Рекуррентные методы оценки параметров эконометрических моделей

Использование рекуррентных методов при оценке параметров эконометрических моделей позволяет избежать обращения матрицы X¢X и тем самым, появления ошибок в результатах этой операции, обусловленных высокой корреляцией ряда ее столбцов и строк. Обращение матрицы в этом случае заменяется последовательностью более простых вычислительных процедур, которые на каждом шаге расчетов определяют обратную матрицу (X_t+1¢X_t+1)^–1, t=T₁, T₁+1,..., T, T₁>п+1, где X_t+1 – матрица, образованная t+1-ми строками матрицы X, на основе предварительно оцененной матрицы (X_t¢X_t)^–1 и t+1-й строки матрицы X, которую обозначим как . В этом случае и МНК сводится к итеративной процедуре, на каждом шаге которой уточняются оценки коэффициентов модели для исходных данных интервала (1, t+1) с учетом оценок, полученных для интервала (1, t), и новой информации, содержащейся в t+1-м элементе у_{t +1} вектора у и строке t+1-й строке матрицы Х.

Рассмотрим рекуррентные методы оценивания параметров эконометрических моделей более детально.

Предположим, что существуют оценки коэффициентов эконометрической модели, полученные для первых t элементов вектора у и строк матрицы X. Обозначим эти оценки как вектор a_t=(a₀^t, a₁^t,..., a_n ^t)¢, t>п+1.

Заметим, что эти оценки с учетом результирующего выражения МНК a_t=(X_t¢X _t)^–1X_t¢у_t можно представить в виде произведения двух сомножителей – матрицы F_t^–1=(X _t¢X_t)^–1 и вектора g_t=X_t¢у_t, где X_t – матрица значений факторов, образованная по первым t строкам матрицы X и у_t – вектор, образованный по первым элементам t вектора у.

Имея в виду правило умножения матрицы на вектор-столбец, вектор g_{t+ 1} можно представить в следующем виде:

g_t+1=g_t+Dg_t, (4.1)

 

где Dg_t – корректирующая поправка к вектору g_t, образованная произведением транспонированной t+1-й строки матрицы X¢ (t+1-го столбца матрицы X ¢) на t+1-й элемент вектора у :

 

Dg_t =×у_t+1. (4.2)

 

Для матрицы F_t+1=(X_t+1¢X_t+1) также с учетом операции умножения матриц по правилу строка на столбец можно записать

 

F_{t+ 1}=F_t+DF_t, (4.3)

 

где D F_t – корректирующая поправка к матрице F_t, полученная путем умножения транспонированной t+1-й строки матрицы X¢ (t+1-го столбца матрицы X) на саму себя, т. е. на t+1-й столбец матрицы X:

DF_t =×. (4.4)

 

Заметим, то операция (4.3) не дает возможности непосредственно получить матрицу F_t+1^–1, обратную матрице F_t+1. Для ее определения воспользуемся леммой об обращении матриц, которая может быть представлена в виде следующего выражения:

 

F_{t+ 1}^–1=F_t^–1–F _t^–1 ×(1+×F_t^–1 ×)^–1×F _t^–1. (4.5)

 

Поскольку выражение (1+×F _t^–1×) является скаляром (как результат умножения строки на столбец F_t^–1×), то матрица F_t+1^–1 на основании выражения (4.5) определяется как разность двух матриц

 

F_{t+ 1}^–1=F _t^–1–DF_t^–1, (4.6)

 

где DF_t^–1=F _t^–1×(1+×F _t^–1×)^-1×F_t^–1 – поправка к матрице F_t^–1, полученная лишь с помощью процедур умножения матриц и векторов по правилу “строка на столбец”.

Для доказательства справедливости выражения (4.5) умножим матрицу F_t+1 (выражение (4.3)) с учетом (4.4) слева на F_t+1^–1 и справа на F _t^–1. Получим:

 

F_t^–1=F_t+1^–1 +F_t+1^–1F _t^–1 . (4.7)

 

Далее умножим выражение (4.7) справа на вектор-столбец и вынесем сомножитель F_t+1^–1. Получим:

 

F _t^–1 ×=F_t+1^–1(1+ × F _t^–1 ×). (4.8)

 

Выражение (4.8), в свою очередь, умножим справа на вектора ×F_t^–1. В результате получим

 

F_t+1^–1¢×F_t^–1=

=F_t^–1 ×(1+×F_t^–1 ×) ^-1×F_t^–1. (4.9)

 

Конечный результат леммы (4.5) получим путем подстановки в (4.9) вместо матрицы F_t+1^–1¢×F_t^–1 ее эквивалента F_t^–1–F_{t+ 1}^–1 из выражения (4.7).

Используем лемму (4.5) для определения уточненного вектора оценок a_t+1 коэффициентов линейной эконометрической модели. Для этого обозначим через R_t+1 следующий сомножитель-вектор:

 

R_t+1=F_t^–1×(1+×F _t^–1 ×)^-1. (4.10)

 

С учетом (4.10) вместо (4.5) можем записать

 

F_t+1^–1=F_t^–1–R _{t+ 1}F_t^–1. (4.11)

 

Сопоставляя выражения (4.11) и (4.7), непосредственно имеем

 

R_t+1=F_{t+ 1}^–1 ×. (4.12)

 

Поскольку вектор a _t+1 может быть определен как

a _t+1=F_t+1^–1×g_t+1=F_t+1^–1(g_t+×у_t+1)=F_{t+ 1}^–1×g _t+F_t^–1 ××у_t+1, (4.13)

 

то с учетом (4.11) после подстановки (4.12) в (4.13) получим

a_t+1=a_t+R_t+1 (у_t+1–×a_t) (4.14)

или

a_t+1=a_t+Da_t. (4.15)

 

Заметим, что выражение у_t+1–×a_t =представляет собой ошибку модели в момент t+1, полученную для модели, построенной по t точкам. Иными словами, в данном случае значение характеризует как бы ошибку прогноза, поскольку произведение ×a_t=рассматривается как прогнозное значение величины у в момент t+1, полученное на основе модели, построенной с использованием информации за период (1, t), и прогнозного фона, определенного значениями факторов х₁,..., х_п для момента t+1, а значение у_t+1 – фактическое значение переменной у в момент t+1.

Таким образом, выражения (4.14) и (4.15) определяют оценку вектора a _t+1 параметров эконометрической модели, построенной по данным периода (1, t+1), как сумму оценок этого же вектора, но построенного по данным периода (1, t), т. е. a_t, и корректирующего слагаемого, определенного как произведение корректирующего множителя R _t+1 на ошибку прогноза . Вектор a_t можно интерпретировать как априорную информацию, а вектор Da_t из выражения (4.15) как поправку, полученную на основе апостериорных данных. Вследствие этого рассмотренная рекуррентная процедура отражает байесовский подход к получению оценок коэффициентов эконометрической модели.

Из изложенного материала непосредственно вытекает, что для реализации рекуррентной процедуры оценок параметров линейной эконометрической модели в условиях мультиколлинеарности независимых переменных в периоде (1,Т) необходимо в качестве исходной информации иметь “хорошо обусловленную” матрицу F_t, к которой несложно применить операцию обращения. Ее можно получить, если линейная зависимость между факторами х_i, i=1,2,..., п в период (1,t) будет значительно слабее, чем в период (1,Т).

Если же подобные взаимосвязи между факторами не ослабевают с уменьшением временного интервала, то для решения проблемы получения оценок коэффициентов линейной эконометрической модели с помощью рекуррентной процедуры может быть использовано некоторое приближение матрицы F _t.

Например, матрицу F_t можно заменить матрицей F_t следующего вида:

 

F_t=(F_t +Е×d)=(X_t¢X_t+Е×d), (4.16)

 

где d – некоторый скаляр, добавляемый к диагональным элементам матрицы F_t =X_t¢X_t с целью облегчения операции получения обратной матрицы F_t^–1.

В этом случае вектор коэффициентов a_t определяется из выражения

a_t=(X _t¢X_t+Е×d)^–1X_t¢у, (4.17)

 

которое называют гребневым МНК, а полученные на его основе оценки коэффициентов модели – гребневыми оценками.

Недостатком гребневых оценок является их смещенность, которая увеличивается с ростом уровня константы d. Однако это смещение для интервала (1, t) можно свести к минимуму путем подбора минимально достаточного значения d. Кроме того, в ходе рекуррентного метода оценивания для моментов времени t+1, t+2,...,Т величина смещения также уменьшается.

Если это необходимо, то рекуррентные методы могут применяться и в рамках обобщенного МНК или взвешенной эконометрической модели. Для этого процедуру рекуррентного оценивания необходимо применить к преобразованным исходным данным.