктовой модели с запаздыванием (конспект семинарских занятий) задача об оптимальной норме накопления сводится к нахождению точки максимума функции (25) в области при ограничении
(30)
Тогда удельное потребление как функция фондовооружённости имеет вид
(31)
Функция отличается от (27) только коэффициентами при , поэтому эти функции имеют одинаковые свойства.
Оптимальная фондовооружённость , доставляющая максимум функции (31), является решением уравнения или, что то же самое,
(32)
Согласно (30), оптимальная норма накопления задается формулой
(33)
Как и в предыдущей модели, если удельное потребление меньше максимального , то оно достигается при двух значениях фондовооружённости (нормы накопления) (рис ЧЕтыРЕ).
В случае функции Кобба-Дугласа уравнение (32) принимает вид
, откуда
Подставив это значение в (33), получим после преобразований , что совпадает с оптимальной нормой накопления в модели без запаздывания.
Заметим, что для других производственных функций такой факт, вообще говоря, не имеет место.