рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ЭКОНОМЕТРИКА

ЭКОНОМЕТРИКА - раздел Экономика, Министерство Образования Российской Федерации Российская Экономическ...

Министерство образования Российской Федерации

Российская экономическая академия имени Г.В. Плеханова

 

 

“ЭКОНОМЕТРИКА”

Москва 2002

 


 

Авторы: д-р экон. наук Н.П. Тихомиров

канд. экон. наук Е.Ю.Дорохина

 

Учебник по дисциплине “Эконометрика” / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина. – М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2002. 640 с.

Для студентов экономико-математического факультета.


 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ... 7

ГЛАВА I. ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 9

1.1. Основные этапы построения эконометрической модели.. 9

1.2. Особенности обоснования формы эконометрической модели.. 16

1.3. Методы отбора факторов.. 29

1.4. Характеристики и критерии качества эконометрических моделей.. 41

1.5. Качество оценок параметров эконометрических моделей.. 59

Вопросы к главе I. 69

Упражния к главе I. 70

ГЛАВА II. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.... 76

2.1. Метод наименьших квадратов.. 76

2.1.1. Процедура оценки параметров по методу наименьших квадратов 76

2.2.2. Свойства оценок МНК... 80

2.2. Особенности проверки качества оценок МНК... 94

2.2.1. Свойства фактической ошибки эконометрической модели.. 95

2.2.2. Тестирование свойств фактической ошибки эконометрической модели 99

2.2.3. Оценка дисперсии истинной ошибки модели.. 106

2.2.4. Особенности проверки обратимости матрицы Х¢Х.... 108

2.3. Оценка последствий неправильного выбора состава независимых переменных модели.. 113

2.4. Оценивание параметров эконометрической модели с учетом ограничений 119

2.5. Метод максимального правдоподобия.. 125

2.5.1. Предпосылки метода максимального правдоподобия.. 125

2.5.2. Процедура получения оценок максимального правдоподобия.. 131

Вопросы к главе II. 138

Упражнения к главе II. 139

ГЛАВА III. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ C НЕСТАНДАРТНЫМИ ОШИБКАМИ.... 153

3.1. Обобщенные методы оценивания параметров эконометрических моделей 156

3.1.1. Обобщенный метод наименьших квадратов.. 156

3.1.2. Обобщенный метод максимального правдоподобия.. 161

3.2. Применение обобщенных методов оценивания параметров эконометрических моделей на практике.. 163

3.2.1. Эконометрические модели с коррелирующими ошибками.. 163

3.2.2. Эконометрические модели с гетероскедастичными ошибками.. 174

3.3. Метод инструментальных переменных.. 180

Вопросы к главе III. 190

Упражнения к главе III. 191

ГЛАВА IV. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.... 202

4.1. Рекуррентные методы оценки параметров эконометрических моделей 203

4.2. Метод главных компонент.. 209

4.3. Методы оценки коэффициентов моделей с лаговыми независимыми переменными 224

Вопросы к главе IV.... 234

Упражнения к главе IV.... 235

ГЛАВА V. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛЕЙ С ЛАГОВЫМИ ЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ.... 239

5.1. Проблемы построения моделей с лаговыми зависимыми переменными 239

5.2. Основные подходы к оценке коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные.. 248

5.3. Особенности использования инструментальных переменных в оценках параметров моделей.. 255

Вопросы к главе V.... 256

Упражнения к главе V.... 256

ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ... 260

6.1. Стационарные временные ряды... 260

6.1.1. Параметрические тесты стационарности.. 264

6.1.2. Непараметрические тесты стационарности.. 273

6.1.3. Преобразование нестационарных временных рядов в стационарные 280

6.2. Модели авторегрессии.. 283

6.3. Модели скользящего среднего.. 293

6.4. Модели авторегрессии-скользящего среднего.. 297

6.5. Идентификация моделей авторегрессии-скользящего среднего.. 302

6.6. Модели временных рядов с сезонными колебаниями.. 314

6.7. Переход от стационарных моделей к нестационарным... 320

Вопросы к главе VI. 324

Упражнения к главе VI. 325

ГЛАВА VII. МОДЕЛИ ФИНАНСОВОЙ ЭКОНОМЕТРИКИ.... 332

7.1. Объекты исследования финансовой эконометрики.. 332

7.2. Гипотезы финансовой эконометрики.. 345

7.3. Тестирование финансовых процессов.. 353

7.4. Модели ГСБ-1. Броуновское движение.. 370

7.5. Модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией (ГСБ-2 и ГСБ-3) 379

7.5.1. Модели процессов со скачками вариации.. 383

7.5.2. Модели процессов с зависимой вариацией.. 387

7.7. Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами 408

Приложения к главе VII (к разделу 7.3). 415

1. Оценки параметров распределения отношения SR... 415

2. Параметры распределения выборочной дисперсии.. 417

3. Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин.. 418

Вопросы к главе VII. 422

Упражнения к главе VII. 423

ГЛАВА VIII. СИСТЕМЫ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 428

8.1. Особенности систем взаимозависимых моделей.. 428

8.2. Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей 435

8.3. Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы систем взаимозависимых эконометрических моделей.. 450

8.4. Оценивание параметров структурной формы на основе двухшагового МНК с использованием инструментальных переменных.. 466

8.5. Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового МНК... 482

Вопросы к главе VIII. 487

Упражнения к главе VIII. 487

ГЛАВА IX. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ 491

9.1. Причины изменчивости структуры модели.. 491

9.2. Тестирование изменчивости структуры эконометрической модели.. 495

9.3. Эконометрические модели с переключениями.. 511

9.4. Эконометрические модели с эволюционными изменениями коэффициентов 518

Вопросы к главе IX.... 522

Упражнения к главе XI. 522

ГЛАВА X. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СО СПЕЦИФИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ.... 527

10.1. Эконометрические модели с ошибками в переменных.. 527

10.2. Модели с фиктивными независимыми переменными.. 539

10.3. Модели с дискретными зависимыми переменными.. 546

10.3.1. Модели бинарного выбора.. 549

10.3.2. Модели множественного выбора.. 570

10.3.3. Модели счетных данных.. 588

10.4. Модели с ограниченными зависимыми переменными.. 595

10.4.1. Модели усеченных выборок.. 596

10.4.2. Модели цензурированных выборок.. 601

10.4.3. Модели случайно усеченных выборок (selection-model). 607

10.5. Методы оценки параметров моделей с дискретными и ограниченными зависимыми переменными.. 612

10.5.1. Метод максимального правдоподобия.. 612

10.5.2. Метод максимального счета (MSCORE). 619

Вопросы к главе X.... 622

Упражнения к главе Х.... 623

ГЛАВА XI. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.... 632

11.1. Особенности оценки параметров нелинейных моделей.. 632

11.2. Метод прямого поиска.. 641

11.3. Методы оценки параметров, основанные на линейной аппроксимации модели 644

11.4. Методы, предполагающие линеаризацию целевой функции.. 648

11.5. Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей.. 653

Вопросы к главе XI. 655

Упражнения к главе XI. 655

ГЛАВА XII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 659

12.1. Особенности эконометрического прогнозирования.. 659

12.2. Методы оценки дисперсии прогноза при детерминированном прогнозном фоне 671

12.3. Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне 676

12.4. Прогнозирование на основе моделей временных рядов.. 680

Вопросы к главе XII. 692

Упражнения к главе XII. 693

КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ... 697

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Функция стандартного нормального распределения.. 702

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Двусторонние квантили распределения Стьюдента.. 703

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Таблица критерия Дарбина-Уотсона для a= 0,05.. 704

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица критерия Фишера для a = 0,05.. 706

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Квантили распределения c2(n). 707

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..... 708

 


ВВЕДЕНИЕ

Термин эконометрия (эконометрика) был введен в научную литературу в 1930 году норвежским статистиком Рагнаром Фришем для обозначения нового направления научных исследований, возникшего из необходимости научно-обоснованного подтверждения и доказательства концепций и выводов экономической теории результатами количественного анализа рассматриваемых процессов. В этой связи можно сказать, что основная задача эконометрики состоит в построении моделей специфического типа (эконометрических моделей), описывающих взаимообусловленное развитие социально-экономических процессов, на основе информации, отражающей распределение их уровней во времени или (и) в пространстве однородных объектов. Эти модели используются в анализе и прогнозировании общих закономерностей и конкретных количественных характеристик рассматриваемых процессов, определении управляющих воздействий. Вследствие этого в самом широком толковании эконометрию можно рассматривать как объединение ряда дисциплин – экономической теории (включая микро- и макроэкономику, социальную сферу), социально-экономической статистики и теории измерения общественных процессов, математической статистики и методов экономико-математического моделирования.

Каждая из перечисленных дисциплин играет свою роль в эконометрическом исследовании. Экономическая теория занимается вопросами разработки концепций относительно законов развития исследуемых процессов с учетом их взаимосвязей; социально-экономическая статистика и теория измерений – выражением количественных и качественных состояний этих процессов (как правило, в последовательные периоды (моменты) времени) в виде набора логически непротиворечивых и содержательных показателей; методы экономико-математического моделирования – разработкой моделей взаимосвязей между рассматриваемыми процессами, адекватно отражающими экономические концепции в рамках выбранной системы показателей; математическая статистика – собственно построением самих моделей (т. е. оценкой их параметров), проверками гипотез относительно их адекватности тенденциям процессов, значимости взаимосвязей между ними, оценками неопределенности в полученных результатах, вызванной систематическими и случайными ошибками и т. п.

При этом обычно предполагается, что систематические ошибки в результатах возникают вследствие использования неадекватной тенденциям исследуемых процессов концепции относительно их взаимосвязей, систематических ошибок измерений их уровней, неправильно выбранной спецификации модели и ряда других причин объективного и субъективного характера.

Причинами существования случайной ошибки модели, как правило, являются случайные ошибки измерения процессов, невозможность учета в модели случайных воздействий множества незначимых с точки зрения экономической теории факторов и другие подобные причины.

Таким образом, при эконометрическом исследовании имеют место две стороны проблемы обеспечения высокого качества его результатов – качественная и количественная. Качественная заключается в установлении соответствия между построенной эконометрической моделью и лежащей в ее основе концепцией, а количественная – в точности аппроксимации (подгонки) имевшихся количественных и качественных характеристик рассматриваемых процессов данными модельных расчетов.

В конкретных научных исследованиях “концептуальные” и собственно “вычислительные”, прикладные аспекты эконометрии нередко отделяются друг от друга. В каждом из них имеют место свои проблемы, нерешенные задачи. Основной задачей “вычислительной” эконометрии является собственно построение адекватной тенденциям рассматриваемых процессов эконометрической модели. Исследованию проблем построения таких моделей в данной работе и будет уделено основное внимание.


 

ГЛАВА I. ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Основные этапы построения эконометрической модели

В эконометрических исследованиях обычно предполагается, что закономерности моделируемого процесса складываются под влиянием ряда других явлений,…   yt=f (a, xt)+et, (1.1)

Особенности обоснования формы эконометрической модели

Дело в том, что в практических исследованиях на предварительном этапе вид функционала эконометрической модели (1.1) и точный состав включенных в нее… В этой связи прежде чем подойти к решению задач первого этапа, необходимо… Состав переменных хi и форма функционала f могут отражать либо экономическую концепцию, лежащую в основе взаимосвязи…

Рис. 1.1

 

y хi

           
 
   
 
   
 


t t

Рис. 1.2

 

Аналогично можно показать, что предельная норма замещения факторов i и j для функции (1.17) также является переменной величиной

 

 

и ее значение также зависит от соотношения уровней рассматриваемых факторов в каждый момент времени.

Методы отбора факторов

Проблема выбора “оптимальных” факторов обычно решается на основе содержательного и количественного (статистического) анализа тенденций… На этапе содержательного анализа решается вопрос о целесообразности включения… Здесь следует иметь в виду, что на этапе содержательного анализа обычно решается проблема установления самого факта…

Если имеет место соотношение

ti £t*, (1.26)   то влияние фактора хi на переменную у можно признать незначимым (недостаточно значимым), где t* – табличное значение…

Характеристики и критерии качества эконометрических моделей

Здесь следует отметить, что основным условием высокого “качества” модели является обоснованность “математической формы функционала f(a, xt ), как по… Отметим основные подходы к оценке “качества” эконометрических моделей. Ведущая роль при определении характеристик качества эконометрической модели принадлежит ряду ее “выборочной” ошибки…

Рис. 1.3. Различие между интерполирующим и описывающим

общую тенденцию переменной уt вариантами функционалаf (a , xt )

 

Вместе с тем очевидно, что среди нескольких различных вариантов функционала f(a, xt), примерно одинаково отражающих общие тенденции процесса уt, более предпочтительным является тот из них, который обеспечивает и лучшую аппроксимацию (в математическом понимании этого термина).

В общем случае “качество” эконометрической модели оценивается по двум группам характеристик, хотя, как это будет показано далее, предполагаемая группировка не вполне однозначна, поскольку, во-первых, характеристики каждой из групп часто имеют двойное назначение, а, во-вторых, многие из них взаимосвязаны друг с другом. В первую из групп включим показатели, критерии, выражающие “степень” соответствия построенной модели основным закономерностям описываемого ею процесса. Во вторую – показатели и критерии, в большей степени оценивающие точность ее аппроксимации наблюдаемых значений процесса уt .

В этой связи следует отметить, что к критериям первой группы могут быть отнесен и критерий Стьюдента, используемый для оценки значимости влияния каждого из факторов хi, i=1, 2,..., n, на зависимую переменную уt (см. раздел 1.3).

Соответствие эконометрической модели описываемому ею процессу уt в значительной степени может быть установлено на основе анализа свойств рассчитанного ряда ошибки et, t=1, 2,..., Т*. Если вариант модели “верно” отражает основные тенденции процесса уt , то можно ожидать, что значения ошибки в определенной степени случайны, их свойства близки к свойствам процесса “белого шума”. Если же тенденция, закономерности процесса уt учитываются моделью не в полной мере (в модель не включены какие-либо существенные с содержательной точки зрения факторы, выбрана форма функционала f(a, xt), не адекватная характеру взаимосвязей между рассматриваемыми переменными и т. п.), то в ряду ошибки обычно появляется некоторая закономерность, свидетельствующая об утрате свойства ее “случайности”. Заметим, что “неслучайный” характер фактической ошибки модели et может быть предопределен и неверно выбранным методом оценки параметров модели.

Забегая вперед, отметим, что среди методов оценки параметров линейных эконометрических моделей наибольшее распространение получили метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов и метод моментов. Каждый из них используется при вполне определенных исходных предпосылках относительно свойств ошибки модели et. Например, классические варианты этих методов используются в предположении, что ошибки совпадают со свойствами процесса “белого шума” (нулевое среднее, конечная дисперсия, отсутствие автокорреляционных связей). При этом “метод максимального правдоподобия” предполагает известным закон распределения ошибки. Чаще всего используется предположение о “нормальности” ее распределения. В этой связи построенная с использованием метода максимального правдоподобия модель будет считаться адекватной рассматриваемому процессу, если свойства фактической ошибки et, определенной согласно выражению (1.27), будут не слишком сильно отличаться от предполагаемых свойств ошибки et (“белого шума” с нормальным распределением).

Метод наименьших квадратов не выдвигает столь жестких требований к закону распределения ошибки. Согласно ему оценки параметров моделей определяются исходя из критерия минимума суммы квадратов ошибки. В такой ситуации модель, построенная с использованием данного метода, будет считаться адекватной рассматриваемым процессам, если ее ошибка по своим свойствам идентична “белому шуму”.

Если в отношении ошибки эконометрической модели et выдвигаются предположения, что ее свойства отличны от свойств “белого шума”, то для оценки параметров модели обычно используются так называемые обобщенные модификации данных методов.

Отличие ошибки модели от “белого шума” может выражаться, например, непостоянством ее дисперсии на различных участках интервала t=1, 2,..., Т; наличием взаимосвязи между ее соседними значениями, выражаемыми, например, уравнением следующего вида et =b×et–1+xt, где xt – новая ошибка, по своим свойствам близкая к процессу “белого шума” и т. п.

Однако на практике для моделей многих типов такие свойства ошибки модели априорно предвидеть обычно не представляется возможным. Их можно установить, только анализируя свойства фактической ошибки et, полученной для моделей, оценки коэффициентов которых определены с использованием “классических” методов оценивания.

Таким образом, наличие или отсутствие свойства “случайности” в ряду выборочной ошибки модели et, t =1, 2,..., Т; в определенной мере указывает на “соответствие” или “несоответствие” модели описываемому ею процессу у. В том случае, когда ошибка модели “неслучайна”, может быть рекомендовано уточнить рассматриваемый вариант модели, выбрать более подходящий для данной ситуации метод оценки ее параметров.

Как было отмечено выше, “неслучайность” ошибки может иметь различный характер. Наиболее часто она выражается наличием автокорреляционной связи между соседними ее значениями, тенденциями, характеризующими изменения их квадратов, т. е. тенденциями в ряду et2, t=1, 2,..., Т и других ее производных. Для выявления “неслучайности” в ряду ошибки модели обычно используют специфические тесты, многие из которых будут рассмотрены в последующих главах учебника применительно к моделям соответствующих типов. Здесь же в качестве примера опишем особенности использования для этих целей достаточно универсального теста (критерия) Дарбина-Уотсона. Он наиболее широко применяется в эконометрических исследованиях вследствие своей простоты, хотя и не обладает существенной эффективностью (достоверностью). Тест Дарбина-Уотсона обычно используется для установления факта наличия автокорреляционной зависимости первого порядка в ряду ошибки et, т. е. между соседними ее значениями, et и et+1, t=1, 2,..., Т. Обычно соседние значения ошибки связаны более сильной зависимостью, чем значения et и et+2, et и et+3 и т. д. Вследствие этого отсутствие автокорреляционной связи между рядами значений выборочной ошибки et и et–1, t=1, 2,..., Т–1; позволяет с большой степенью уверенности утверждать, что в ряду истинной ошибки модели et отсутствуют вообще какие-либо автокорреляционные взаимосвязи.

Значение критерия Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле

 

Раскрывая квадрат в числители выражения (1.29), получим:

 

 

где r1 – коэффициент автокорреляции первого порядка ошибки et, т. е. корреляции между рядами et и et+1.

Из выражения (1.30) непосредственно вытекает, что

 

0 £ d £ 4. (1.31)

 

Значение d=0 соответствует случаю, когда между рядами et и et+1 существует строгая положительная линейная зависимость, т. е. r1=+1, и значение d=4 соответствует строгой отрицательной связи, r1 =–1. Если ряды et и et +1 независимы, то r1 =0 и d=2.

Точки d=0; 2; 4 и определяют границы критерия Дарбина-Уотсона, в пределах которых гипотеза о наличии автокорреляции первого порядка в последовательности ошибок либо принимается (в областях близких к 0 или 4), либо отвергается (в области d=2), либо решение по данному критерию остается неопределенным (в промежутках между отмеченными областями). Иными словами, на отрезке [0,4] выделяются четыре промежуточные точки, таким образом, что 0£d1£d2£2£d3£d4£4. Если расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона находится на отрезках [0, d1] , [d4,4], то гипотеза о наличии автокорреляции первого порядка в ряду ошибок модели принимается, если расчетное значение d находится в интервале [d2, d3], – то отвергается. Значения d, приходящиеся на полуинтервалы [d1, d2] и [d3, d4], не позволяют сделать однозначного суждения по данной гипотезе. В последнем случае необходимо проводить более глубокий анализ зависимостей между значениями ошибки et, t=1,2,..., Т.

Другую группу критериев, в большей степени направленных на выявление степени точности аппроксимации функционалом f(a, xt ) наблюдаемых значений зависимой переменной уt, образуют широко используемые в статистике и эконометрике коэффициент множественной корреляции R, коэффициент детерминации D, критерий Фишера F.

Здесь следует отметить, что общепринятой в статистике мерой точности “аппроксимации” является дисперсия (в нашем случае дисперсия модели). Ее значение на практике обычно определяется на основании следующей формулы:

 

 

где =f (a, xt) – рассчитанные на основании уравнения модели f(a, xt) значения зависимой переменной, Т– количество измерений, п+1 – число параметров модели.

Однако значение дисперсии не отражает многих существенных аспектов качества модели и, кроме того, оно не очень пригодно для целей содержательного анализа.

