В дальнейшем мы будем рассматривать модели, в которых участвуют либо ВНД (валовой национальный доход), либо национальный доход. Как уже отмечалось, эти величины возникают в результате взаимодействия трех факторов производства: рабочей силы ( ), капитала ( ) и земли ( ). Сказанное позволяет считать, что существует функциональная зависимость, устанавливающая величину выпуска продукта при том или ином объёме этих факторов: . Здесь – объём продукта (в зависимости от рассматриваемой модели, ВНД или национального дохода).
В тех моделях, которые мы будем рассматривать, земля считается постоянным неизменным фактором, поэтому производственная функция рассматривается как функция лишь 2-х аргументов:
Производственная функция отражает лишь технологические возможности экономики. Поскольку без капитала и рабочей силы выпуск невозможен, то .
Иногда, чтобы выяснить влияние на выпуск именно рабочей силы, считают, что капитал не изменяется: . В этом случае производственная функция будет зависеть лишь от рабочей силы: . И обратно, если зафиксировать , то . Понятно, что ; – неубывающие функции.
В дальнейшем будем считать, что эти функции возрастают, непрерывны и, кроме того, дифференцируемы в любой внутренней точке их области определения. В силу закона убывающей доходности (см. п5 семинара) они должны быть вогнутыми. Убедимся в этом, рассмотрев функцию :
Отсюда, в частности:
При достаточно малых (достаточно больших ) величина будет достаточно малой, тогда из последнего неравенства получаем , то есть – невозрастающая функция, и значит, – вогнутая.
Более того, существует такое число , что в области функция будет строго вогнутой. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что функция является убывающей для достаточно больших . Предположим противное. Тогда найдется отрезок , где = const. Тогда функция на промежутке будет линейной, и, как следствие,
C другой стороны, согласно закону об убывающей доходности для достаточно больших при любых должно быть строгое неравенство. Показанное противоречие доказывает неравенство.
Возможные графики изображены на рисунке «ромашка».
Замечание. Функции , не обязаны быть строго вогнутыми при достаточно больших значениях аргументов, если они не являются возрастающими. Так, например функция, изображенная на рисунке «тапочек» соответствует закону об убывающей доходности.
Вопрос о построении производственных функций не входит в нашу цель. Отметим лишь, что часто рассматривают производственные функции следующих видов:
· Функция Кобба – Дугласа:
· Функция с постоянной эластичностью замены: