Как уже отмечалось, основной целью потребителя является удовлетворение его потребностей. Поведение потребителя, рассматриваемое с точки зрения рационального распределения своего бюджета, математически моделируется как выбор некоторой точки из пространства товаров. Под пространством товаров понимается неотрицательный ортант , каждая точка которого представляет ассортиментный набор товаров и благ.
Величина обозначает количество -го товара, приобретенного потребителем, при выбранной единице его измерения. Термин «товар» при этом понимается достаточно широко. Прежде всего имеются в виду материальные продукты: предметы потребления, фонды (уже не как макропеременная, а как конкретные виды станков, машин и т.д.), природные ресурсы. Кроме того, к товарам в данном случае относятся услуги: посещение театра, использование прачечной и т.п. Рабочая сила также может рассматриваться как товар; он измеряется во временных единицах.
Считается, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них.
Пусть - выпуклое множество, на котором определены интересы потребителя. Можно, например, считать, что представляет собой множество всех мыслимых наборов товаров, доступных потребителю. Любые два вектора потребитель может сравнить и сделать из них выбор. Этот выбор зависит от вкусов потребителя, его бюджета и цен на товар, поэтому будем считать, что на задано бинарное отношение , называемое отношением предпочтения. Запись (предпочтительнее) означает, что потребитель предпочитает набор набору или не делает между ними различия. Содержательный смысл отношения предпочтения требует выполнения следующих аксиом:
Аксиома 1. (не делает различия)
Аксиома 2. (транзитивность)
Аксиома 3. либо , либо , либо и то, и другое.
Если и , то будем писать . Отношение называют отношением безразличия. Если же , но не имеет места, то будем писать (строго). Отношение называют отношением строгого предпочтения.
Аксиома 4. Отношение предпочтения является непрерывным на , то есть множества , открыты в . Содержание этой аксиомы следующее: если два набора находятся в отношении строгого предпочтения, то при достаточно малом изменении каждого из них данное отношение сохраняется.
Определение. Функция , определенная на множестве называется функцией полезности, соответствующей отношения предпочтения , если .
Нетрудно видеть, что если - функция полезности, а - возрастающая функция скалярного аргумента, то суперпозиция также является функцией полезности. Таким образом, если для отношения предпочтения существует хотя бы одна функция полезности, то их существует бесконечно много.
Теорема Дебре. При выполнении аксиом 1-4 функция полезности существует. Без доказательства.
Аксиома 5 (аксиома ненасыщения). (т.е. ) .
. Это требование означает, что если содержит не меньшее количество каждого товара, чем , то . В то же время, если содержит не меньшее количество каждого товара, а одного товара по крайней мере содержит больше, чем , то строго предпочтительнее .
В терминах функции полезности аксиома ненасыщения утверждает следующее: , .
Следующее требование связано с законом убывающей полезности.
Аксиома 6 (аксиома выпуклости). Пусть . Тогда .
В терминах функции полезности это допущение означает, что является выпуклым. Функции, обладающие таким свойством, называются квазивогнутыми. Довольно часто на функцию полезности накладывают более сильные условия, считая её вогнутой или даже строго вогнутой. В этом случае функция будет вогнутой (соответственно, строго вогнутой) по каждому аргументу. Последнее свойство непосредственно следует из закона убывающей полезности (см. конспект семинарских занятий).
Пример. Пусть - набор продуктов питания. - энергетическая ценность (в калориях) единицы -го продукта. . Считаем, что , если , то есть набор не менее калорийный, чем набор . Такое отношение предпочтения удовлетворяет аксиомам 1-6, а функция является функцией полезности, соответствующей введеному отношению предпочтения.