Несложно заметить, что величина ошибки тесно связана с уровнем зависимой переменной у, и в этой связи она имеет “абсолютное” содержание. В то же время “точность” в большей степени относительна. Поэтому меньшее значение дисперсии еще не свидетельствует о более высоком “качестве” модели, ее аппроксимирующих возможностях. Большая дисперсия может выражать лишь более высокие уровни независимой переменной, а не ухудшение точности ее аппроксимации построенной моделью.

Здесь следует отметить, что и “относительность” ошибки может рассматриваться в двух аспектах. Во-первых, по отношению к уровню переменной у, а, во-вторых, – к некоторому уже установленному “эталону” точности. Как раз эти аспекты в большей степени и учитывают указанные критерии и коэффициенты.

Коэффициент множественной корреляции показывает степень приближения расчетных (по построенной модели) значений зависимой переменной (a, xt) к действительным ее значениям уt . Величина коэффициента множественной корреляции меняется в пределах от нуля до единицы (0£ R£1). Значения R, близкие к нулю, свидетельствуют о том, что расчетные значенияплохо аппроксимируют значения уt. Если R близок к единице, то это означает, что модель хорошо аппроксимирует исходный ряд значений уt, t=1, 2,..., T.

Значения коэффициента детерминации также находятся на отрезке [0,1], 0£D£1. Его конкретная величина показывает долю изменчивости переменной у, объясняемую включенными в модель факторами хi, i=1, 2,..., n. Например, если D=0,81, то это означает, что включенные в модель переменные объясняют 81% изменчивости переменной уt, а остальная ее изменчивость объясняется неучтенными в модели причинами.

Значения коэффициентов множественной корреляции и детерминации рассчитываются на основании следующего выражения*:

 

 

Обоснование целесообразности использования коэффициента детерминации при определении качества построенной эконометрической модели заключается в следующем. “Удачная“ модель должна “объяснять” основные закономерности изменчивости зависимой переменной уt. Количественной мерой этой изменчивости в статистике принято считать показатель, рассчитываемый на основании следующей формулы:

 

Заметим, что разница представляет собой отклонение значения уt от среднего уровня этой переменной, а общая изменчивость, таким образом, выражается в виде суммы квадратов всех таких отклонений. После построения модели и определения на ее основании “расчетных” значений , каждое из таких отклонений можно представить в виде суммы двух составляющих

 

 

Первое из слагаемых правой части выражения (1.35) представляет собой расчетное значение ошибки модели в момент t, т. е. . Второе слагаемое выражает отклонение этого расчетного значения от среднего уровня переменной уt. С учетом (1.35) выражение (1.34) можно записать в следующем виде:

 

 

Как будет показано во II главе, ошибка et обладает рядом свойств , используя которые можно доказать, что последняя сумма в правой части выражения (1.36) равна нулю. Отсюда вытекает, что общая изменчивость переменной уt также может быть представлена в виде двух составляющих

 

 

При этом первая из них

 

 

выражает сумму квадратов ошибки модели, т. е. часть изменчивости переменной уt, необъясненную построенной моделью, а второе слагаемое – часть изменчивости переменной уt , которую построенная модель объяснила.

Разделив левую и правую части выражения (1.36) на , получим

 

Из последнего выражения непосредственно следует (1.33), т. е.

 

 

Таким образом, если модель абсолютно точно соответствует исходному ряду зависимой переменной уt, т. е. расчетные значения f(a, xt) равны уt для всех t =1, 2,..., T, то D=R=1.

В тех случаях, когда модель не может ни в какой мере объяснить изменчивость переменной уt, имеем R=D=0. При линейной форме зависимости f(a, xt) это происходит, например, в тех случаях, когда значения уt равномерно распределяются вокруг линии параллельной оси Х (см. рис. 1.4 (а, б)), что влечет за собой равенство , t=1, 2,..., T.

Из изложенного выше следует, что высокие значения переменных D и R ассоциируются с хорошей степенью аппроксимации построенной эконометрической моделью f(a, xt) исходного (заданного) ряда значений зависимой переменной уt, t=1, 2,..., T, а низкие значения – с плохой аппроксимацией. Вместе с тем следует иметь в виду, что причины плохой аппроксимации могут быть разные. В одних случаях это происходит из-за неверного выбора объясняющих (независимых) переменных, в других – из-за неправильно подобранной формы уравнения модели.

       
 
фактические значения у
   
фактические значения у
 


у у

       
 
   
 

 


расчетные значения у
х х

а) б)

Рис. 1.4(а,б). Примеры распределения переменной уt , при которых линейная эконометрическая модель)= a0 + a1 х1t имеет нулевые коэффициенты детерминации и корреляции.

 

Так, например, если для переменной уt, фактические значения которой обозначены прерывистой линией на рис. 1.4(а) в качестве эконометрической модели использовать уравнение эллипса а для переменной уt на рис. 1.4(б) – уравнение синусоиды то точность описания рассматриваемых процессов была бы значительно выше и характеристики D и R были бы близкими к единице.

Критерий Фишера (F-критерий) также используется для определения надежности всей модели путем сопоставления ее меры ошибки с величиной меры рассеяния переменной уt относительно Величина этого критерия определяется по формуле

 

 

Целесообразность использования критерия Фишера можно обосновать, заменив в выражении (1.39) показатель R2 на его модификацию – скорректированный квадрат коэффициента множественной детерминации , рассчитываемый с учетом замены суммы квадратов ошибки и изменчивости переменной уt на соответствующие дисперсии. Значение рассчитывается согласно следующей формулы:

 

При этом представляет собой дисперсию ошибки et (см. (1.32)), где Тп–1 – число степеней свободы, учитываемое при ее определении (Т– число измерений, п+1 – количество связанных параметров-коэффициентов модели); – дисперсия переменной уt, Т–1 – число степеней свободы при одном связанном параметре .

На основании (1.33) и (1.40) взаимосвязь между квадратами коэффициентов множественной корреляции R2 и можно представить в виде следующего соотношения:

 

Скорректированный коэффициент как мера качества построенной модели имеет определенные преимущества по сравнению с его предшественником – коэффициентом R2. В частности, из выражения (1.40) вытекает, что включение в модель независимых факторов, малозначащих с точки зрения объяснения изменчивости переменной уt, может вести к уменьшению значения (см. числитель дробной части (1.40)). В то же время показатель R2 не чувствителен к изменению количества таких переменных.

Здесь необходимо отметить, что критерий Фишера может рассматриваться и в качестве “меры” обоснованности включения в эконометрическую модель всей совокупности независимых переменных. В этом случае его можно отнести и к критериям первой группы, характеризующим степень соответствия построенной модели исследуемому процессу уt.

Критерий Фишера в такой ситуации рассматривается как своего рода тест при проверке гипотезы, что ни один из независимых факторов не играет никакой роли в объяснении изменчивости переменной уt или, что то же самое, все коэффициенты при независимых факторах модели равны нулю (a1=0, a2=0,... , aп =0) (см. раздел (2.2)). В соответствии с этим отношение R2/п в выражении (1.39) представляет собой среднюю долю объясненной изменчивости переменной уt, приходящуюся на один независимый фактор, а (1–R2)/(Тп–1) – среднюю долю необъясненной изменчивости переменной уt, в расчете на одну степень свободы.

При слабом влиянии независимых факторов на переменную уt (т. е. при ai ®0, i=1,2,..., n) значение R2, как и величина критерия F стремится к нулю, и, наоборот, с увеличением R2 численное значение F также возрастает. Заметим, что показатель F является случайной величиной, представляющей собой отношение двух дисперсий. Эта величина распределена по закону Фишера с п и Тп–1 степенями свободы (F(п, Тп–1)). Вследствие этого на практике проверка значимости коэффициентов модели с использованием критерия Фишера состоит в сопоставлении его расчетного значения, определенного для построенного варианта модели по формуле (1.34), с табличным значением F*(п, Тп–1), соответствующим заданному уровню доверительной вероятности р* (вероятности ошибки первого рода 1–р*) и известным степеням свободы п и Тп–1.

Если оказывается , что

F<F*(п, Тп–1),

 

то гипотезу о незначимости совокупного влияния независимых факторов на переменную уt целесообразно принять (вероятность ее осуществления равна р*). В противном случае роль факторов в объяснении изменчивости переменной уt следует признать существенной. С ростом F эта роль признается все более значимой.

Критерий Фишера можно использовать и при сравнении качества (точности описания исходного процесса уt) двух различных альтернативных вариантов модели. В данном случае его величина рассчитывается по формуле

 

где =f1(a1, xt1), =f 2(a2, xt2) – расчетные значения переменной у, полученные на основе первого и второго вариантов моделей соответственно, различающиеся, быть может, формой зависимости f и количеством факторов х; n1 и n2 – количества факторов в первом и втором вариантах соответственно.

Критерий (1.42) является двухсторонним. Особенности его использования состоят в следующем. Если выполняется соотношение

 

 

то рассматриваемые альтернативные варианты модели признаются равнозначными с точки зрения точности описания процесса уt.

Если

 

то выбор следует сделать в пользу первого варианта модели, а если

 

 

то – в пользу второго.

F*(n1, n2) – табличное значение критерия Фишера, выбранное для заданного уровня доверительной вероятности р* и числе степеней свободы n1=Т–n11 и n2=Т–n21.

В заключение данного раздела еще раз обратим внимание на определенные содержательные и количественные взаимосвязи между критериями и показателями качества эконометрической модели различных групп. Например, отметим, что появление автокорреляционных взаимосвязей у значений ошибки, вообще говоря, делает приведенные выше выражения критериев Фишера, коэффициента детерминации, множественных коэффициентов корреляции и т. п. некорректными. Это обусловлено тем, что используемая при расчете их значений сумма квадратов ошибки не может рассматриваться как “мера точности аппроксимации” заданного ряда значений уt, поскольку не учитывает, например, автокорреляционные связи между разновременными ошибками et и et+i, i=1, 2,...* Критерии Стьюдента и Фишера, коэффициенты детерминации и множественной корреляции, отнесенные к разным группам, часто используются совместно при обосновании выбора варианта эконометрической модели. Это связано с тем, что каждый из включенных в модель факторов, как правило, объясняет некоторую долю изменчивости зависимой переменной уt, пусть даже и небольшую. Вследствие этого, когда независимых факторов не слишком много и между ними не наблюдается сильных взаимосвязей, то исключение из их состава даже малозначимого с точки зрения критерия Стьюдента фактора объективно уменьшает количество информации, объясняющей изменчивость уt. Это, в свою очередь, влечет за собой уменьшение значений характеристик D, R и F. Может возникнуть такая ситуация, когда, удалив на очередном шаге незначимый фактор, исследователь получает менее удачный по этим показателям вариант модели. Если нет других альтернативных ее вариантов, то возникает проблема выбора между “ненадежным” вариантом модели со значимыми факторами и более надежным вариантом, у которого некоторые из независимых переменных незначимы. На практике обычно выбор делается в пользу более “удачной” модели, поскольку более точное описание процесса уt в эконометрике является и более предпочтительным по сравнению с решением задачи установления перечня значимых по степени влияния на переменную уt факторов.

Таким образом, этапы формирования модели (обоснование формы функционала, состава независимых переменных) и оценки ее качества в значительной степени взаимосвязаны между собой. Для них, как правило, нельзя установить жесткую очередность. Часто информация, полученная на “более поздних этапах” заставляет пересматривать итоги предыдущих. Заметим также, что важную роль на всех этих этапах играет содержательная сторона проблемы. Не подкрепленные результатами содержательного анализа и основанные только на “хороших” количественных критериях варианты эконометрических моделей часто являются с практической точки зрения бесполезными, бессодержательными “аппроксимациями”.

Вместе с тем качество модели в значительной степени зависит от того, насколько “удачны” оценки коэффициентов модели ai , i=0,1,... п. Они играют, пожалуй, основную роль при обосновании ее “качества”, поскольку на основе их значений непосредственно определяется одна из важнейших составляющих модели, характеризующих ее качество, – выборочная ошибка.

Основные подходы к обоснованию “качества” оценок параметров эконометрической модели рассмотрены в следующем параграфе учебника.

Качество оценок параметров эконометрических моделей

Эти оценки являются случайными величинами. Их случайный характер можно интерпретировать следующим образом. Значения построенного функционала f(a,… В этой связи еще раз отметим, что “истинным” значениям параметров a0, a1,...,…  

Вопросы к главе I

1. Охарактеризуйте составные части эконометрической модели.

2. По каким признакам можно классифицировать эконометрические модели?

3. Перечислите этапы построения эконометрических моделей.

4. На основании каких исходных данных могут быть построены эконометрические модели?

5. Перечислите наиболее распространенные типы функциональных зависимостей.

6. Что показывает частный коэффициент эластичности?

7. Охарактеризуйте производственные функции Кобба-Дугласа и с постоянной эластичностью замещения.

8. Что такое «предельная норма замещения»?

9. Охарактеризуйте «априорный» и «апостериорный» подходы к отбору факторов?

10. Что такое «ложная корреляция»?

11. Какие гипотезы проверяются с помощью критерия Стьюдента?

12. Какие гипотезы проверяются с помощью критерия Дарбина-Уотсона?

13. Что показывают коэффициенты множественной корреляции и детерминации?

14. Какие гипотезы проверяются с помощью критерия Фишера?

15. Что такое «асимтотическая несмещенность» и «асимптотическая состоятельность»?

16. Как определяются «асимтотическое математическое ожидание» и «асимптотическая дисперсия»?

Упражния к главе I

Задание 1.1

Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 12 магазинов, информация о деятельности которых представлена в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Номер магазина Годовой товарооборот, млн. руб. Торговая площадь, тыс. м2 Среднее число посетителей в день, тыс. чел.
19,76 0,24 8,25
38,09 0,31 10,24
40,95 0,55 9,31
41,08 0,48 11,01
56,29 0,78 8,54
68,51 0,98 7,51
75,01 0,94 12,36
89,05 1,21 10,81
91,13 1,29 9,89
91,26 1,12 13,72
99,84 1,29 12,27
108,55 1,49 13,92

 

Требуется построить диаграммы рассеяния годового товарооборота (у) в зависимости от торговой площади (х1) и среднего числа посетителей в день (х2) и определить форму связи между результирующим показателем (у) и каждым из факторов (х1 и х2).

 

Задание 1.2

На основании информации, приведенной в табл. 1.1, построено двухфакторное уравнение годового товарооборота в зависимости от торговой площади магазина (х1) и среднего числа посетителей в день (х2), которое выглядит следующим образом:

Требуется:

1. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнений регрессии.

2. На основании данных табл. 1.1 рассчитать эмпирические коэффициенты эластичности годового товарооборота от торговой площади и от среднего числа посетителей.

3. На основании уравнений регрессии оценить частные коэффициенты эластичности годового товарооборота от торговой площади и от среднего числа посетителей.

Задание 1.3

На основании информации, представленной в табл. 1.4, построена производственная функция Кобба-Дугласа

где – валовый национальный продукт в t-м году (млрд. руб.), – накопление в t-м году (млрд. руб.), – среднегодовая численность занятых в t-м году (млн. чел.).

Таблица 1.4

Пери-од ВНП, млрд. руб. Накопление, млрд. руб. Среднегодовая численность занятых, млн. чел.
337,7 89,1
354,0 90,5
363,3 91,9
385,7 93,0
405,6 94,1
426,3 95,3
438,3 96,1
462,2 96,6
486,7 97,5
523,4 98,2

 

Требуется:

1. Определить предельные эффективности факторов и предельные нормы их замещения в каждой точке базисного периода.

2. Построить графики изоквант для 1 и 10 периодов.

 

Задание 1.4

На основании информации за 1970-1990 гг. для РСФСР определены парные коэффициенты корреляции у (среднедушевого потребления рыбы, кг) и следующих факторов: х1 (среднедушевого потребления мяса, кг), х2 (среднедушевого потребления молока , л), х3 (среднедушевого потребления растительного масла , кг), х4 (среднедушевого потребления яиц, шт.), х5 (среднедушевого потребления сахара, кг), х6 (среднедушевого потребления хлеба, кг), х7 (среднедушевого потребления картофеля, кг), х8 (среднедушевого потребления овощей, кг), х9 (базисного индекса реальных доходов населения, за единицу принят уровень 1970 г.), и х1 0 (среднедушевого потребления алкоголя, л). Построена матрица парных коэффициентов корреляции факторов. Соответствующая информация приводится в табл. 1.12.

Таблица 1.12

  Коэффициенты парной корреляции
  х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х9 х10
y 0,84 0,43 0,83 0,85 0,87 -0,82 -0,69 0,70 0,85 0,19
x1 1,00 0,59 0,93 0,97 0,83 -0,98 -0,84 0,85 0,97 0,04
х2 0,59 1,00 0,47 0,48 0,13 -0,53 -0,21 0,42 0,52 0,36
x3 0,93 0,47 1,00 0,07 0,92 -0,97 -0,90 0,95 0,99 -0,11
x4 0,97 0,48 0,07 1,00 0,91 -0,98 -0,88 0,90 0,98 0,13
x5 0,83 0,13 0,92 0,91 1,00 -0,87 -0,78 0,86 0,90 0,20
x6 -0,98 -0,53 -0,97 -0,98 -0,87 1,00 0,88 -0,92 -0,98 -0,10
x7 -0,84 -0,21 -0,91 -0,88 -0,78 0,88 1,00 0,88 -0,91 -0,03
x8 0,85 0,42 0,95 0,89 0,86 -0,92 -0,88 1,00 0,93 0,10
x9 0,97 0,52 0,99 0,98 0,91 -0,98 -0,91 0,93 1,00 0,07
х10 0,04 -0,36 -0,11 0,13 0,20 -0,10 -0,03 0,10 0,07 1,00

 

Требуется отобрать факторы в модель путем пошагового наращивания их числа.

Указание. В качестве порогового значения парного коэффициента корреляции результирующего показателя и каждого из факторов взять 0,6 (r1 =0,6), а порогового значения парного коэффициента корреляции факторов – 0,9 (r 2 = 0,9).

 

Задание 1.5

В 2001 г. европейское мясное лобби размышляет на тему, стоит ли оказать давление на правительства стран-членов ЕС, чтобы новые случаи заболевания губчатой энцефалопатией и болезнью Кройцфельда-Якоба не становились достоянием гласности. Безусловно, такое давление будет стоить недешево, и поэтому необходимо предварительно оценить полезность подобных действий. Оценивается зависимость уt (доли вегетарианцев среди населения t-й страны ЕС) от х1t (числа ставших известными случаев инфицирования коров губчатой энцефалопатией) и х2t (числа ставших известными случаев заболевания людей болезнью Кройцфельда-Якоба). Исследование проводится для Т=15 стран.

Результаты оценивания по МНК (в скобках даны стандартные отклонения оценок коэффициентов):

 

Требуется:

1. Проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения при a=0,05.

2. Определить, является ли константа значимо меньше 0,31.

3. Проверить совместную статистическую значимость переменных х1 и х2, если сумма квадратов ошибок составляет 0,0084, а дисперсия наблюдаемой переменной у – 0,0011.

 

Задание 1.6

Для классической линейной однофакторной модели нормальной регрессии требуется проверить гипотезу H0:a0 =a00Ùa1=a10 при уровне значимости a=0,05.

1. Предлагается следующий способ тестирования. С помощью оценок a0 и a1 отдельно проверить гипотезы H01: a0=a00 и H02: a1=a10 при уровне значимости a=0,05. Если отклоняется хотя бы одна из гипотез H01 или H02, то отклоняется и гипотеза H0. Что можно сказать об уровне значимости такого способа тестирования?

2. Предлагается такой же способ тестирования, как и в п. 1. Но гипотеза H0 отклоняется только тогда, когда одновременно отклоняются и гипотеза H01 и гипотеза H02. Что можно сказать об уровне значимости такого способа тестирования?


 

ГЛАВА II. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Метод наименьших квадратов

Процедура оценки параметров по методу наименьших квадратов

– ошибка имеет нулевое математическое ожидание, M[et]=0; – ее дисперсия конечна и постоянна, se2=const; – автокорреляционные связи в ряду ошибки отсутствуют, т. е. r1=r2=...=0, где ri – коэффициент автокорреляции рядов et…

Сумма квадратов значений фактической ошибки модели должна быть минимальной.

   

Х¢Хa=Х¢у.

 

Откуда следует, что “оптимальный” вектор оценок параметров a определяется на основе следующего векторно-матричного выражения:

a=(Х¢Х)–1×Х¢у. (2.8)

 

Все переменные в правой части выражения (2.8) являются известными – это исходные данные, сведенные в матрицу Х и вектор у.

Свойства оценок МНК

Рассмотрим основные условия, при которых оценки коэффициентов линейной эконометрической модели, во-первых, могут быть в принципе найдены, а, во-вторых, их “качество” будет “достаточно высоким”, что является определенным свидетельством и достаточного качества построенной модели.

Как было отмечено в разделе 1.5, “качество” оценок, их свойства тесно связаны со “статистической” трактовкой исходных данных и, в первую очередь, независимых переменных. Рассмотрим сначала случай, когда измеренные (наблюдаемые) значения независимых факторов трактуются как детерминированные (неслучайные) величины.

Детерминированные независимые переменные.

Прежде всего заметим, что выражение (2.3) и аналогичное ему выражение (2.7) представляют собой систему (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными.… Вырожденная матрица Х¢Х будет иметь место в том случае, если хотя бы один… Другое достаточно естественное ограничение для получения решения состоит в том, что количество измерений факторов Т…

Стохастические независимые переменные.

Аналогично, такая ситуация может иметь место, когда в качестве исходных данных модели используется информация, характеризующая случайно выбранные… В этих случаях значения независимых переменных можно интерпретировать как… Тогда вектор оценок параметров эконометрической модели, определенный на основе МНК (см. выражение (2.9)), можно…

Особенности проверки качества оценок МНК

При этом следует иметь в виду, что новая информация обычно рассматривается как некоторая оценка (заменитель) истинных (но неизвестных) значений…  

Свойства фактической ошибки эконометрической модели

В этой связи сразу следует отметить, что наличие у ошибки еt каждого из этих свойств не всегда является доказательством присутствия соответствующего… Вместе с тем, если фактическая ошибка et не обладает некоторым свойством, то… В этой связи отметим, что к “априорным” свойствам фактической ошибки еt, которые выполняются при использовании МНК…

Тестирование свойств фактической ошибки эконометрической модели

Заметим, что условие (2.21) se2 = const нельзя интерпретировать как постоянство значений ½et½ для t=1, 2,..., Т. Оно лишь означает,… 1. Тестирование условия постоянства дисперсии ошибки модели. Проверку гипотезы se2=const (выражение (2.21)) можно провести с использованием расчетных значений ошибки еt на основе,…

Оценка дисперсии истинной ошибки модели

   

Особенности проверки обратимости матрицы Х¢Х

Во-первых, падает точность оценивания, что проявляется в росте дисперсий ошибок коэффициентов модели, возникновении сильной зависимости между… Во-вторых, может быть неправильно определена значимость независимых… В-третьих, оценки коэффициентов становятся крайне чувствительными к изменениям исходных данных эконометрической…

Рис. 2.1. Последствия для фактической ошибки неправильно

Выбранной формы функционала модели

 

Вместе с тем, причинами невыполнения условий (2.21)–(2.24) могут быть и специфические свойства рассматриваемых процессов, выражаемых переменными yt и хit, i=1,2,..., п; t=1, 2,..., T. В таком случае выход следует искать в использовании более подходящего метода оценки параметров эконометрической модели, более полно учитывающего свойства отображаемых ею процессов. Как правило, такой поиск предполагает определенную модификацию рассмотренного в данной главе “классического” МНК.

Такие модификации, соответствующие различным типам эконометрических моделей, описывающих социально-экономические процессы со специфическими видами взаимосвязей, вызывающих нарушение “канонических” условий МНК (2.21)–(2.24) рассмотрены в последующих главах данного учебника.

Оценка последствий неправильного выбора состава независимых переменных модели

Ошибка спецификации матрицы Х может быть обусловлена разными причинами. Во-первых, в модель могут быть не включены некоторые “существенные” факторы,… Предположим, что вместо “истинной” эконометрической модели с матрицей значений…  

Оценивание параметров эконометрической модели с учетом ограничений

  ai>0. (2.80)  

Метод максимального правдоподобия

Предпосылки метода максимального правдоподобия

При их нахождении обычно учитывается, что каждому набору значений оценок параметров соответствуют свои собственные ряды расчетных значений зависимой… В целом, в основе ММП лежат следующие рассуждения. 1. Выбранная модель адекватна процессу изменения (распределению) зависимой переменной yt , в том смысле, что ее форма…

Процедура получения оценок максимального правдоподобия

   

Вопросы к главе II

1. Каковы предпосылки «классического» метода наименьших квадратов (МНК)?

2. В чем суть МНК?

3. Приведите формулы расчета оценок коэффициентов линейной модели по МНК?

4. Какими свойствами обладают МНК-оценки классической линейной эконометрической модели?

5. Перечислите свойства фактической ошибки эконометрической модели.

6. Каким образом тестируется условие постоянства дисперсии ошибки модели?

7. Каким образом проверяется наличие автокорреляции ошибок модели?

8. Как оценивается дисперсия истинной ошибки модели?

9. Каковы последствия мультиколинераности факторов?

10. Как проверяется обратимость матрицы Х¢Х?

11. Каковы последствия неправильного выбора состава независимых переменных модели?

12. Каковы особенности оценивания параметров с учетом наложенных ограничений?

13. Перечислите предпосылки метода максимального правдоподобия (ММП)?

14. Опишите процедуру получения оценок параметров эконометрической модели с помощью ММП.

15. Какими свойствами обладают ММП-оценки параметров?

16. Каким образом оценивается дисперсия истинной ошибки модели?

Упражнения к главе II

Задание 2.1

Для 13 клиентов спортивного отдела магазина зафиксирована сумма покупки хt (в у. е.) и время разговора с продавцом yt (в мин.). Данные представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

хt
yt

 

Требуется:

1. Оценить с помощью МНК параметры линейного регрессионного уравнения, предположив, что переменная “длительность разговора с продавцом” объясняется переменной “величина покупки”.

2. Оценить с помощью МНК параметры линейного регрессионного уравнения, предположив, что переменная “величина покупки” объясняется переменной “длительность разговора с продавцом”.

3. Нарисовать диаграмму рассеяния величин (хt, yt) и обе линии регрессии. Объяснить, почему, если поменять экзогенную и эндогенную переменные местами, как правило, получаются различные уравнения регрессии.

 

Задание 2.2

Имеется классическое линейное однофакторное уравнение регрессии, параметры которого оценены обычным МНК,

Требуется:

1. Доказать, что сумма остатков равна нулю:

2. Доказать, что , среднее значение наблюдаемой зависимой переменной равно среднему значению ее оценок, рассчитанных по уравнению регрессии.

3. Доказать, что

4. Доказать, что

5. Доказать, что

6. Показать, что


т. е. коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции между переменными хt и уt.

7. Показать, что

 

8. Показать, что

 

Задание 2.3

Имеется линейное однородное однофакторное уравнение регрессии yt=a хt+et (t=1,..., Т).

Требуется:

1. Вывести формулу МНК для расчета определения оценки a регрессионного параметра a.

2. Покажите, что оценка a, полученная МНК, является несмещенной оценкой параметра a.

3. Определите дисперсию оценки a.

 

Задание 2.4

Исследуется зависимость затрат на рекламу у от годового оборота х в некоторой отрасли. Для этого собрана информация по Т=20 случайно выбранным предприятиям этой отрасли о годовом обороте хt и соответствующих расходах на рекламу yt (в млн. руб.). Из выборки получены следующие данные:Предполагается, что зависимость yt от хt описывается следующим уравнением: yt =a0+a1 хt+et (t=1,..., 20).

Требуется:

1. Оценить параметры a0 и a1 с помощью МНК.

2. Оценить дисперсию se2 “истинной” ошибки et.

3. Оценить дисперсии оценок a0 и a1 и их ковариацию.

Задание 2.5

Для данных задания 2.3 установлено, что “истинная” ошибка распределена нормально.

Требуется:

1. Определить 95%-е доверительные интервалы для параметров регрессии a0 и a1.

2. Проверить, можно ли утверждать, что с вероятностью 95% a0 Î K0 Ùa1 Î K1, где K0 и K1 – доверительные интервалы соответственно параметров a0 и a1, построенные в п. 1.

3. Определить 95%-й доверительный интервал для дисперсии “истинной” ошибки et.

 

Задание 2.6

Для анализа зависимости целевой переменной у от объясняющей переменной х получена выборка, состоящая из Т=50 наблюдений, и определены следующие показатели: В основу исследования положена классическая линейная однофакторная модель нормальной регрессии yt =a0+ a1 хt +et (t=1,..., 50).

Требуется проверить следующие гипотезы:

1. H01: a1 ³a10 =1 при уровне значимости a=0,05.

2. H02: a0 £a00 =50 при уровне значимости a=0,05.

3. H03: se 2 ³s0 2 =25 при уровне значимости a=0,05.

Задание 2.8

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

Требуется:

1. С помощью МНК оценить параметр регрессии a.

2. Рассмотреть линейное однофакторное уравнение t=a¢хt+xt, где t=1/yt и =1/a, и установить, какое соотношение существует между случайными ошибками et и xt.

3. С помощью МНК рассчитать оценку параметра регрессии и сравнить ее с оценкой из п. 1.

4. На основе трех пар наблюдений (хt, yt) – (4; 2,5); (2; 5); (10; 1;25) – показать, что оценки из пп. 1 и 3 в общем случае не совпадают.

Задание 2.9

Имеется выборка, состоящая из Т=6 пар наблюдений (хt, уt): (2,0; 0,0); (2,5; 0,5); (3,0; 1,0); (4,0; 1,0); (4,5; 0,5) и (5,0; 0,0), которая характеризует особый случай представления данных.

Требуется:

1. Нарисовать диаграмму рассеяния и выяснить, о каком особом случае идет речь.

2. Построить регрессионное уравнение для этого случая и прокомментировать его.

3. Рассчитать коэффициент детерминации и проинтерпретировать его.

4. Определить, что изменится, если принять, что первые три и последние три пары значений относятся к разным генеральным совокупностям.

 

Задание 2.10

Рассмотрим линейную однофакторную регрессионную модель, в которой экзогенные переменные принимают только два значения 0 и 1, т. е. являются индикаторами.

Требуется:

1. Определить общий вид уравнения регрессии.

2. Для 30-летних коммерсантов с высшим образованием объяснить уровень месячного дохода с помощью переменной “пол”, если для 6 случайно выбранных женщин месячные доходы составляют 3750, 3910, 4230, 3890, 4090, 4130, а для 6 случайно выбранных мужчин – 4850, 3950, 4210, 5580, 5170 и 4740. Построить соответствующее уравнение регрессии.

 

Задание 2.11

Имеется линейная классическая нормальная модель множественной регрессии

yt = a0 + a1 х1t +...+an хnt +et.

 

Требуется:

1. Рассмотреть функцию плотности распределения вектора “истинной” ошибки e и показать, что из того, что вектор e имеет нормальное Т-мерное распределение, следует, что отдельные ошибки et (t=1,2,...,Т) являются независимыми друг от друга и нормально распределенными с параметрами M[et]=0 и D[et]=se2 .

2. Определить, как распределен вектор эндогенных переменных y, и какова функция плотности распределения этой переменной.

3. Показать, что вектор оценок a, полученный обычным МНК, является оценкой максимального правдоподобия для a.

4. Определить, как распределен вектор оценок a, и какова функция плотности распределения этого случайного вектора.

 

Задание 2.12

Имеется классическая линейная модель множественной регрессии, записанная в отклонениях,

 

где et*– стохастическая ошибка.

Требуется:

1. Показать, что форма этой модели эквивалентна форме классической линейной модели множественной регрессии

yt = a0 + a1 х1t +...+an хnt + et.

 

2. Определить вектор оценок параметров a* =( a1* ,..., an* )¢.

3. Построить ковариационную матрицу вектора оценок a*.

 

Задание 2.13

Имеется классическая линейная модель множественной регрессии, записанная в отклонениях,

 

Требуется:

1. Показать, что для значений a(0) =( a1 ,..., an )¢ выполняется следующее соотношение:

a(0) =( Х*¢ Х*)–1 Х*¢× у*.

 

2. Показать, что значение может быть определено по следующей формуле:

где

 

Задание 2.14

Экзогенные переменные линейного уравнения множественной регрессии претерпевают следующие преобразования:

 

 

где c1iÎR, c2i ¹0, i=1,..., n.

Требуется:

1. Показать, что МНК-оценки параметров регрессии a(0)p=(a1p,..., anp)¢ после таких преобразований определяются по следующим формулам:

 
 


где

 

2. Показать, как изменятся МНК-оценки a(0)=(a1,..., an)¢, если от исходных экзогенных переменных перейти к стандартизованным переменным.

3. Показать, что для ковариационной матрицы вектора оценок a(0)p выполняется следующее соотношение:

 

Cov(a(0)p) = C2 × Cov(a(0)).

 

4. Показать, что в результате такого линейного преобразования не меняется оценка дисперсии ошибки.

 

Задание 2.15

Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2). Соответствующая информация представлена в табл. 2.2.

Таблица 2.2

yt 31,4 30,4 32,1 31,0 30,5 29,8 31,1 31,7 30,7 29,7
х1t 4,1 4,2 4,0 4,6 4,0 5,0 3,9 4,4 4,5 4,8
х2t

 

Требуется:

1. Оценить с помощью МНК параметры линейного двухфакторного уравнения

 

yt = a0 + a1 х1t +a2 х2 + et

 

и интерпретировать оценки.

2. Оценить дисперсию ошибки se2.

3. Рассчитать оценку математического ожидания при х1=5,5 и х2=980.

 

Задание 2.16

Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2). Соответствующая информация представлена в табл. 2.2. (см. задачу 2.15).

Требуется:

1. Построить однофакторные уравнения спроса у от цены (х1) и от дохода (х2). Оценить с помощью МНК параметры этих уравнений.

2. Сравнить оценки параметров из п. 1 с соответствующими оценками из задачи 2.15 п. 1. Кроме того, определить с помощью каждого из уравнений регрессии прогнозные значения математического ожидания целевой переменной при х1=5,5 и х2=980. Сравнить эти значения с прогнозным значением из решения задачи 2.15 п.3. Какое прогнозное значение предпочесть?

Задание 2.17

На основании данных из задания 2.15 построено двухфакторное уравнение регрессии. Установлено, что ошибки et этого уравнения имеют нормальное распределение.

Требуется:

1. Определить одномерные 95%-е доверительные интервалы для параметров регрессии a0, a1 и a2.

2. Определить 95%-й доверительный интервал дисперсии ошибки sh2.

 

Задание 2.18

На основании данных из задания 2.15 построено двухфакторное уравнение регрессии. Установлено, что ошибки et этого уравнения имеют нормальное распределение.

Требуется:

1. Для уровня значимости a=0,01 проверить гипотезы H00:a0=a00=12,0; H10: a1=a10=–1,5; H20: a2=a20=0,01.

2. Для уровня значимости a=0,01 проверить гипотезу H0:se2=s02=0,01.

 

Задание 2.19

На основании данных из задания 2.15 с помощью МНК построено двухфакторное уравнение регрессии. Установлено, что ошибки et этого уравнения имеют нормальное распределение.

Ранее было проведено исследование, которое дало для параметров регрессии следующие оценки: a00=13,311; a10=–1,4896 и a20=0,022998.

Требуется при уровне значимости a=0,025 проверить гипотезу, что структура модели не изменилась.

 

Задание 2.20

Для линейного уравнения множественной регрессии определен коэффициент детерминации D.

Требуется:

1. Показать, что для D выполняется следующее:

 

 

2. Показать, что для D также выполняется соотношение

 

 

где

 

Задание 2.21

Для линейного уравнения множественной регрессии определен коэффициент детерминации D.

Требуется:

1. Показать, что D равен квадрату коэффициента корреляции пары значений

2. Показать, что D не меняется, если переменные у и х1,..., хn претерпевают линейные преобразования.

 

Задание 2.22

Для уравнения линейной множественной регрессии определены корреляционный вектор r, корреляционная матрица Q и коэффициент детерминации D.

Требуется:

1. Показать, что

 

 

где

 

2. Показать, что

3. Показать, что

 

Задание 2.23

В табл. 2.3 представлена информация о Т=10 значениях двух объясняющих переменных x1, x2 и целевой функции y.

Таблица 2.3

x1t 10,3 18,5 16,3 22,5 10,5 16,8 14,0 19,1 13,0 18,0
x2t 2,5 8,6 3,7 6,5 7,8 9,1 1,9 2,7 3,0 5,2
Y 24,8 48,3 37,0 51,8 29,1 43,0 30,1 41,0 29,1 40,1

 

Tребуется:

1. Оценить с помощью МНК параметры линейного двухфакторного уравнения регрессии

 

yt = a0 + a1 х1t +a2 х2 + et.

2. Рассчитать значение коэффициента детерминации D и интерпретировать его.

3. Определить корреляционный вектор r и корреляционную матрицу Q.

4. Проверить для этого примера равенство

5. Определить скорректированный коэффициент детерминации и сравнить его со значением обычного коэффициента детерминации D.

Задание 2.24

В табл. 2.4 представлена информация о Т=10 парах наблюдений объясняющей переменной x и целевой переменной у.

Таблица 2.4

x 15,8 8,4 14,5 8,6 11,8 19,5 21,4 4,7 9,8 13,5
у 18,3 10,1 16,9 11,4 14,9 19,9 22,8 7,8 10,3 16,6

 

Требуется:

1. С помощью МНК оценить параметры линейного однофакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,..., Т) .

 

2. Проверить при уровне значимости a=0,025 гипотезу, что a0=2a1.

3. Определить оценки параметров уравнения с учетом априорной информации, что a0 =2a1.

4. Построить точечные прогнозы целевой переменной при х=30,0 по уравнениям, оцененным без учета и с учетом априорной информации.

 

Задание 2.25

Имеется априорная информация о гомогенности линейного однофакторного уравнения регрессии:

 

yt =a0+ a1 хt +et , (t=1,..., Т)

 

т. е. a0=0.

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения с учетом априорной информации и сравнить полученные оценки с решением задачи 2.3 п.1.

2. Определить ковариационную матрицу вектора оценок параметров.


ГЛАВА III. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ C НЕСТАНДАРТНЫМИ ОШИБКАМИ

В данной главе рассматриваются основные подходы к оценке коэффициентов эконометрических моделей, свойства которых отличаются от “стандартов”, определенных в главе II условиями (2.21)–(2.23). Иными словами, у “нестандартной” ошибки ее ковариационная матрица может быть отлична от диагональной матрицы Cov(ese2×Е, что является следствием существования корреляционных взаимосвязей между ее разновременными значениями на интервале (1, Т), дисперсия ошибки может не обладать свойством постоянства, se2¹const (гетероскедастичность ошибки) или ошибка e может быть связана с одной или несколькими независимыми переменными эконометрической модели хi.

Первый случай (наличия автокорреляционных взаимосвязей в ряду ошибки et, t=1,2,..., Т) формально может быть выражен следующим условием:

 

Соv(e)=W=se2×S, S¹Е, (3.1)

 

где W – ковариационная матрица ошибок модели; S – матрица коэффициентов автокорреляции модели, отличная от единичной; se2=const.

В общем случае матрица S может быть представлена в следующем виде:

 
 


S =

 

где, напомним, что rk – коэффициент автокорреляции рядов ошибки et и et–k, k-го порядка, значение которого рассчитывается для k=1,2,... по формуле:

 

Во втором случае ковариационная матрица ошибки имеет следующий вид:

Сov(e)=W=

 

(3.4)

 

где формально s12¹s22 ¹...¹sТ2, т. е. дисперсия ошибки не постоянна, а se2 – постоянный множитель, lt – переменные коэффициенты, t=1,2,..., Т. Выражение (3.4) характеризует свойство ошибки, известное в эконометрике как гетероскедастичность остатков. Иными словами, ряд ошибки характеризуется нестационарностью второго порядка, т. е. непостоянством второго центрального, а, значит, и начального моментов на интервале (1,Т), в то время как первый момент – математическое ожидание ошибки – принимает на этом интервале постоянное значение, равное нулю.

В эконометрических исследованиях теоретически возможна ситуация, когда оба рассмотренных случая встречаются одновременно, т. е. когда в ряду ошибки имеются автокорреляционные зависимости и ее дисперсия непостоянна.

Третий случай характеризуется нарушением условия (2.23), что означает отличие от нуля ковариации хотя бы одной независимой переменной хi и ошибки модели e или, что то же самое, отличие от нуля их парного коэффициента корреляции, cov(хit, et)¹0,

Нарушение условий (2.21) и (2.22) приводит к тому, что оценки коэффициентов эконометрических моделей, полученные на основе “классических” методов МНК и ММП, теряют некоторые свои “качества”. Прежде всего это относится к свойству эффективности оценок, полученных при ограниченных объемах выборки.

Нарушение условия (2.23), как это следует из выражения (2.10), приводит к потере оценками коэффициентов модели свойства несмещенности. Заметим, что если условия (2.21)–(2.23) не выполняются при Т®¥, то оценки коэффициентов не обладают свойствами асимптотической эффективности и несмещенности (состоятельности).

Такая ситуация, в свою очередь, заставляет эконометриков искать определенные подходы, приемы получения “качественных” оценок параметров эконометрических моделей и при свойствах их ошибок, отличных от тех, которые были определены стандартными условиями (2.21)–(2.23).

Данные подходы и приемы обычно базируются на так называемых обобщенных методах оценивания – обобщенном МНК (ОМНК) и обобщенном ММП (ОММП), на использовании при получении оценок параметров моделей так называемых “инструментальных переменных”. Рассмотрим особенности этих подходов более подробно.

Обобщенные методы оценивания параметров эконометрических моделей

Обобщенный метод наименьших квадратов

Как было показано в разделе 2.1, применение обычного МНК для определения коэффициентов эконометрической модели при условии W¹se2×Е в этом… – оценка вектора параметров модели является случайной величиной, которую можно…  

Обобщенный метод максимального правдоподобия

j(e)=½W e½×e¢Wy–1e]. (3.17)   Используя матрицу Se, выражение (3.17) можно записать и так

Применение обобщенных методов оценивания параметров эконометрических моделей на практике

Эконометрические модели с коррелирующими ошибками

Фактические данные, отражающие зависимость переменной у как линейной функции от переменной х на интервале (1, Х2), помечены “°“. На интервале (1,…   у у= a02 + a12x

Рис. 3.1. Иллюстрация причины возникновения корреляции

Между ошибками эконометрической модели

Причиной появления ошибки явилось не вполне обоснованное предположение о том, что данные на интервалах (1, Х1) и (Х1, Х2) описываются одной и той же… Аналогично, автокорреляция в ряду ошибки может возникнуть, если для описания… На практическом примере несложно убедиться, что коэффициент автокорреляции первого порядка для ошибки линейной модели…

Эконометрические модели с гетероскедастичными ошибками

Гипотеза о гетероскедастичности ошибки модели обычно проверяется с использованием теста, рассмотренного в разделе 2.2.1. В случае ее подтверждения… При таком предположении оценки дисперсий s12,..., sT2 могут быть определены… Справедливость выдвинутой гипотезы о гетероскедастичности ошибки подтверждается (или отвергается) сопоставлением…

Метод инструментальных переменных

Напомним, что в тех случаях, когда некоторые столбцы матрицы значений независимых переменных Х и вектор-столбец ошибки e взаимосвязаны между собой,…   M[a–а]= M[(Х¢Х)–1 Х¢×e]¹0. (3.51)

Вопросы к главе III

1. Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии автокорреляционных связей в ряду ошибки et?

2. Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии гетероскедастичности ошибок?

3. Каковы последствия автокорреляции и гетероскедастичности ошибок?

4. В чем суть обобщенного МНК (ОМНК)?

5. Как определяется ковариационная матрица ОМНК-оценок параметров?

6. Каковы предпосылки обобщенного метода максимального правдоподобия?

7. В чем суть двухшагового МНК Дарбина?

8. В чем суть взвешенного МНК?

9. В чем суть метода инструментальных переменных?

Упражнения к главе III

Задание 3.1

Для обобщенной линейной регрессионной модели

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т)

 

имеется T=10 пар наблюдений, которые представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

хt
yt 6,8 6,9 7,3 7,4 8,6 8,0 8,8 8,0 9,9 10,3

 

Требуется:

1. Определить оценки обобщенного МНК для параметров модели, исходя из того, что имеется “чисто” гетероскедастичная модель с известными дисперсиями ошибки. Они составляют

0,04; если 5,0£ хt <15,0;

0,16; если 15,0£ хt <25,0;

1,00, если 25,0£ хt £40,0.

 

2. Оценить параметры модели классическим МНК. Определить ошибку, которая возникает из-за неправильной спецификации модели.

3. Определить для описанной в п.1 ситуации ковариационную матрицу оценок параметров, полученных обобщенным МНК.

4. Определить ковариационную матрицу оценок параметров, полученных классическим МНК.

 

 

Задание 3.2

Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии. Дисперсии ошибок et (t=1,...,T) обозначим st2.

Tребуется:

1. Показать, что оценки обобщенного МНК для параметров регрессии a0 и a1 рассчитываются следующим образом:

 

 

 

2. Определить ковариационную матрицу вектора оценок, полученного обобщенным МНК.

3. Показать, что в частном случае “чистой” гомоскедастичности вектор оценок, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором оценок, полученным классическим МНК.

 

Задание 3.3

Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т),

 

дисперсия ошибки которой .

Требуется:

1. Определить для этой модели ковариационную матрицу ошибок, а также матрицу Т, с помощью которой модель может быть преобразована в классическую.

2. Перейти к преобразованной модели и определить на ее основе оценки параметров регрессии a0 и a1.

3. Определить оценку параметра s2 для данной модели.

 

Задание 3.4

Имеется линейное однофакторное уравнение регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т),

 

а также 10 пар наблюдений переменных (хt, yt), которые представлены в табл. 3.2

Таблица 3.2

хt 2,0 2,4 11,0 8,0 5,6 6,2 4,5 9,8 8,6 3,8
yt 4,0 5,2 4,5 4,2 4,8 8,0 7,2 12,6 8,5 4,2

 

Требуется:

1. Определить линию регрессии с помощью гетероскедастичной модели из задания 3.3.

2. Определить линию регрессии на основе классической модели.

3. Изобразить обе линии регрессии и фактические данные на диаграмме рассеяния и сравнить их друг с другом.

 

Задание 3.5

Рассмотрим частный случай гетероскедастичной модели однофакторной регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т),

 

для которого выполняется условие (t=1,...,Т). Имеются следующие фактические данные:

хt
yt

 

Требуется:

1. Определить вектор оценок параметров регрессии a с помощью классического МНК.

2. Определить вектор оценок параметров регрессии aA с помощью обобщенного МНК.

3. Определить потерю эффективности, которая возникает из-за применения классического МНК вместо обобщенного.

4. Определить оценку ковариационной матрицы вектора оценок и сравните ее с Соv(a).

 

Задание 3.6

Рассмотрим “чисто” гетероскедастичную однофакторную регрессионную модель

 

сt =a0+ a1 yt +et (t=1,...,Т),

 

где с – потребление домохозяйства определенной структуры, у – доход этого домохозяйства. Ошибки попарно не коррелированы, дисперсия ошибки при доходе от 50 до 100 единиц в 2 раза больше, чем при доходе до 50 единиц. Имеется следующая выборка объемом 9 наблюдений:

 

уt
сt

 

Требуется:

1. Определить ковариационную матрицу ошибки для этой модели.

2. Оценить параметры уравнения с помощью обобщенного МНК.

3. Оценить параметры уравнения при измененном условии: дисперсии ошибки должны быть пропорциональны квадрату дохода. Сравнить результат с соответствующим результатом в п. 2.

 

Задание 3.7

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:

 

 

где yjt – потребление; хjt(1) – заработная плата; хjt(2) – дивиденды домохозяйства j в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии a1 и a2 должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении yjt, а есть только совокупное потребление всех kt домохозяйств, т. е.

 

 

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели a.

2. Показать, что это уравнение является моделью с чистой гетероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки известная с точностью до s2.

3. Определить оценки параметров a1 и a2.

 

Задание 3.8

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:

 

где yjt – потребление домохозяйства j в период t; xt – индекс цен в период t; wjt – число членов и zjt – доход домохозяйства j в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии a1 , a2, a3 и a4 должны оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохозяйств и средние доходы всех домохозяйств, т. е.

 

 

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели a на основе всех имеющихся данных.

2. Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3. Определить вектор оценок параметров a.

 

Задание 3.9

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т)

 

имеется T=20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

хt 5,5 8,5 20,1 24,5 17,0 22,0 19,0 16,0 5,0 13,4
yt 4,5 10,0 18,5 20,0 18,5 25,0 8,5 13,0 7,4 15,6
хt 3,0 6,1 22,2 20,1 8,0 12,0 14,0 19,5 18,0 15,1
yt 5,5 5,2 18,5 18,0 8,0 9,8 12,0 14,8 15,2 12,0

 

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскедастичность.

Требуется:

1. Проанализировать следующий способ проверки на гетероскедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для Т1=5, для Т2=10 и для Т3=15 наблюдений при уровне значимости a=0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

2. Для уровня значимости a=0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.

 

Задание 3.10

Имеется обобщенная регрессионная модель

 

сt =a0+ a1 yt +et (t=1,...,Т),

 

где с – потребление домохозяйства определенной структуры, у – доход этого домохозяйства. Имеется выборка из задачи 3.6. Рассматриваемые домохозяйства разбиваются на две группы: с доходом до 50 единиц и с доходом от 50 до 100 единиц.

Требуется с учетом предположения о нормальном распределении ошибки проверить при уровне значимости a=0,05 нулевую гипотезу, что дисперсия ошибки во второй группе домохозяйств в два раза больше, чем в первой.

Задание 3.10

Имеется линейное уравнение множественной регрессии

 

yt =a0+ a1 х1t +...+an хnt + et (t=1,...,Т),

 

для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр r известен. Для оценивания параметров a0, a1,..., an предлагается провести следующее преобразование: из t-го уравнения вычесть t–1-e уравнение, умноженное на r, t=1,...,Т, т. е. осуществить переход к обобщенным первым разностям.

Требуется:

1. Определить матрицу преобразований Tr, с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.

2. Определить “оптимальные” оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.

3. Определить “оптимальные” оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.

 

Задание 3.11

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т)

 

имеется T=12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

хt 5,0 2,5 1,8 6,8 9,0 3,8 6,5 9,0 1,0 3,5 7,1
yt 5,0 4,8 3,1 8,2 8,6 5,5 6,5 11,1 2,1 4,5 8,9 11,8

 

Для ошибки уравнения et выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка с известными значениями r=–0,4 и se2 =1.

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения a0 и a1 с помощью обобщенного МНК.

2. Оценить параметры уравнения a0 и a1 с помощью модифицированного уравнения из задачи 3.10.

3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценивания из п. 2 по сравнению с “оптимальными” оценками из п. 1.

Задание 3.12

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т)

 

имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

хt 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
yt 0,019 0,019 0,027 0,051 0,093 0,136 0,171 0,198 0,267
хt 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95
yt 0,314 0,365 0,396 0,482 0,569 0,627 0,710 9,835 0,913

 

Для ошибки уравнения et выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка.

Требуется:

1. Определить оценку r параметра авторегрессии ошибки.

2. Определить с использованием полученной в п. 1 оценки параметра авторегрессии первый вектор оценок параметров a0 и a1.

3. Рассчитать с использованием полученного в п.2 результата новую оценку r¢ и определить с ее помощью новый вектор оценок обоих параметров регрессии.

4. Определить следующую оценку r¢¢ и сравнить оценки r, r¢ и r¢¢ друг с другом.

 

Задание 3.13

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 хt +et (t=1,...,Т)

 

имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5 (см. задание 3.12).

Требуется:

1. Проверить при уровне значимости a=0,10 гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка у ошибок et.

2. Проверить при уровне значимости a=0,05 гипотезу о наличие негативной автокорреляции ошибок линейного регрессионного уравнения с тремя экзогенными переменными, если для 20 наблюдений получены следующие остатки: 0,8; –1,2; 0,0; –0,6; 1,1; 0,9; 0,2; 0,4; –0,6; 0,1; –0,7; 1,4; 1,0; 1,5; –0,8; 0,2; –1,4; 0,3; 0,8; –1.

 

 

ГЛАВА IV. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

В данной главе будут рассмотрены некоторые приемы и методы оценки коэффициентов эконометрической модели в условиях сильной корреляционной зависимости (мультиколлинеарности) между объясняющими переменными.

Как было отмечено в разделе 2.1, существование сильной линейной зависимости между переменными, входящими в правую часть эконометрической модели и характеризующейся близостью значений коэффициентов парной корреляции ряда столбцов матрицы Х к единице, вызывает целый ряд проблем при оценке коэффициентов этой модели.

Во-первых, это явление делает матрицу X¢X плохо обусловленной (ее детерминант становится близким, а в пределе равным нулю), и в этом случае МНК и ММП как методы оценки коэффициентов модели не могут быть использованы*. Во-вторых, плохая обусловленность матрицы X¢X своим следствием, как правило, имеет ухудшение точности оценок коэффициентов модели, рост их дисперсий. В-третьих, оценки коэффициентов модели становятся чрезвычайно чувствительными к незначительным изменениям исходных данных (значений элементов вектора у и матрицы X), а также к ошибкам округлений числовых данных расчетов, неизбежным при обращении матрицы X¢X. Иными словами, незначительные изменения в исходных данных или округления результатов промежуточных расчетов вызывают резкие скачки в значениях оценок. Это говорит о неустойчивости оценок параметров моделей по отношению к исходным данным, о низкой обоснованности построенного варианта эконометрической модели, о ее неадекватности описываемому ею процессу.

Вместе с тем, на практике решать проблему мультиколлинеарности путем исключения части взаимосвязанных между собой независимых переменных часто бывает нецелесообразно, поскольку, например, их взаимосвязь может отражать явление ложной корреляции, а не вытекать из содержания отображаемых ими явлений. При этом каждая из этих переменных может быть чрезвычайно важна для выражения закономерностей развития независимой переменной.

Невозможность использования «классических» подходов при построении эконометрических моделей в условиях плохой обратимости матрицы (X¢X) обусловливает необходимость применения при оценке их параметров специальных процедур и методов, которые позволяют снизить отрицательное влияние высокой корреляции между объясняющими переменными на точность и достоверность получаемых оценок.

Рекуррентные методы оценки параметров эконометрических моделей

Рассмотрим рекуррентные методы оценивания параметров эконометрических моделей более детально. Предположим, что существуют оценки коэффициентов эконометрической модели,… Заметим, что эти оценки с учетом результирующего выражения МНК at=(Xt¢X t)–1Xt¢уt можно представить в виде…

Метод главных компонент

Вместе с тем, вычислительные преимущества метода главных компонент достаточно очевидны, что обусловливает его популярность в эконометрических… Основная идея метода главных компонент состоит в замене объясняющих переменных…  

Рис.4.1. График изменения кумулятивной

Изменчивости главных компонент.

На рис. 4.1 изображен вариант изменения кумулятивной изменчивости главных компонент. Из графика непосредственно видно, что первые четыре компоненты… В том случае, если ½½= 0, матрица имеет ранг r<n, у нас… Отобрав существенные главные компоненты можно приступить к построению эконометрической модели, в которой они выступают…

Методы оценки коэффициентов моделей с лаговыми независимыми переменными

Общий вид линейной эконометрической модели с лаговыми независимыми переменными может быть представлен следующим уравнением:  

Вопросы к главе IV

1. Опишите процедуру оценки параметров экономерической модели с помощью рекуррентных методов?

2. В чем метода главных компонент?

3. Каковы проблемы использования моделей с главными компонентами?

4. В чем суть метода Ширли Алмон?

Упражнения к главе IV

Задание 4.1

Для линейного двухфакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 х1t + a2 х2t +et (t=1,...,Т)

 

имеется следующая таблица данных:

х1t
х2t
yt

 

Требуется:

1. Определить коэффициент корреляции r12 и матрицу (X*¢X*)–1.

2. Провести следующее преобразование факторов: u1t = х1t и u2t= х1t х2t и определить коэффициент корреляции r12(u) , также матрицу (U*¢U*)-1.

3. Показать, что с точки зрения прогнозирования исходное и преобразованное уравнение эквивалентны, т. е. для каждой пары значений экзогенных переменных (х10, х20) дают одинаковые точечные и интервальные прогнозы математического ожидания.

 

Задание 4.2

Имеется линейное двухфакторное уравнение регрессии

 

yt =a0+ a1 х1t + a2 х2t +et (t=1,...,Т).

Требуется:

1. Рассмотреть в общем виде трендовое выравнивание как метод устранения коллинеарности.

2. Показать, что при трендовом выравнивании оценки параметров регрессии остаются неизменными.

 

Задание 4.3

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 х1t + a2 х2t + a3 х3t +et (t=1,...,Т),

 

имеются следующие данные:

х1t 10,3 14,6 11,4 17,1 10,6
х2t 20,8 28,0 23,0 30,5 21,7
х3t 4,1 20,3 9,8 8,1 17,7
yt 40,0 80,0 55,0 58,0 70,0

 

Требуется:

1. Определить корреляционную матрицу R и содержащийся в этих данных размер коллинеарности как det(R).

2. Рассчитать размер коллинеарности, в случае если из уравнения выводится переменная х2.

3. Учесть дополнительную внешнюю информацию, что a1=1,5a2 и определить размер коллинеарности в этом случае.

4. Построить точечный прогноз математического ожидания целевой переменной у0 для значений экзогенных переменных (х10, х20, х30)¢=(8,0; 16,0; 6,0)¢

а) при использовании исходного уравнения;

б) при отбрасывании из уравнения экзогенной переменной х2;

в) при использовании внешней информации из п.3.

 

Задание 4.4

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 х1t + a2 х2t + a3 х3t +et (t=1,...,Т),

 

имеются данные из задания 4.3.

Требуется:

1. Определить гребневые оценки параметров для гребневой константы, равной 0,5 и 0,8.

2. Построить точечный прогноз математического ожидания целевой переменной у0 для значений экзогенных переменных (х10, х20, х30)¢=(8,0; 16,0; 6,0)¢ по обоим оцененным уравнениям.

Задание 4.5

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

 

yt =a0+ a1 х1t + a2 х2t + a3 х3t +et (t=1,...,Т),

 

имеются данные из задания 4.3.

Требуется:

1. Оценить уравнение с помощью метода главных компонент, если известно, что первые две главные компоненты учитывают 98,97% изменчивости матрицы факторов и формируются следующим образом:

 

 

2. Построить точечный прогноз математического ожидания целевой переменной у0 для значений экзогенных переменных (х10, х20, х30)¢=(8,0; 16,0; 6,0)¢

Задание 4.6

Для линейного уравнения с лаговыми независимыми переменными

yt =a0 хt + a1 хt1 + a2 хt2 +... +et (t=1,...,Т)

 

имеются следующие данные (см. табл. 4.1).

Таблица 4.1

хt
yt
хt
yt

 

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения с помощью метода Ш. Алмон, если максимальный лаг равен 5, а порядок аппроксимирующего многочлена – 3.

2. Построить ретроспективный точечный прогноз целевой переменной yt.


ГЛАВА V. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛЕЙ С ЛАГОВЫМИ ЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Проблемы построения моделей с лаговыми зависимыми переменными

   

Основные подходы к оценке коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные

Вариант 1. Ошибка модели et по своим свойствам является стационарным процессом второго порядка с нулевым математическим ожиданием, постоянной… Как следует из раздела 2.1, это предположение позволяет использовать для… Смещенность оценок может иметь место даже при единственной лаговой переменной уt–1. Причем в малых выборках, т.е. при…

Особенности использования инструментальных переменных в оценках параметров моделей

  уt=ft (z)+x t, (5.29)  

Вопросы к главе V

1. Какие проблемы возникают при построении моделей с лаговыми переменными?

2. Что представляет собой модель Койка?

3. Перечислите основные подходы к оценке коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные?

4. Каковы особенности использования инструментальных переменных в оценках параметров моделей?

Упражнения к главе V

Задание 5.1

Имеется модель с лаговыми эндогенными переменными.

Требуется:

1. Представить модель в общем виде в матричной форме записи

у=Х×a+e

 

и пояснить специфику матрицы Х.

2. Выяснить, какими свойствами должен обладать вектор оценок параметров a

 

 

Исходить из гомоскедастичности и отсутствия автокорреляции ошибок.

3. Дать 3 модели с лаговыми переменными, объясняющие потребление домашних хозяйств. В качестве экзогенной переменной использовать доход.

 

Задание 5.2

Имеется модель Койка

 

 

как частный случай модели с распределенными лагами.

Требуется:

1. Показать, что это уравнение является моделью с лаговыми эндогенными переменными.

2. Показать распределение лагов для g=0,5 и g=0,8.

3. Определить средний лаг.

 

Задание 5.3

Имеется следующая модель с распределенными лагами:

 

 

где et ~(0, s2).

Требуется:

1. Определить коэффициенты реакции yt на xt–j–1 для первых трех периодов.

2. Определить веса отдельных хt–j-1 для j=0,...,2 в распределении лагов.

3. Преобразовать модель в уравнение с конечным числом переменных.

 

Задание 5.4

Связь между ВНП и денежной массой исследуется с помощью следующей модели:

 

 

Установлено, что et не коррелированны и гомоскедастичны. Получены оценки a=0,3 и b=0,7.

Требуется:

1. Представить исходную модель в виде геометрической модели с распределенными лагами.

2. Определить реакцию дохода в году t0+3, если денежная масса в году t0 увеличилась на 1 единицу.

ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Стационарные временные ряды

Изменения значений уt во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием каких-либо причин, факторов. Однако в силу их многочисленности,… Модели временных рядов активно применяются в исследованиях динамики… Самое широкое применение модели временных рядов нашли в исследованиях финансовых рынков, в анализе динамики финансовых…

Параметрические тесты стационарности

Тестирование математического ожидания. Общий тест процедуры проверки гипотезы о постоянстве математического ожидания… Для каждой из частей определяются оценки и , и – выборочных математического ожидания и дисперсии переменной уt…

Непараметрические тесты стационарности

Вследствие этого на практике при проверке свойств стационарности процессов часто используются непараметрические критерии, которые не имеют подобных… Тест Манна-Уитни (тестирование математического ожидания). В частности, вместо критерия Стьюдента может быть использован непараметрический критерий Манна-Уитни (критерий и*). Он…

Преобразование нестационарных временных рядов в стационарные

Примерами таких преобразований являются: а) взятие конечных разностей  

Рис. 6.1

 

Вопросы их построения рассмотрены в последующих разделах данной главы.

Модели авторегрессии

Использование моделей авторегрессии при моделировании закономерностей реального стационарного процесса второго порядка, допускающего представление в виде дискретного временного ряда его значений, основано на предположении о том, что текущее значение такого процесса может быть выражено в виде линейной комбинации некоторого количества предыдущих его значений и случайной ошибки, обладающей свойствами белого шума.

Общий вид модели авторегрессии k-го порядка – АР(k) может быть выражен следующим уравнением:

 

 

где уt, уti, i=1,2,... , k – значения переменной у в соответствующие моменты времени; k – порядок модели; a1,..., ak – коэффициенты модели; et – случайная ошибка с нулевым математическим ожиданием, конечной дисперсией и единичной автокорреляционной матрицей, свидетельствующей об отсутствии автокорреляционной связи между рядами ошибки et, et–1,..., et–i,..., т. е. et ~N(0, se2 ), Cov(e)=se2 ×E.

Построение модели АР(k) типа (6.45), адекватной реальному временному ряду уt, t=1,2,..., Т, предполагает решение двух взаимосвязанных задач: определения рационального порядка модели (величины k) и оценки значений ее коэффициентов. Рассмотрим сначала общие подходы к оценке параметров модели типа (6.45).

Без ограничения общности будем предполагать, что математическое ожидание ряда уt равно нулю, т. е. M[уt ]=0. В противном случае вместо переменной уt в выражении (6.45) можно рассмотреть центрированную переменную , , где – оценка M[уt ]. Легко видеть, что M[] = 0.

Из выражения (6.45) непосредственно следует, что параметры модели a1,..., ak могут быть выражены через коэффициенты автокорреляции. Чтобы показать это, умножим выражение (6.36) под знаком математического ожидания на переменную уt–i, i=1,2,..., k. Получим

 

 

где M[уt-i, уt--j] – математическое ожидание произведения двух центрированных переменных уt–i, уt–j, представляющих собой их ковариацию gr, на практике оцениваемую по формуле

 

где r=i–j , i ³ j.

В результате для i=1,2,..., k вместо (6.46) можно записать

 

 

Выражение (6.48) получено в предположении, что M[уt-i, et]=0 при i>0, так как et – случайная величина со свойствами “белого шума”, не имеющая корреляционной связи с предшествующими моменту t значениями рассматриваемого процесса уt. Разделив левую и правую части выражения (6.48) на дисперсию процесса уt sу2=g 0, получим следующее выражение:

 

 

которое связывает коэффициенты автокорреляции процесса уt и коэффициенты модели АР(k).

Подставив в (6.49) вместо истинных значений коэффициентов автокорреляции ri процесса уt их выборочные оценки r1, r2,..., последовательно для i=1,2,..., k, получим следующую систему линейных уравнений:

 

 

в которой известными являются оценки коэффициентов автокорреляции r1, r2,..., rk, а неизвестными – оценки коэффициентов модели АР(k) a1 , a2 ,..., ak.

Систему (6.50) называют уравнениями Юла-Уокера, а полученные на ее основе значения a1, a2,..., ak – оценками коэффициентов модели авторегрессии АР(k) Юла-Уокера. Напомним, что эти оценки могут быть получены, например, с использованием определителей, либо на основе векторно-матричной формы записи системы (6.50).

На основе определителей оценки Юла-Уокера получают в следующем виде:

 

где D – определитель системы (6.41).

 

 

Di – определитель, получаемый из определителя D путем замены его i-го столбца на столбец, состоящий из коэффициентов автокорреляции, образующих левую часть системы (6.50) – r1, r2,..., rk.

В векторно-матричной форме записи систему (6.50) можно переписать в следующем виде:

 

r = R×a, (6.53)

 

где r – вектор-столбец известных оценок коэффициентов автокорреляции с первого по k-й включительно, r=(r1, r2, ..., rk)¢; a – вектор-столбец неизвестных оценок параметров модели, a=(a1, a2,..., ak)¢; R – матрица, составленная из оценок коэффициентов автокорреляции, определитель которой выражен формулой (6.52).

Непосредственно из выражения (6.53) вытекает, что неизвестные оценки коэффициентов модели авторегрессии определяются как

a = R–1×r. (6.54)

 

Теоретически оценки Юла-Уокера должны обладать свойствами несмещенности и эффективности. Однако, на практике, в моделях авторегрессии большого порядка эти свойства могут не подтверждаться. Особенно это относится к свойству несмещенности. Как и в моделях с лаговыми зависимыми переменными, смещенность в оценках коэффициентов моделей авторегрессии может быть обусловлена существующей зависимостью между сдвинутыми рядами рассматриваемой переменной уt–1, уt–2 и ошибкой et. Этой возможной зависимостью при построении системы уравнений Юла-Уокера обычно пренебрегают, полагая et белым шумом.

Неэффективность оценок может быть вызвана плохой обусловленностью матрицы R, что, как правило, является свидетельством зависимости уже между рядами уt–1, уt–2,... .

Вместе с тем, при небольших порядках модели (k =1,2,3) оценки Юла-Уокера обычно являются достаточно “хорошими”. В крайнем случае их можно рассматривать как первое приближение к “оптимальным” оценкам, которые могут быть получены путем уточнения оценок Юла-Уокера на основе использования более мощных методов оценивания, например, нелинейных.

Качество оценок Юла-Уокера может быть проверено путем исследования свойств ряда ошибки et, t=1,2,..., Т. Если ее свойства близки к характеристикам “белого шума”, то оценки Юла-Уокера можно считать “достаточно хорошими”. Об этом, в частности, может свидетельствовать критерий Дарбина-Уотсона, значение которого должно лежать примерно в интервале от 1 до 3 (см. раздел 1.4).

Для этих целей могут использоваться и другие мощные критерии, например, Бартлетта, Тейла.

Обоснование целесообразности применения моделей авторегрессии. Целесообразность использования моделей авторегрессии в анализе закономерностей временного ряда обычно устанавливается на основе сопоставления двух дисперсий – дисперсии исходного процесса sу2 и дисперсии ошибки модели se2. Для того чтобы выявить взаимосвязь между двумя этими характеристиками положим, что в формуле (6.48) i=0. Тогда это выражение можно переписать в следующем виде:

 

 

где g0=sу2, gi i-й коэффициент автоковариации.

Последнее слагаемое в правой части выражения (6.55) получено путем замены в выражении (6.46) в произведении M[yt××et] переменной yt на ее модель (6.45). Поскольку ряды уt–1,..., уt–k и et являются независимыми, то это произведение оказывается равным se2. Далее, поскольку gi =ri×g0, то выразив все gi, i=1,2,..., k через g0 и перенеся слагаемые с g0 в левую часть, из выражения (6.55) получим

 

 

Подставив в (6.56) вместо ri значения оценок коэффициентов автокорреляции ri и вместо параметров модели ai их оценки аi, i=1,2,... , k, найдем величину соотношение между дисперсией процесса sу2 и дисперсией ошибки описывающей этот модели авторегрессии (белого шума) se2.

 

 

Модель авторегрессии считается “достаточно хорошей”, если sу2>>se2, т. е. когда дисперсия ошибки модели много меньше дисперсии процесса. В этом случае использование модели при описании процесса yt позволяет значительно снизить его неопределенность, выражаемую через дисперсию sу2. Здесь также следует отметить, что в моделях временных ярдов нельзя ожидать значительного уменьшения дисперсии ошибки se2 по сравнению с дисперсией процесса sу2, как это имело место в моделях “классической” эконометрики, где отношение sу2/se2 нередко превосходит несколько десятков.

Чтобы показать это, рассмотрим свойства наиболее часто используемых в практике финансовых исследований моделей авторегрессии первого и второго порядков.

Модели АР(1) и АР(2).

Модель авторегрессии первого порядка АР(1) записывается в следующем виде:

 

Легко видеть, что система Юла-Уокера в этом случае сводится к одному уравнению, непосредственно определяющему оценку a1 коэффициента a1

a1=r1. (6.59)

 

Из выражения (6.57) вытекает, что

 

 

Поскольку ½r1½<1, то из (6.60) следует, что, например, при r1=0,9 se2»0,2×sу2. Это означает, что использование расчетных значений процесса yt, определяемых по формуле вместо среднего значения временного ряда позволит повысить точность предсказания его значений в пять раз (если в качестве меры точности рассматривать показатель дисперсии). В этом случае соотношение между среднеквадратическими ошибками sу и se составит примерно 2,3. Из выражения (6.60) легко также видеть, что с ростом абсолютного значения r1 точность описания процесса yt моделью авторегрессии первого порядка увеличивается, а с его снижением – падает.

Модель авторегрессии второго порядка – АР(2) представляется в виде следующего уравнения:

 

 

Система уравнений Юла-Уокера в этом случае состоит из двух уравнений

 

Выразив a1 и a2 через коэффициенты автокорреляции с использованием, например, метода определителей (6.51), получим

 

Из выражения (6.57) непосредственно вытекает, что в этом случае соотношение между дисперсиями исходного процесса yt и ошибкой модели et определяется следующим выражением:

 

 

На практике и в случае АР(2) соотношение между sу2 и se2 обычно не превосходит 5:1. В этом смысле следует отметить, что по сравнению с эконометрическими моделями, где это соотношение достигает 50 к 1 и даже 100 к 1, модели авторегрессии, на первый взгляд, не обладают высокой точностью описания рассматриваемых процессов. Однако не следует забывать, что в “классической” эконометрике зависимая переменная yt не обладает свойством стационарности и она характеризуется гораздо большей изменчивостью (и, как следствие, дисперсией) по сравнению со стационарным временным рядом. Поэтому адекватные рассматриваемому процессу многофакторные эконометрические модели могут значительно уменьшить остаточную изменчивость (дисперсию ошибки) по сравнению с исходной (дисперсией процесса), но при этом изменчивость ошибки может оставаться относительно большой.

Модели же авторегрессии, как и другие модели стационарных временных рядов, как бы уточняют” исходный процесс yt, как правило, благодаря свойству стационарности не отличающийся значительной изменчивостью. Вследствие этого у этих моделей имеется лишь незначительный резерв для уменьшения исходной дисперсии sу2 по сравнению с многофакторными эконометрическими моделями, описывающими нестационарные процессы.

Автокорреляционная функция моделей авторегрессии.

По аналогии с реальными стационарными процессами, автокорреляционные функции могут быть сформированы и для их теоретических аналогов – моделей авторегрессии. Заметим, что значения коэффициентов автокорреляции модели k-го порядка связаны между собой соотношением (6.49). Несложно заметить, что для модели авторегрессии первого порядка это соотношение приводит к следующей зависимости между коэффициентами автокорреляции:

 

 

В самом деле, из выражения (6.58)) для i=2 имеем r2=a1r1 и, учитывая, что a1=r1, получим r2=r12, аналогично, для i=3 имеем r3=a1r2=r13 и т.д. Если учесть, что ôr1ô<1, то нетрудно заметить, что модули значений коэффициентов автокорреляции модели АР(1) авторегрессии уменьшаются по экспоненте с ростом сдвига i.

Можно показать, что поскольку модель авторегрессии второго порядка является стационарным процессом, то ее автокорреляционная функция представляет собой либо затухающую экспоненту, либо затухающую синусоиду. В первом случае абсолютные значения коэффициентов автокорреляции ri с ростом i уменьшаются согласно следующей зависимости:

 

 

где d – положительный коэффициент экспоненциальной зависимости, отличный от единицы, d ¹1.

Заметим, что для модели АР(1) этот коэффициент равен единице (см. выражение (6.65)).

Во втором случае значения коэффициентов ri аппроксимируются функцией следующего вида:

 

 

где f и F – параметры синусоиды (частота и фаза соответственно), рассчитываемые на основе значений коэффициентов модели. В частности,

если a1 >0 и если a1 <0.

Модели скользящего среднего

   

Модели авторегрессии-скользящего среднего

Общий вид модели авторегрессии-скользящего среднего – АРСС(k, т) определяется следующим уравнением:

 

 

где a1,..., ak, b1,... , bm – коэффициенты модели; k – порядок авторегрессии; т – порядок скользящего среднего.

Заметим, что модель (6.87) может быть преобразована либо в модель авторегрессии АР(k)

 

 

где ошибка xt удовлетворяет свойствам процесса скользящего среднего порядка т; либо в модель скользящего среднего – СС(т) путем выражения переменных уt–i через линейные комбинации ошибок.

 

и дальнейшего приведения подобных членов после раскрытия скобок.

Для этих модификаций модели (6.87) рассмотрим свойства ее автокорреляционной функции и возможные подходы к оценке ее параметров. Заметим, что при сдвигах, превышающих по своей величине порядок скользящего среднего т, т. е. при i>т, коэффициенты автоковариации модели АРСС(k, т), определяемой выражением (6.87), не зависят от ошибок модели. В самом деле,

 

Если i>т, то в силу свойств белого шума все математические ожидания произведений ошибок et–j и et–i–j , j< т, оказываются равными нулю, т.е. M[et-j ; et-i-j ]=0, i=т+1, т+2,...; j=1, 2,..., т.

В этом случае, т. е. при i>т, значения коэффициентов автоковариации модели АРСС(k, т) удовлетворяют свойствам этих коэффициентов, характерным для модели авторегрессии k-го порядка АР(k):

 

 

Из выражения (6.91) непосредственно вытекает, что неизвестные значения коэффициентов a1,..., ak в этом случае могут быть оценены из модификации системы уравнений Юла-Уокера, имеющей в данном случае следующий вид:

 

 

где, напоминаем ri = r–i и r0 º1.

С использованием найденных из системы (6.92) значений оценок коэффициентов a1,..., ak на основании выражения (6.88) сформируем процесс скользящего среднего т-го порядка – СС(т)

 

 

где ut – фактическая ошибка, являющаяся оценкой ошибки xt. Значения ошибки ut получают путем подстановки в выражение (6.88) вместо неизвестны параметров a1,..., ak их оценок a1,..., ak, определенных из системы (6.92). et – фактическая ошибка, значение которой используется вместо истинной ошибки et при оценке коэффициентов скользящего среднего. Для определения оценок b1,... , bm коэффициентов скользящего среднего применяются нелинейные методы оценивания, предполагающие решение системы нелинейных уравнений типа (6.75).

Рассмотрим наиболее “популярную” модификацию моделей авторегрессии-скользящего среднего АРСС(1,1). Эта широко используемая в практике эконометрических исследований модель может быть выражена следующей формулой:

 

 

Для определения дисперсии этой модели умножим под знаком математического ожидания левую и правую части выражения (6.94) на уt. В результате получим

 

 

При выводе выражения (6.95) учтено, что в силу свойств процесса “белого шума” et .

Далее, умножив под знаком математического ожидания левую и правую части выражения (6.94) на et–1, получим

 

 

поскольку

Аналогично, первый коэффициент автоковариации процесса уt получим, умножив под знаком математического ожидания левую и правую части уравнения (6.94) на уt–1. С учетом того, что и в силу свойств белого шума et, получим, что

 

 

Из выражений (6.95)–(6.97) непосредственно вытекает, что дисперсия sу2 процесса уt, описываемого моделью АРСС(1,1), его первый коэффициент автоковариации g1 и дисперсия ошибки et оказываются связанными следующими соотношениями:

 

 

а коэффициенты автоковариаций более высоких порядков (как следует из выражений (6.91) и (6.92)) – соотношениями вида:

 

 

Из соотношения (6.98) несложно получить выражение, определяющее значение первого коэффициента автокорреляции процесса АРСС(1,1)

 

 

Значения коэффициентов автокорреляции более высоких порядков связаны соотношением аналогичным (6.99)

Таким образом, значения коэффициентов автокорреляции модели АРСС(1,1) подчиняется экспоненциальному закону

 

где

Идентификация моделей авторегрессии-скользящего среднего

Из рассмотренного в данной главе материала вытекает, что произвольный реальный стационарный процесс второго порядка может быть выражен разными вариантами моделей временных рядов. Чтобы показать это, запишем, например, модель АР(1) в более компактном виде с использованием оператора сдвига назад В. Его воздействие на любую переменную, зависящую от времени, определяется следующими соотношениями:

 

 

С учетом (6.102) модель АР(1) можно представить в следующей форме записи:

 

Поскольку ïa1ï<1, то является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

 

 

С учетом (6.104) модель (6.103) запишем в следующем виде:

 

 

где в данном случае a1 =–b1 , a12=–b2,... .

Из выражения (6.105) следует, что модель авторегрессии первого порядка оказывается эквивалентной модели скользящего среднего бесконечного порядка. Аналогичным образом можно показать и обратное соотношение между порядками этих моделей. Так, для модели СС(1) имеем

 

 

Поскольку ïb1ï<1(из условия стационарности процесса уt ), то из выражения (6.106) получим

 

 

где в данном случае a1=–b1, a2=–b12,... – коэффициенты модели авторегрессии бесконечного порядка.

В общем случае модель авторегрессии k-го порядка оказывается эквивалентной модели скользящего среднего т-го порядка

где многочлен т-й степени – результат деления единицы на многочлен k-й степени.

Из рассмотренных соотношений вытекает важный вывод: на практике можно подобрать модель с минимальным числом параметров, которая описывает временной ряд уt, являющийся стационарным процессом второго порядка, не “хуже”, чем другие варианты моделей с большим числом параметров. Обычно понятие “не хуже” связывается с минимальной дисперсией модели и отсутствием автокорреляции в ряду ее ошибки.

Практическая ценность этого вывода состоит в следующем. При построении моделей временных рядов нужно стремиться к минимизации числа их параметров, а, следовательно, и порядка самой модели. Дело в том, что параметры таких моделей оцениваются на основе коэффициентов автокорреляции исходного процесса уt. С увеличением порядка модели для определения значений ее параметров необходимо использовать в качестве исходных данных и большее число выборочных коэффициентов автокорреляции (с большими номерами). Точность их оценки с ростом сдвига падает, да и их абсолютные значения либо стремятся к нулю, либо попадают в область повышенной неопределенности их значений. Все это снижает надежность оценок коэффициентов моделей временных рядов высоких порядков, как и качество самих моделей. Все это и заставляет эконометриков искать для описания реальных процессов модели временных рядов с минимальным числом параметров.

Процесс выбора модели, в наилучшей степени соответствующей рассматриваемому реальному процессу, называется идентификацией модели. В нашем случае идентификация состоит в определении общего вида модели из класса моделей АРСС(k, т), характеризующейся наименьшим числом параметров (минимальным порядком) по сравнению с другими возможными вариантами, без потерь в точности описания исходного процесса.

Вообще говоря, идентификация – это достаточно грубая процедура (последовательность процедур), целью которой является определение некоторой области приемлемых значений характеристик порядка k и т модели АРСС(k, т), которая в ходе дальнейших исследований должна быть сведена к конкретным их величинам.

Обычно в этой части идентификация сопровождается процедурами оценки параметров альтернативных вариантов моделей и выбора наилучшего из них, на основе использования критериев качества.

Таким образом, в общем случае формирование модели, в наилучшей степени подходящей для описания реального процесса, как бы состоит из трех пересекающихся и дополняющих друг друга этапов – идентификации, оценивания и диагностики (согласования модели с исходными данными с целью выявления ее недостатков и последующего улучшения).

Для проведения идентификации модели АРСС(k, т) обычно используется тот же временной процесс уt, который в нашем случае обладает свойством стационарности второго порядка. Общая идея идентификации модели АРСС(k, т) состоит в том, что свойства реального процесса и свойства наилучшей модели в некоторой степени должны быть близки друг к другу.

Эта близость, как это было показано ранее, практически целиком определяется на основе сопоставления поведения их автокорреляционных функций: теоретической – для модели и эмпирической – для реального процесса, выборочные коэффициенты автокорреляции которого оценены на основе наблюдаемых данных. Здесь следует отметить, что, поскольку выборочные коэффициенты автокорреляции могут характеризоваться достаточно большими ошибками и, кроме того, сильными корреляционными взаимосвязями между собой (см. выражения (6.22)–(6.24)), то на практике точного сходства между “теоретической” и “эмпирической” автокорреляционными функциями ожидать не следует, особенно при больших сдвигах. Например, вследствие статистической взаимосвязи между коэффициентами автокорреляции процесса относительно значимые уровни выборочных коэффициентов автокорреляции (всплески) могут иметь место и в областях сдвигов, где их теоретические аналоги близки к нулю. Поэтому при сопоставлении теоретических и выборочных автокорреляционых функций обычно учитывают лишь их главные свойства. Именно их совпадение позволяет значительно сузить круг приемлемых для описания реального процесса вариантов модели. Окончательный выбор в пользу одной из них обычно делается по результатам оценивания значений коэффициентов моделей и диагностики моделей.

Отметим наиболее характерные свойства автокорреляционных функций типовых моделей АРСС(k, т), рассмотренных в данной главе.

Как следует из выражения (6.65), автокорреляционная функция модели авторегрессии первого порядка – АР(1) спадает строго по экспоненте (точнее этот вывод справедлив для абсолютных значений коэффициентов автокорреляции). Плавный характер уменьшения коэффициентов автокорреляции характерен и для моделей авторегрессии более высоких порядков. В одном случае спад происходит либо чуть быстрее, чем строго по экспоненте, либо чуть медленнее, а в другом – по закономерности, соответствующей затухающей синусоиде.

Чрезвычайно важная информация о порядке модели авторегрессии содержится в так называемой частной автокорреляционной функции.

Для процесса, описываемого моделью АР(k), ее значениями являются последние значения коэффициентов моделей авторегрессии порядков, не превосходящих k, т. е. моделей с порядками i=1,2,..., k–1, k. Обозначим значения частной автокорреляционной функции модели АР(k) через pk1, pk2,..., pkk.

Тогда для модели АР(k) значение pk1 равно r1 и на практике определяется как оценка коэффициента a1 модели АР(1) по формуле

 

 

значение (см. выражение (6.63)) – как коэффициент a2 модели АР(2). На практике значение pk2, таким образом, определяется по формуле

 

и оценка любого коэффициента определяется как оценка коэффициента ai модели АР(i) по формуле

 

Можно показать, что для модели АР(k) значения частной автокорреляционной функции являются значимыми (отличными от нуля) до задержки k включительно, т. е. pki >0, i£k и равными нулю при сдвигах, превышающих порядок модели, т. е. pki =0, i>k. На практике этот результат следует понимать в “статистическом смысле”, поскольку оценки значений коэффициентов частной автокорреляционной функции определяются на основании выборочных значений коэффициентов автокорреляции и, поэтому сами являются случайными величинами, характеризующимися определенной ошибкой. Для оценок коэффициентов частной автокорреляционной функции, порядок которых превышает порядок модели, дисперсия ошибки приблизительно может быть оценена по следующей формуле:

 

 

где i >k; Т – объем динамического ряда показателя уt.

Таким образом, поведение частной автокорреляционной функции моделей авторегрессии аналогично поведению автокорреляционных функций моделей скользящего среднего. Для модели АР(k) ее частная автокорреляционная функция “обрывается” после задержки k, как это имело бы место у автокорреляционной функции модели СС(k). Это свойство частной автокорреляционной функции удобно использовать при идентификации моделей авторегрессии. Если значения такой функции, рассчитанной для реального процесса, обрываются (становятся нулевыми), начиная со сдвига k+1, то это указывает на то, что модель авторегрессии k-го порядка соответствуют свойствам рассматриваемого процесса.

Как вытекает из выражения (6.75) теоретическая автокорреляционная функция модели СС(т) обрывается после задержки т. Поэтому, если автокорреляционная функция реального процесса обладает аналогичными свойствами, то это указывает на то, что для его описания целесообразно использовать модель скользящего среднего соответствующего порядка. Иными словами, если у процесса уt оказался значимым только первый коэффициент автокорреляции r1 и при этом, в соответствии с выражением (6.82) r1£0,5, то данный факт указывает на целесообразность выбора для его описания модели СС(1). Если “обрыв” имеет место после второго сдвига – то модель СС(2) и т.д.

Точно также как и для моделей авторегрессии частные автокорреляционные функции могут быть построены и для моделей скользящего среднего любых порядков. Для оценки их коэффициентов используются выражения (6.109)–(6.111). При этом с учетом того, что для модели СС(1) первый коэффициент автокорреляции r1 и параметр модели b1 связаны соотношением r1=–b1 (1+b12) (см. (6.78)), то для i=2, 3,... с учетом того, что r2=r3=...=0, можно показать, что значения частных коэффициентов автокорреляции этой модели определяются по следующей формуле:

 

 

Из (6.113) непосредственно вытекает, что

 

 

откуда следует, что частная автокорреляционная функция модели СС(1) (т. е. абсолютные значения ее частных коэффициентов автокорреляции) затухает по закону близкому к экспоненциальному. Иными словами, ее поведение похоже на автокорреляционную функцию модели АР(1).

Можно показать, что аналогичное соответствие свойств характерно для частной автокорреляционной функции модели СС(2) и автокорреляционной функции модели АР(2). Они представляют собой либо плавно спадающие с ростом сдвига зависимости экспоненциального типа, либо затухающие синусоиды. Такое соответствие автокорреляционных и частных автокорреляционных функций характерно и для моделей авторегрессии и скользящего среднего более высоких порядков.

Для моделей АРСС(k, т) поведение автокорреляционной функции после задержки т похоже на поведение автокорреляционной функции модели АР(k). Однако на практике обычно используется модель АРСС(1,1), т. е. только первого порядка. Как было показано выше, 6.4 (см. выражения (6.103)–(6.108)), это связано с тем, что составляющая модели, относящаяся к авторегрессии первого порядка поглощает все процессы скользящего среднего более высоких порядков, и, наоборот, составляющая скользящего среднего первого порядка поглощает процессы авторегрессии высоких порядков. Вследствие этого и поведение автокорреляционной и частной автокорреляционной функций модели АРСС(1,1) характеризуется как бы комбинацией свойств этих функций, имевших место для моделей АР(1) и СС(1).

Иными словами, составляющая АР(1) способствует тому, что автокорреляционная функция модели АРСС(1,1) (абсолютные значения коэффициентов автокорреляции) затухает экспоненциально, но после первой задержки (первого сдвига). Это непосредственно вытекает из выражений (6.77) и (6.79). В свою очередь, составляющая СС(1) определяет закономерности поведения частной автокорреляционной функции модели АРСС(1,1), которая также затухает примерно экспоненциально в соответствии с выражением (6.113) и (6.114).

Здесь еще раз следует отметить, что рассмотренные подходы к идентификации основаны на сопоставлении свойств выборочных автокорреляционных и частных автокорреляционных функций реального стационарного процесса и предполагаемой для его описания модели. На практике идеальное совпадение свойств этих функций встречается не часто, поскольку и реальные процессы обычно не слишком точно соответствуют своим теоретическим аналогам-моделям, и оценки их коэффициентов автокорреляции характеризуются наличием ошибок. Вследствие этого процедура идентификации служит для обоснования выбора некоторой пробной модели из общей группы моделей типа АРСС(k, m), которая является как бы начальной точкой на пути построения “оптимального” теоретического аналога (модели) рассматриваемого процесса на основе использования более точных процедур диагностики и методов оценки параметров модели.

Обычно с помощью процедур диагностики исследуют свойства фактической ошибки модели еt, которую часто называют остаточной ошибкой. При этом целесообразно руководствоваться следующей логикой анализа временного ряда еt, значения которого определяется как разность между фактическими и расчетными значениями процесса в момент t, т. е. где – значения процесса, рассчитываемые по соответствующей модели.

Для “удачной” модели можно ожидать, что ряд ошибки et, t=1,2,..., Т по своим свойствам будет достаточно близок к белому шуму – случайному процессу, характеризующемуся полным отсутствием каких-либо закономерностей в своих значениях, за исключением известного закона их распределения, обычно предполагаемого нормальным. Для нашего случая это означает, что математическое ожидание фактической ошибки должно быть равно нулю (М[еt]=0), ее дисперсия постоянна на любом участке ее измерения (se2 =const) и между рядами et , et–1, еt–2, ... отсутствует автокорреляционная зависимость, т. е. первый и последующие выборочные коэффициенты автокорреляции ряда et , t=1,2,..., Т , близки к нулю.

В более общем случае условие отсутствия закономерностей в ряду et, t=1,2,..., Т, распространяется и на третий и на четвертый моменты ошибки et, что, например, означает равенство нулю любого третьего момента ошибки типа М[et, et–i, et–j], i, j ³1, постоянство ее четвертого момента (М[et4]=const) отсутствие автокорреляционной связи между значениями квадратов ошибки, рассматриваемых в различные моменты времени и т. п.

Иными словами, фактическая ошибка модели еt должна быть “настолько случайна”, что ее невозможно было бы уточнить никакой другой моделью.

Кроме того, как это было показано выше, желательно, чтобы дисперсия ошибки se2 была существенно меньше дисперсии процесса уt sу 2, se2<<sу2. В этом случае модель, описывающая процесс уt, как бы снимает значительную часть неопределенности в его изменчивости, что позволяет с большей обоснованностью предсказывать его значения.

Наличие каких-либо закономерностей в ряду ошибки et указывает на то, что построенная модель неадекватна рассматриваемому процессу уt. Причинами неадекватности могут быть ошибки в оценках параметров, либо, так называемая, неопределенность модели. Примерами такой неопределенности является использование модели АР(1) вместо адекватной процессу модели АРСС(1,1). В этом случае ошибка модели АР(1) характеризуется свойствами модели СС(1). На это укажет отличный от нуля ее первый коэффициент автокорреляции.

Вообще говоря, и неверные значения параметров модели приводят к такому же эффекту, когда ряд et характеризуется какими-либо “неслучайностями”. Вследствие этого на практике однозначно указать какой-либо путь уточнения модели на основе анализа свойств ошибки et , отличных от свойств белого шума, обычно не представляется возможным. В такой ситуации можно сначала рекомендовать уточнить значения параметров модели путем использования более эффективных процедур их оценки, а затем, если это окажется необходимым – доопределить модель.

Для этой цели могут быть использованы и другие более точные методы оценивания (например, нелинейные), в которых найденные оценки (по методу Юла-Уокера, например, и другие) используются как начальные приближения к “оптимальным” значениям параметров модели АРСС(k, т).

Из приведенных выше рассуждений вытекает, что диагностика модели сводится к исследованию свойств ее ошибки с целью выявления степени соответствия ее свойств свойствам белого шума. Такие исследования в случае модели стационарных процессов второго порядка обычно сводятся к проверке значимости коэффициентов автокорреляции фактической ошибки еt.

На практике можно ожидать, что вследствие сложного характера распределения ошибок выборочных коэффициентов автокорреляции их значения, особенно при малых сдвигах, могут находиться в некоторой зоне неопределенности, когда затруднительно однозначно сделать вывод относительно значимости или незначимости каждого из них.

В заключение данного раздела напомним, что для проверки гипотезы о соответствии свойств ошибки модели свойствам белого шума могут использоваться процедуры проверки гипотез о постоянстве и равенстве нулю ее математического ожидания, постоянстве дисперсии, равенстве нулю ее коэффициентов автокорреляции. В последнем случае применимы критерии Дарбина-Уотсона (для первого коэффициента автокорреляции), критерий Стьюдента, расчетное значение которого для выборочного коэффициента автокорреляции k-го порядка определяется согласно следующей формулы:

 

 

где s(rk )–среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента автокорреляции rk , для оценки которой могут быть использованы выражения (6.25) (при q=0) и (6.26).

Для этих же целей во многих случаях предпочтительнее использовать так называемый совокупный критерий согласия (критерий Бокса-Пирса), с помощью которого оценивается значимость некоторой последовательности выборочных коэффициентов автокорреляции, начиная с первого. Для любого процесса АРСС(k, т) его расчетное значение определяется по следующей формуле:

 

 

Случайная величина Q распределена приблизительно по закону Пирсона c2(qkт). Таким образом, если оказывается, что выполняется следующее соотношения для первых q коэффициентов автокорреляции (q>k+т):

 

Q<c2(р*, n), (6.117)

 

где n=qkт, то с вероятностью р* гипотеза об отсутствии в ряду ошибки автокорреляционных зависимостей может быть принята.

Модели временных рядов с сезонными колебаниями

Сезонная периодичность характерна и для курсов валют. В РФ спрос на валюту (и соответственно ее цена) обычно растет к концу года, когда подходят… Сезонные колебания часто сочетаются с более общей тенденцией процесса,… Большое число параметров характерно и для моделей, описывающих “собственно” сезонные колебания. Обычно такая модель…

Переход от стационарных моделей к нестационарным

Предположим, что для приведения исходного временного ряда уt к стационарному процессу хt использовалось преобразование (6.39), а сам процесс хt…  

Вопросы к главе VI

1. Что такое «стационарный процесс»?

2. Какие параметрические тесты применяются для проверки постоянства математического ожидания?

3. Какие параметрические тесты применяются для проверки постоянства дисперсии?

4. Какие непараметрические тесты применяются для проверки постоянства математического ожидания?

5. Какие непараметрические тесты применяются для проверки постоянства дисперсии?

6. Каким образом нестационарный ряд можно преобразовать в стационарный?

7. Что собой представляют модели авторегрессии?

8. Каким образом оцениваются параметры модели авторегрессии?

9. Что собой представляют модели скользящего среднего?

10. Каким образом оцениваются параметры модели скользящего среднего?

11. Что собой представляют модели авторегрессии-скользящего среднего?

12. Как проводится идентификация моделей авторегрессии-скользящего среднего?

13. Каким образом учитываются сезонные колебания в соделях временных рядов:

14. Как осуществляется обратное преобразование стационарного ряда в нестационарный?

Упражнения к главе VI

Задание 6.1

В табл. 6.1 приводятся данные о размерах запасов компании А.

Таблица 6.1

Наблюдение Наблюдение Наблюдение

 

Требуется:

1. Провести тестирование ряда на постоянство математического ожидания и дисперсии с помощью параметрических тестов на основе:

а) критерия Стьюдента;

б) критерия Фишера;

в) критерия Кокрена;

г) критерия Бартлетта.

2. Провести тестирование ряда на постоянство математического ожидания и дисперсии с помощью следующих непараметрических тестов:

а) Манна-Уитни;

б) Вальда-Вольфовитца;

в) Сиджела-Тьюки.

 

Задание 6.2

Имеется процесс скользящего среднего третьего порядка (МА(3))

 

Требуется

1. Рассчитать коэффициенты ковариации gk.

2. Определить автокорреляционную функцию для этого процесса.

3. Построить график автокорреляционной функции для процесса

 

Задание 6.3

Имеется процесс авторегрессии-скользящего среднего порядка (2.1)

Требуется:

1. Записать автокорреляционную функцию в терминах a1, a2 и b1 .

2. Рассчитать ее для следующих значений параметров:

  a1=0,6; a2=0,3; b1 =0,9;  
  a1=0,6; a2=0,3; b1 =–0,9;  
  a1=0,6; a2=–0,3; b1 =–0,9;  

 

 

Задание 6.4

Имеются процессы авторегрессии первого и второго порядка.

Требуется определить для них частные автокорреляционные функции.

Задание 6.5

В табл. 6.3 приводятся данные о средних транспортных индексах в летний период 1999 г.

Таблица 6.3

Период Средний индекс Период   Средний индекс Период   Средний индекс
222,34 229,30 250,68
222,24 228,96 251,80
222,17 229,99 251,07
218,88 233,05 248,05
220,05 235,00 249,76
219,61 236,17 251,66
216,40 238,31 253,41
217,33 241,14 252,04
219,69 241,48 248,78
219,32 246,74 247,76
218,25 248,73 249,27
220,30 248,83 247,95
222,54 248,78 251,41
223,56 249,61 254,67
223,07 249,90 258,62
225,36 246,45 259,25
227,60 247,57 261,49
226,82 247,76    
229,69 247,81    

 

Требуется проверить на адекватность модель ARIMA(0,1,1).

Задание 6.6

В табл. 6.5 приводятся данные процесса контроля качества.

Таблица 6.5

Значе-ние Значение Значение Значение Значение
60,0 88,5 79,5 84,0 72,0
81,0 76,5 64,5 73,5 66,0
72,0 82,5 99,0 78,0 73,5
78,0 72,0 72,0 49,5 66,0
61,5 76,5 78,0 78,0 73,5
78,0 75,0 63,0 88,5 103,5
57,0 78,0 66,0 51,0 60,0
84,0 66,0 84,0 85,5 81,0
72,0 97,5 66,0 58,5 87,0
67,5 60,0 90,0 73,5
99,0 97,5 61,5 60,0 90,0
25,5 61,5 81,0 78,0 78,0
93,0 96,0 76,5 66,0 87,0
75,0 79,5 84,0 97,5 99,0
57,0 72,0 57,0 64,5 72,0

 

Требуется:

1. Проверить на адекватность модель ARIMA(1,0,1).

2. Проверить на адекватность модель ARIMA(1,1,1).

 

Задание 6.7

В табл. 6.8 приводятся недельные оценки запасов компании.

Требуется:

1. Построить график данных.

Таблица 6.8

Месяц День Запас Месяц День Запас
Январь Июль
   
   
   
Февраль Август
   
   
   
Март Сентябрь
   
   
   
   
Апрель Октябрь
   
   
   
Май Ноябрь
   
   
   
Июнь Декабрь
   
   
   
   

 

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляций, частных автокорреляций и использовать эту информацию для разработки адекватной прогнозной модели.

3. В случае нестационарности данных порекомендовать их корректировку.

4. Построить ARIMA-модель и провести тестирование ее адекватности.


ГЛАВА VII. МОДЕЛИ ФИНАНСОВОЙ ЭКОНОМЕТРИКИ

Объекты исследования финансовой эконометрики

Финансовый рынок является комплексным, многоплановым понятием. Теоретически его можно рассматривать как механизм реализации всевозможных активов по… По видам и составу сделок, их количеству, числу участников, значимости для… Ценная бумага является особой формой существования капитала, при которой ее владелец обладает не самим капиталом, а…

Гипотезы финансовой эконометрики

Значительная часть таких взаимосвязей может быть определена общим выражением, означающим отсутствие автоковариационных связей между временными…   Cov(f(zt), g(zt–k))=0, k=1, 2,... (7.15)

Тестирование финансовых процессов

Как и для временных рядов в целом при тестировании финансовых процессов достаточно широкое распространение получили непараметрические тесты,… Один из базовых непараметрических тестов, разработанный еще в 1937 г. Коулсом… Дадим описание этого теста на примере модификации модели (7.23), оперирующей с логарифмами цен

Модели ГСБ-1. Броуновское движение

Предположим, что временной ряд логарифмов цены актива yt=lnYt в моменты t=0,1,2,... может быть представлен в виде дискретного процесса  

Модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией (ГСБ-2 и ГСБ-3)

Причины изменения вариации у финансовых показателей могут быть разными. Иногда, например, неординарные и непредвиденные политические события за… Цены обычно изменяются при резких колебаниях предложения. Поступления на рынок… Резкие изменения в отклонениях цен Yt от их математического ожидания часто объясняют реакцией рынка на такое их…

Модели процессов со скачками вариации

Примером такого типа моделей является модель с марковской вариацией. Она формируется на основе следующих предпосылок. Предположим, что переменная vt может принимать только два значения s1 и s2,…  

Модели процессов с зависимой вариацией

В таком случае процесс vt, отражающий стандартные отклонения в уровне цен, может обладать более широким спектром закономерностей, по сравнению с…   vt=f(Yt–1, Yt–2,...). (7.118)

Методы оценки параметров модели с изменяющейся вариацией

Вместе с тем, общий подход для формирования уравнений, связывающих значения параметров моделей с изменяющейся вариацией с исходными данными,… Например, функция максимального правдоподобия для модели с изменяющейся…  

Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами

Заметим, что в общем случае можно предполагать, что класс моделей с нелинейными структурами должен быть значительно шире по своему составу, чем… Основная идея одного из подходов к построению нелинейных моделей временных…  

Оценки параметров распределения отношения SR

   

Параметры распределения выборочной дисперсии

Для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M[X] и дисперсией sx2, выборочная дисперсия определяется…  

Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин

  y=f(x), (7.190)  

Вопросы к главе VII

1. Назовите объекты изучения финансовой эконометрики.

2. Что собой представляют первичный и вторичный финансовые рынки?

3. Каковы особенности сбора, обработки и анализа исходной информации?

4. Назовите источники исходной информации.

5. Назовите причины, вызывающие необходимость преобразования финансовых показателей.

6. Каким образом проводится преобразование финансовых показателей?

7. Назовите законы распределения финансовых показателей.

8. Охарактеризуйте гипотезы финансовой эконометрики (гипотезы случайного блуждания: ГСБ-1, ГСБ-2, ГСБ-3.

9. Каким образом проводится тестирование гипотез финансовой эконометрики?

10. Что собой представляет Броуновское движение?

11. Охарактеризуйте методы оценки параметров Броуновского движения.

12. Что такое “арифметическое” и “геометрическое” Броуновское движение?

13. Что собой представляет стохастический дифференциал?

14. Дайте характеристику ИТО-процесса и его основных свойств?

15. Каким образом проводится тестирование процессов с изменяющейся вариацией?

16. Перечислите типы моделей с изменяющейся вариацией и способы ее формализованного представления.

17. Методы оценки параметров моделей с изменяющейся вариацией.

18. Что собой представляют модели с нелинейными математическим ожиданием и дисперсией?

19. Как проводится тестирование нелинейных финансовых процессов?

Упражнения к главе VII

Задание 7.1

В табл. 7.1 представлена информация о курсе акций Ростелекома за период со 2 июня по 19 октября 1999 г.

Таблица 7.1

Y(t) Y(t) Y(t) Y(t) Y(t)
82,90 83,20 75,90 57,50 69,00
82,90 79,70 75,90 62,20 68,45
87,45 79,70 78,98 63,81 67,36
87,45 79,40 79,80 65,00 64,56
87,39 71,50 75,80 64,50 64,56
93,25 66,99 74,00 64,50 65,00
87,95 61,50 74,00 64,90 65,00
94,20 61,50 74,80 64,90 64,33
94,20 63,70 74,80 66,24 65,03
91,00 63,70 76,30 67,17 67,10
91,00 67,15 72,65 66,53 67,17
94,78 68,35 69,57 70,75 67,17
93,85 67,50 68,70 70,75 67,90
91,98 70,10 68,70 70,42 67,90
90,49 70,10 68,95 70,42 72,10
90,49 73,00 68,95 70,49 72,69
86,50 73,00 66,50 69,20 72,69
86,50 74,15 63,86 69,00 72,29
83,90 81,80 59,20 68.00 72,29
92,55 79,50 59,35 68,00 71,43
79,00 74,60 59,35 68,00 71,43
83,20 74,60 57,50 68,00 70,81

 

Требуется проверить ГСБ-1 (гипотезу случайного блуждания) с помощью теста Коула-Джонса.

Задание 7.2

В табл. 7.2 представлена информация о курсе акций “Аэрофлота” (в USD) за период с 16 мая по 31 октября 1999 г.

Таблица 7.2

Пе-ри-од Курс Пе-ри-од Курс Пе-ри-од Курс Пе-ри-од Курс Пе-ри-од Курс
1,74743 1,72750 1,8059 1,67983 1,62192
1,74743 1,72750 1,81322 1,67365 1,66921
1,74586 1,71873 1,78395 1,68067 1,65418
1,74586 1,71873 1,72273 1,67281 1,63893
1,74586 1,70875 1,76221 1,68959 1,58376
1,73391 1,70736 1,82840 1,78445 1,57432
1,71066 1,66320 1,76005 1,78483 1,56988
1,68767 1,67393 1,72860 1,73256 1,56157
1,68767 1,67590 1,69081 1,64623 1,54331
1,68767 1,67744 1,56266 1,59628 1,50830
1,68643 1,67865 1,61779 1,64257 1,57977
1,66069 1,68037 1,64890 1,62110 1,58464
1,76961 1,68037 1,68623 1,64022 1,54148
1,77793 1,70231 1,72028 1,66683 1,57437
1,78085 1,70533 1,66088 1,61148 1,64615
1,79986 1,70533 1,64763 1,57825 1,64261
1,79986 1,70764 1,61718 1,45163 1,64593
1,79986 1,74827 1,62044 1,43571 1,62085
1,79922 1,75833 1,61402 1,39625 1,62687
1,79922 1,78198 1,63402 1,54607 1,69528
1,79922 1,81418 1,66084 1,56413 1,70047
1,79200 1,81872 1,76046 1,56434 1,73319
1,79200 1,81883 1,57818 1,56734 1,78416
1,77238 1,82585 1,59254 1,61169 1,85672

 

Требуется:

1. Построить и проверить на адекватность модель ARCH(1).

2. Построить и проверить на адекватность модель ARCH(2).

Задание 7.3

В табл. 7.3 представлена динамика курса акций корпорации “Омега”.

Требуется:

1. Построить модель GARCH (1, 1).

2. Проверить ее адекватность с помощью критерия Люнга-Бокса (LB).

Таблица 7.3

Пе-ри-од Курс Пе-риод Курс Пе-риод Курс Пе-ри-од Курс Пе-риод Курс Пе-риод Курс
                           

 

Задание 7.4

В табл. 7.4 представлена динамика «премии за риск» (разницы между доходностью акций корпорации “Гамма” и безрисковой доходностью).

Требуется:

1. Оценить параметры модели Е-GARCH (1, 1) и проверить ее качество.

2. Оценить параметры модели GARCH-М и проверить ее качество.

Таблица 7.4

Пе-риод Премия, % Пе-риод Пре-мия, % Пе-риод Пре-мия, % Пе-риод Премия, % Пе-риод Пре-мия, %
6,6 4,5 6,4 5,9 5,5
6,6 6,2 5,9
6,5 5,5 6,2 6,1 5,9
6,6 5,1 6,1 5,9 5,7
6,7 3,5 6,1 5,7
6,5 5,5 6,2 5,8
6,4 6,1 5,9 5,8
6,4 6,2 5,9 5,7
3,5 6,3 6,1 5,7 5,7
6,3 5,9 5,5 5,8

 


ГЛАВА VIII. СИСТЕМЫ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Особенности систем взаимозависимых моделей

Это не означает, что переменные хit, i=1, 2,..., п, характеризовались как абсолютно независимые. Однако предопределяющие их значения причины,… Таким образом, в тенденциях развития переменных хit и уt просматривалась как… В реальной жизни многие экономические и социальные явления развиваются, воздействуя друг на друга одновременно, так…

Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей

   

Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы систем взаимозависимых эконометрических моделей

Это замечание наводит на мысль использовать для оценки коэффициентов структурной формы алгебраическое матричное уравнение (8.15) или его аналог,…   С =–А–1 ×В ÞА×С +В =0, (8.36)

С

G= Еп + 1 – матрица размера (т+n+1)´(n+1), образованная присоединением строк квадратной единичной матрицы Еп+1 размера (n+1) к матрице С;

 
 


G=

 

Легко видеть, что выражение (8.37) является другим вариантом записи уравнения (8.36):

 
 


С

D × G = [AB] × Еп + 1 = A × С + B× Еп+1 = A × С + B = 0,

 

в котором матрица D образована неизвестными коэффициентами структурной формы, а матрица G – известными коэффициентами приведенной формы и единичными элементами матрицы Еп+1.

Рассмотрим произведение первой строки матрицы D на матрицу G, результатом которого является система однородных линейных уравнений, определяющая значения коэффициентов первой модели системы (8.11). Это произведение может быть представлено в следующем виде:

С

d 1 × Еп + 1 = d 1× G = 0, (8.39)

 

где d1 – вектор-строка, составленная из коэффициентов первого уравнения системы (8.11), и 0 в правой части означает нулевой вектор-строку соответствующего размера.

В развернутом виде с учетом (8.9) и (8.14) систему (8.39) можно записать следующим образом:

 

 

где aij – неизвестные оценки соответствующих коэффициентов матрицы А; b1j – неизвестные оценки коэффициентов первого столбца матрицы В; cij – известные оценки коэффициентов приведенной формы системы (элементов матрицы С); i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Заметим, что система (8.40) выражает несколько другую запись уравнения (8.39), которая в векторно-матричной форме записывается как

С ¢

Еп + 1 × d 1 ¢ = 0¢.

 

Система (8.40) в общем случае включает в себя n+1 однородное уравнение и содержит т+n+1 неизвестное (оценки коэффициентов a1i и b1j, i=1, 2,..., m ; j=0, 1,..., n). Вместе с тем для однозначного определения этих оценок необходимо, чтобы количество неизвестных среди них было равно рангу матрицы G за вычетом единицы.

Если обозначить количество известных коэффициентов в строке d 1 как w1, а неизвестных – как w2, w1+w2=т+n+1, а ранг матрицы G – как r(G), то это условие может быть представлено в следующем виде:

w2 =т+n+1–w1=r(G)–1. (8.41)

 

Выражение (8.41) известно как условие идентифицируемости системы (8.11) или ее некоторой модификации.

Напомним, что при выполнении условия (8.41) значения неизвестных коэффициентов системы (8.39) a1i и b1j, i=1, 2,..., m; j=0, 1,..., n; определяются с точностью до множителя. Конкретные их значения можно получить, выбрав “подходящее” значение одного из коэффициентов заранее, а остальные в ходе решения системы (8.40) с использованием соответствующего метода (метода Гаусса, Крамера и т.п.). В нашем случае, как правило, единственное решение системы (8.39) можно получить, приравняв единице коэффициент a11. Это естественное ограничение вытекает из формы записи первого уравнения системы (8.11) (см. примеры 8.1–8.3). Для других уравнений необходимо приравнивать к единице коэффициенты aii, i=2,..., m. При этом следует иметь в виду, что это естественное ограничение aii=1 не должно учитываться в соотношении (8.41), т. е. не должно входить в число w1 .

При относительно небольшом числе неизвестных параметров в первой строке матрицы D (эта относительность определяется соотношением w2<r(G)–1), система (8.39) становится переидентифицированной (сверхидентифируемой). Получение единственного решения в этом случае возможно, если, например, существуют ограничения на коэффициенты приведенной формы системы эконометрических моделей, уменьшающие ранг матрицы G. С этой же целью можно попытаться использовать приведенную форму с меньшим числом экзогенных переменных, если это не расходится с предпосылками, лежащими в основе системы моделей.

При условии w2>r(G)–1 система (8.39) является недоиндентифицируемой и без дополнительных ограничений на параметры структурной формы однозначно оценить их значения с помощью приведенной формы невозможно.

Заметим, что при решении системы (8.40) могут возникнуть определенные проблемы с учетом ограничений на параметры структурной формы. В основном это относится к линейно однородным ограничениям. В самом деле, если речь идет только об исключающих ограничениях, то их легко учесть, приравнивая к нулю соответствующие коэффициенты aik и bij. Для системы (8.40) это коэффициенты a1i и b1j, i=1, 2,..., m; j= 0, 1,..., n; являющиеся элементами первой строки матрицы D.

Так, например, система (8.40) для первой модели из системы (8.30) с учетом исключающих ограничений на коэффициенты b17,..., b1,11 приобретает следующий вид:

 

 

Однако, если для этой модели имели бы место какие-либо линейно однородные ограничения на параметры структурной формы типа b11=b12+b16, a12 +b11=0 и т. п., то для их учета при определении коэффициентов структурной формы требуется некоторая модификация систем (8.37), (8.39) и (8.42).

Рассмотрим альтернативный путь решения задачи оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей с учетом различного типа ограничений на ее параметры с использованием приведенной формы сначала для примера системы (8.30). Этот путь основан на модификации матрицы G путем ее преобразования в матрицу G1 при сохранении для этой матрицы условия (8.37) (и соответственно (8.39)). Для этого заметим, что, например, исключающее ограничение на параметр b17 первого уравнения системы (8.30) может быть представлено в следующем виде:

d 1 × =0, (8.43)

 

где 1 стоит на месте, обеспечивающем в результате умножения вектора d 1 на вектор ограничений выполнение условия b17=0.

Обозначим вектор-столбец в выражении (8.43) как g7¢. Число его компонент равно числу элементов вектора d1. Аналогичный вектор для переменной b18 обозначим как g8¢(он содержит единицу на месте, соответствующем элементу b18), для переменной b19 g8¢,...

Расширим матрицу G модели (8.30) за счет присоединения к ней векторов, отражающих исключающие ограничения, g7 ¢ , g8¢,..., g11¢. В результате получим матрицу G1 следующего вида:

G1= [Gg7 ¢... g11¢] =

где единицы в присоединенной части стоят на местах, обеспечивающих в результате произведения вектора d1 на векторы g7¢,..., g11¢ выполнение условий b17=0, b18=0,..., b1,11=0.

В силу условия (8.43), выполняемого для исключающих ограничений на параметры b17,..., b1,11, для элементов матрицы G1 имеет место такое же соотношение, как (8.39) для матрицы G:

 

d 1 × G1 = 0. (8.45)

 

Однако заметим, что при этом, во-первых, матрица G1 расширена по сравнению с матрицей G на 5 столбцов (по числу введенных ограничений) и ее ранг соответственно увеличился, и, во-вторых, вектор-строка d 1 записывается без исключающих ограничений. Ее элементы представляются в общей, а не в количественной форме записи.

Заметим, что на коэффициенты первой модели системы (8.30) могли быть наложены и ограничения других видов. Рассмотрим особенности их формализованного представления в матрице G1. Так, для линейного однородного ограничения b11=b12+b16 соответствующий ему вектор представляется в следующем виде:

g12¢=

 

где значения +1 и –1 стоят на местах соответствующих коэффициентов.

С участием вектора d1 это ограничение также записывается в виде произведения векторов d1×g12¢=0. Для его учета при оценке коэффициентов структурной формы необходимо расширить матрицу G также на вектор g12¢.

Некоторые сложности вызывает векторное представление неоднородных ограничений, содержащих в правой части вместо нуля значимое число. Примером такого ограничения является a12+b11=3. Однородный вариант записи этого ограничения предполагает использование коэффициента a11, который для получения решения затем нормализуется, т. е. выбирается равным 1(a11=1). В этом случае отмеченное ограничение приобретает вид a12+b11–3a11=0, и в векторной форме записи оно представляется следующим образом:

 

g13¢=

 

Заметим, что векторы-ограничения достаточно просто формируются только для линейных ограничений на параметры. В случае нелинейных ограничений задача их учета при получении оценок параметров значительно осложняется. Для ее решения требуются специальные методы.

Таким образом, в случае линейных ограничений на параметры структурной формы модели в результате присоединения выражающих их векторов к матрице G формируется матрица G1 размера (т+n+1)´(n+1+r), где r – количество учитываемых ограничений. Тогда по аналогии с условием существования однозначного решения системы (8.39) для матрицы G (см. выражение (8.41)), условие существования единственного решения системы (8.45) для матрицы G1 можно представить в следующем виде:

 

r(G1)=т+n , (8.46)

 

т. е. ранг матрицы G1 должен быть на единицу меньше, чем число элементов в строке d1, где, напомним, т+n+1 – общее количество параметров модели структурной формы (количество элементов в соответствующей строке матрицы D), в нашем случае, в первой.

Из условия (8.46) непосредственно вытекает, что, если в матрице G отсутствуют линейно зависимые столбцы, то количество столбцов-ограничений, присоединенных к матрице G при формировании матрицы G1 , в случае единственного решения системы (8.45) должно удовлетворять равенству r=т–1. Иными словами, количество априорных ограничений должно быть равно числу взаимозависимых переменных в системе, уменьшенному на единицу.

При наличии в матрице G1 линейно зависимых столбцов в случае сверхидентифицируемости системы моделей количество вводимых ограничений должно превышать число т–1, r>т–1. Объединяя эти два результата в один, получим, что ненулевое решение системы (8.45) существует при выполнении условия

 

r ³т –1, (8.47)

 

которое означает, что число априорных ограничений должно быть не меньше количества эндогенных переменных в системе взаимозависимых эконометрических моделей за вычетом единицы.

Рассмотрим вопросы идентифицируемости систем моделей на примерах 8.1-8.3. В примере 8.1 первое структурное уравнение системы (8.30) содержит в общем случае 9 неизвестных параметров (два при эндогенных переменных, включая у1, шесть при эндогенных и один свободный коэффициент). Всего система содержит одиннадцать экзогенных переменных (двенадцать параметров приведенной формы). Таким образом, матрица G, сформированная для этой системы имеет размерность 14´12 и ее ранг равен 12 (см. выражение (8.38)). Матрица G1 может быть образована присоединением к матрице G пяти исключающих ограничений на параметры b17,..., b1,11. Ее размерность будет равна 14´17.

Имея девять неизвестных параметров, системы уравнений (8.39) и (8.45), которые могут быть использованы для оценки коэффициентов структурной формы первого уравнения модели (8.30), являются сверхопределенными. Они содержат по четыре “лишних” уравнения, поскольку условие единственности решения системы (8.39) выполняется, если ранг матрицы G равен 8, а число присоединенных ограничений в матрице G1 равно 1.

В данном случае единственное решение этих систем может быть получено в результате наложения дополнительных ограничений на параметры приведенной формы модели (8.30). В частности, из пяти последних соотношений системы (8.42) вытекает, что такими ограничениями являются следующие равенства:

 

 

являющиеся следствием очевидного условия

 

 

Для примера 8.2 матрица G приведенной формы модели имеет следующий вид:

G=

 

Ее размерность равна 6´4, ранг матрицы равен 4.

Количество неизвестных параметров в первом уравнении структурной формы системы (8.32) равно 5. Имеется ограничение на коэффициент b13, b13=0. Таким образом, для первого уравнения системы (8.32) выполняются условия идентифицируемости, поскольку ранг матрицы G–r(G) равен 4. Аналогичный вывод следует из того, что число ограничений на его параметры равно количеству эндогенных переменных за вычетом единицы, 2–1=1. Значения параметров b10, a12, b11, b12 однозначно определяются из системы

d 1×G=0.

 

при условии a11=1.

Вместе с тем, второе уравнение системы (8.32) является сверхидентифицируемым. При определении значений его параметров следует учитывать ограничения на коэффициенты b21 и b22 (b21=b22=0). В этом случае на основании матрицы G можно сформировать матрицу G2 (индекс 2 в данном случае обозначает номер модели-строки, для которой формируется соответствующая матрица ограничений). Матрица G2 имеет следующий вид:

 

G2 =

 

Число учитываемых ограничений (дополнительных столбцов в матрице G2) превышает число эндогенных переменных на единицу. Следовательно, для идентифицируемости второго уравнения системы (8.32) необходимо вводить дополнительное ограничение на параметры структурной формы модели. Вид этих ограничений может быть получен исходя из анализа результатов произведения вектора d 2=(a21, a22, b20, 0, 0, b23) на матрицу С. Несложно заметить, что это произведение представляется в следующем виде:

 

 

Из полученной системы непосредственно следует, что ограничения на параметры приведенной формы имеют вид, аналогичный (8.48)

 

Заметим также, что при решении системы d2×G =0 единственное решение при условии выполнимости указанных ограничений на параметры приведенной формы следует получать с учетом нормировки на коэффициент a22, приравнивая его к единице, т. е. a22 =1.

Для примера 8.3 матрица G приведенной формы модели имеет следующий вид:

G=

 

Ее размерность составляет 10´6, ранг равен 6.

Количество неизвестных параметров в первой модели структурной формы системы (8.34) равно 4. Следовательно, эта модель является сверхидентифицируемой. Аналогично можно показать, что сверхидентифируемыми являются и другие две модели системы.

Четвертое уравнение системы (8.34) по своему содержанию является ограничением. Его необходимо учитывать при формировании матриц G1, G2 и G3 в случае ее использования при идентификации первых трех моделей. Данное ограничение записывается вектором-столбцом следующего вида:

g=

 

Таким образом, например, для первого уравнения системы (8.34) матрица G1 примет следующий вид:

 

G1 =G

 

где первый присоединенный столбец определяет ограничение a12=0, второй – a13=0, третий b12 =0,... , предпоследний – b15 =0 и последний – ограничение, выражаемое четвертым уравнением системы (8.34).

Рассмотренный в данном разделе материал свидетельствует, что оценки параметров структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием приведенной формы этой системы могут быть однозначно определены только в случае идентифицируемости каждого из ее уравнений. При этом, поскольку оценки параметров приведенной формы являются несмещенными, то можно ожидать, что и оценки параметров структурной формы будут обладать этим свойством. На практике оценкам структурной формы передается свойство состоятельности. Вместе с тем, условие идентифицируемости каждой из моделей, входящих в систему, выполняется при наличии вполне определенного количества ограничений, накладываемых на ее параметры. Это следует из того факта, что в общем случае число уравнений, на основе которых определяются значения этих параметров, меньше их количества. При этом, заметим, что для идентифицируемости всей системы моделей необходимо, чтобы число ограничений в каждой из них было одно и то же. Естественно, что столь жесткие требования на количество ограничений на практике удовлетворяются далеко не часто. Вследствие этого рассмотренный косвенный метод при оценке параметров структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей нельзя считать универсальным.

В следующем разделе будут рассмотрены более общие подходы к решению проблемы получения таких оценок, которые не имеют столь жестких ограничений по своему применению.

Оценивание параметров структурной формы на основе двухшагового МНК с использованием инструментальных переменных

   

Первый шаг.

  =X×(X¢×X)–1 ×X¢×Y1 , (8.54)  

Второй шаг.

  a1 b1 .

Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового МНК

Дадим достаточно схематичное изложение трехшагового МНК в общем виде. Представим i-е структурное уравнение системы в виде, аналогичном (8.50),…  

Этап 1.

На этом этапе с использованием обычного МНК на основании приведенной формы определяются расчетные значения переменных , рассматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы, j=1,2,..., m; j¹i, где i – индекс уравнения системы.

Этап 2.

Как и в двухшаговом МНК, на этом этапе с использованием значений определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы. Для этой цели используется выражение (8.73). Кроме того, на этом шаге определяются вектора ошибок каждого из уравнений системы иi=(иi1,..., и)¢, с использованием которых рассчитываются на основании формулы (8.76) оценки дисперсии каждого из уравнений sii2 и их взаимные ковариации sij и в соответствии с выражением (8.75) формируется ковариационная матрица W.

Этап 3.

Если ошибки уравнений системы не коррелируют между собой, т. е. sij=0, i¹j, то трехшаговый МНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При… 1. Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых… 2. Процедуру желательно выполнять для групп идентифицируемых и неидентифицируемых уравнений раздельно. При этом, если…

Вопросы к главе VIII

1. Перечислите основные предпосылки систем взаимозависимых переменных.

2. Чем обусловлена смещенность оценок коэффициентов уравнений, полученных с использованием МНК?

3. Что представляют собой структурная и приведенная формы модели?

4. Как проводится оценивание коэффициентов с использованием ограничений на структурные параметры?

5. Что представляют собой порядковое и ранговое условия идентифицируемости уравнений структурной формы?

6. Что представляют собой рекурсивные системы моделей?

7. В чем состоит суть двухшагового и трехшагового МНК, используемых для оценки коэффициентов системы взаимозависимых уравнений?

 

Упражнения к главе VIII

Задание 8.1

Имеется следующая модель:

 

 

где pt – логарифм цены; wt – логарифм почасовой оплаты, lt – логарифм себестоимости; qt – логарифм объема производства и bt – логарифм количества рабочих часов в неделю в период t.

Требуется:

1. Представить модель в матричной форме записи.

2. Определить ранговые условия идентифицируемости уравнений для pt и wt.

 

Задание 8.2

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

где Сt – потребление; It – инвестиции, Gt – государственные расходы; Yt – валовой национальный продукт в период t.

Требуется:

1. Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель (8.4)–(8.6).

2. Представить структурные уравнения в матричной форме.

3. Построить соответствующую прогнозную форму.

4. Определить метод оценки параметров прогнозной формы.

5. Проверить идентифицируемость уравнений структурной формы модели.

Задание 8.3.

Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:

Требуется:

1. Проверить идентифицируемость уравнений системы.

2. Выяснить идентифицируемость, если на параметры наложены следующие ограничения:

а) b11=0;

б) g21=0.

Задание 8.4

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

Требуется описать процедуру оценивания уравнений по двухшаговому МНК.

 

Задание 8.5

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

Требуется:

1. Написать модель в матричном виде и найти соответствующую прогнозную форму.

2. Определить число ограничений, наложенных на коэффициенты прогнозной формы.

3. Показать, что при заданных значениях коэффициентов прогнозной формы можно однозначно определить коэффициенты структурной формы.


ГЛАВА IX. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

Причины изменчивости структуры модели

Данное предположение означает так же равенство в статистическом смысле значений оценок коэффициентов модели, полученных на различных массивах… Эконометрические модели с постоянными значениями своих коэффициентов на… Вместе с тем, результаты анализа развития многих реальных социально-экономических процессов свидетельствуют, что со…

Тестирование изменчивости структуры эконометрической модели

В этом случае можно ожидать, что их накопленная сумма  

Рис.9.1. Доверительный интервал для кумулятивной суммы

Стандартизованных ошибок модели

Таким образом, для любого r для эконометрической модели с постоянной структурой с п независимыми переменными имеет место следующее вероятностное…  

Эконометрические модели с переключениями

Заметим при этом, что для этих же целей могут быть использованы также эконометрические модели с переключениями полиномиального вида. Основное различие между линейной сплайн-моделью и кусочно-линейной регрессией… Заметим, что в этом случае граничные точки tj, j=1,2,..., r–1 могут принадлежать и только одному из сегментов,…

Рис. 9.2. Типы скачкообразного сдвига параметров линейной

Эконометрической модели: а) сплайн-модель; б) кусочно-линейная модель.

 

При этом иногда даже не требуется, чтобы эта управляющая переменная входила в состав объясняющих факторов модели, т. е. она рассматривается как внешняя переменная, объясняющая режим работы системы (развития процесса), описываемой такого типа моделью. При таком предположении обычно возникает проблема не только поиска подходящей переменной, объясняющей скачки параметров модели, но и определения ее “критических” уровней, соответствующих этим скачкам. В некоторых эконометрических исследованиях в качестве такой переменной могут быть использованы процент банковского кредита, уровень налога, размер таможенной пошлины и другие редко меняющиеся экономические параметры, определяющие “режим” хозяйственной деятельности.

Согласно второму предположению скачок в параметрах модели привязывают непосредственно к моменту времени tj. Здесь имеется в виду, что даже если режим развития исследуемого процесса зависит от какой-либо из объясняющих переменных, то и ее изменения привязаны ко времени и временной фактор, таким образом, может выступать в качестве косвенной объясняющей переменной.

Далее, без ограничения общности будем рассматривать время t в качестве такой переменной, объясняющей скачкообразное изменение параметров эконометрической модели в отдельных точках (1, Т).

Таким образом, кусочно-линейную регрессию на интервале (1, Т) можно представить в виде следующей системы линейных эконометрических моделей:

 

 

где ai(j) – коэффициенты линейной эконометрической модели, “работающей” на j-м сегменте; et(j) – ошибка модели j-го сегмента; уt(j), хit (j) – исходные значения зависимой и независимой переменной, соответственно, в j-м временном сегменте; j=1, 2,..., r; i=0, 1,...,n.

Заметим, что модель типа (9.32) включает в себя также и случай, когда некоторые из объясняющих переменных на каких-либо сегментах отсутствуют. Предположим, что на j-м сегменте переменная хi отсутствует. Тогда при формировании исходных данных вектор-столбец ее значений хi(j) должен быть приравнен к нулю.

Если точки t1, t2,..., tr–1 известны*, то построение моделей (9.32) не представляет особых сложностей. В зависимости от их особенностей (типа) для оценки их коэффициентов могут быть использованы рассмотренные в предыдущих разделах методы (обычно МНК).

В тех ситуациях, когда сами точки скачков параметров не известны, но известно их количество r, при построении модели кусочно-линейной регрессии (9.32) можно использовать специальные методы оценки ее коэффициентов ai(j), j=1, 2,..., r; i=0, 1,..., n, позволяющие одновременно фиксировать и оптимальные местонахождения скачков, соответствующие значениям времени tj. Эти методы достаточно сложны и относятся к классу методов оптимального программирования.

Одним из наиболее эффективных среди этих методов является метод динамического программирования, который в сочетании, например, с МНК позволяет найти оптимальное разбиение исходного временного интервала (1,Т) на оптимальное число сегментов и оценить на каждом из них коэффициенты линейной эконометрической модели, “наилучшим образом” описывающей рассматриваемый процесс уt в зависимости от значений независимых факторов хit.

Задача построения системы уравнений (9.32) в этом случае может быть сформулирована следующим образом. При заданном общем виде линейной эконометрической модели (1.2) на интервале (1,Т) найти последовательность точек t1,..., tr–1 и оценить на временных периодах (сегментах) между ними специфические для каждого из них значения ее коэффициентов.

Одним из “наиболее подходящих” для метода динамического программирования критериев решения такой задачи является минимум общей для интервала (1,Т) суммы квадратов ошибок всех моделей из системы (9.32), которая может быть определена согласно следующему выражению:

 

где – сумма квадратов ошибки модели j-го интервала, j=1, 2,..., r.

Метод динамического программирования последовательно рассматривает дерево всевозможных решений, отбрасывая при этом заведомо бесперспективные варианты и сужая тем самым области месторасположения оптимальных точек скачка tj, j=1, 2,..., r. Этот метод обычно используется при аддитивных целевых функциях (в нашем случае (9.32)). Другой его важной особенностью является отсутствие “последействия”. Для нашего случая это означает, что оптимальное решение на j-м интервале ( т. е. месторасположение точки tj), не зависит от месторасположений предшествующих точек t1, t2,..., tj–1, при которых оно определяется.

Решение задачи динамического программирования обычно базируется на принципе относительности Р. Беллмана. Применительно к нашей задаче он формулируется следующим образом. Пусть определено т первых сегментов из общего их количества r, т<r. Тогда для получения оптимального (минимального) значения критерия (9.33) необходимо, чтобы и разбиение оставшейся части временного интервала на сегменты было оптимальным.

Из принципа Р. Беллмана вытекает основное функциональное соотношение для данной задачи:

 

где – сумма квадратов ошибки оптимального разбиения на т сегментов на интервале (1, tm); – сумма квадратов ошибки при вариантах разбиения на оставшиеся rт сегментов интервала (tm, T).

Соотношение (9.34) по существу позволяет сократить количество переборов разбиений исходного интервала (1, Т) на заданное число сегментов r, отбрасывая заведомо неверные решения.

Заметим, что при решении этой задачи для определения s2 обычно используется МНК. В результате при выборе точек должно учитываться очевидное ограничение на количество точек в каждом из сегментов. Формально оно имеет следующий вид: Тj>п+1, где Тj – количество точек в j-м сегменте, а п+1 – количество параметров модели. На практике это ограничение может быть усилено: Тj>(п+1), где k>1 – некоторый множитель, регламентирующий соотношение между объемом выборки и числом параметров модели на j-м сегменте.

Система линейных сплайн-моделей также может быть определена общим выражением (9.32). Однако, при построении каждого из ее уравнений (определении коэффициентов) должно быть учтено ограничение, вытекающее из природы сплайнов. Это ограничение требует, чтобы расчетные значения , определенные с помощью уравнения сплайна на j–1-м сегменте, совпадали со значениями, определенными на основе уравнения сплайна j-го сегмента. Формально это ограничение (систему ограничений для всех соседних пар сегментов) можно представить в следующем виде:

 

При ограничениях типа (9.35) процедура построения эконометрических моделей со скачками параметров значительно усложняется. При известном расположении точек скачка на временном интервале (1, Т) оценки их коэффициентов могут быть получены, например, в ходе решения задачи минимизации целевой функции типа (9.33): при r–1-м ограничении на приросты параметров моделей следующего вида:

 

 

(Da(j) ,)=0, (9.36)

j=1, 2,..., r–1.

 

где Da(j)=(a0 (j)a0 (j–1),a1(j)a1(j–1),..., aп(j)aп (j–1)) – вектор-строка ненулевых приростов параметров модели при переходе от j–1-го сегменту к j-му; =(1, )¢ – вектор значений независимых факторов в точке tj интервала (1,Т).

Для решения подобной задачи обычно используются методы оптимизации квадратичной целевой функции при ограничениях на параметры, задаваемые в виде равенств.

Эконометрические модели с эволюционными изменениями коэффициентов

  где ai(t), i=0,..., n – оценки коэффициентов модели, меняющиеся во времени под… Иными словами, предполагается, что значения оценок коэффициента ai, рассматриваемые в различные моменты времени,…

Вопросы к главе IX

1. Охарактеризуйте причины изменчивости структуры модели и способы ее отображения в уравнении регрессии.

2. Каковы критерии постоянства и изменчивости структуры?

3. Какие специальные приемы используются для обнаружения изменчивости структуры модели и закономерностей этого процесса с использованием статической и динамической информации?

4. Перечислите типы моделей с переменной структурой.

5. Что собой представляют модели с переключениями?

6. Охарактеризуйте модели с эволюционирующими коэффициентами.

7. В чем состоят особенности оценки коэффициентов моделей с переменной структурой?

Упражнения к главе XI

Задание 9.1

Компания А, крупный производитель спортивных автомобилей, заинтересована оценить следующую производственную функцию за период 1980–1999 гг.:

 

 

где уt – логарифм среднего выпуска автомобилей в неделю (в тыс. $); хt – логарифм среднего количества рабочих часов в неделю.

В 1992 г. компания произвела инвестиции в новую производственную технологию. Есть предположение, что это приведет к изменению свободного члена в уравнении (9.1).

Требуется:

1. Модифицировать модель (9.1)

а) с помощью введения фиктивной переменной;

б) с помощью представления ее в виде двух уравнений без фиктивной переменной.

2. Рассчитать вектор оценок параметров модели с фиктивной переменной, если

 
 


 

Определить ожидаемые оценки параметров для двух уравнений без фиктивной переменной.

 

Задание 9.2

Для объяснения переменной “заработная плата” была предложена следующая модель:

 

 

где уt – логарифм совокупной заработной платы; х1t – количество лет обучения; х2t – опыт работы; et~(0, s2).

Выборка составлена таким образом, что номера от 1 до 100 соответствуют женщинам, а со 101 по 300 – мужчинам.

Требуется:

1. Предложить два способа представления нулевой гипотезы, что заработная плата мужчины для данного уровня образования и опыта работы выше, чем у женщины с такими же характеристиками.

2. Проверить гипотезу, что коэффициенты уравнений типа (9.2), построенных отдельно для подвыборок мужчин и женщин, совпадают. Известно, что в модели для женщин сумма квадратов остатков равна 0,13, а для мужчин – 0,33. Оценка МНК по всей выборке дает сумму квадратов остатков 0,6.

3. Предложить способ тестирования гипотезы, что заработная плата зависит от размера фирмы, причем от размеров фирмы линейно зависит коэффициент a1t:

 

a1t =b10+ b11 zt-

 

4. Показать эквивалентность МНК-оценок коэффициентов a1 и a2 в модели

 
 


где Dt =

 

и в модели, построенной отдельно для двух подвыборок t=1,..., Т1; t=Т1+1,..., Т.

 

Задание 9.3

Имеется линейная однофакторная регрессионная модель

 

в которой неизвестные параметры меняются в случайном порядке

 

где – нестохастическая величина и

 
 


Требуется показать, что эту модель можно интерпретировать как линейную регрессионную модель с гетероскедастичным остаточным членом.

 

Задание 9.4

На основании квартальных данных с 1993 по 1997 гг. с помощью МНК было получено следующее уравнение регрессии:

 

Регрессионная сумма квадратов равна 112,44, а сумма квадратов остатков – 22,78.

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии сезонности, если при добавлении в уравнение трех фиктивных переменных, соответствующих трем первым кварталам года, регрессионная сумма увеличилась до 120,75.

2. Проверить гипотезу о наличие структурного изменения между вторым и третьим кварталами 1995 года, если при раздельном проведении двух регрессий на основании данных с первого квартала 1993 г. по 2-й квартал 1995 г. и с 3-го квартала 1995 г. по 4-й квартал 1997 г. были получены суммы квадратов остатков соответственно 11,44 и 2,75.

 


ГЛАВА X. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СО СПЕЦИФИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

 

В эконометрических исследованиях иногда приходится учитывать взаимосвязи не только между количественными характеристиками рассматриваемых явлений, объектов, но и принимать во внимание различия в их качестве. Качество, например, может быть выражено статусом объекта, его принадлежностью к какой-либо группе, наличием или отсутствием у него определенных свойств, стохастическим (вероятностным) характером их проявления и т. п. В этих и некоторых других случаях качество может быть выражено специфическими показателями, в частности, порядковыми числами, вероятностями, дихотомическими переменными (0 или 1) и т. д. При этом такие показатели могут выражать уровни как зависимых, так и независимых переменных эконометрической модели.

К специфическим переменным могут быть отнесены также и переменные, значения которых измерены с ошибками. В частности, ошибка может возникать из-за использования выборочных средних вместо средних по генеральной совокупности (при измерении спроса, дохода и т.п.), данных экстраполяции вместо измеренных значений, наконец, при использовании неточного инструментария измерения и в целом ряде других случаев.

Включение в эконометрическую модель специфических переменных часто ведет не только к изменению ее вида, содержания, но и может создать определенные проблемы при получении оценок ее параметров. В данной главе будут рассмотрены особенности построения эконометрических моделей, содержащих некоторые виды таких специфических переменных.

Эконометрические модели с ошибками в переменных

1.Ошибки измерения зависимой переменной у. Представим нелинейную эконометрическую модель в векторно-матричной форме…  

Модели с фиктивными независимыми переменными

На рис. 10.1 показано, что в период (0, T1) для развития процесса была характерна тенденция (1), а в период (T1+1, T2) – тенденция (2) (например, до… При этом динамические характеристики этих тенденций (темпы роста, первая… у

Рис. 10.1. Пример различий в условиях развития процесса

 

Если не принимать во внимание отмеченные различия и попытаться построить единую, обобщенную модель для периода (0, T2), то , очевидно, что ее уравнение будет соответствовать пунктирной линии, проходящей между сплошными линиями, характеризующими реальные тенденции процесса в рассматриваемых периодах.

Из рис. (10.1), в частности, также вытекает, что, если эконометрическая модель строится только на основе информации первого периода, то ее уравнение будет иметь следующий вид:

 

уt=a01+f(a,x)+ et1, (10.26)

 

а, если только по информации второго периода, то

 

уt=a02+f(a,x)+ et2, (10.26)

 

Отличаются эти выражения, если не принимать во внимание возможные различия в их ошибках, только величиной свободного коэффициента, т. е. a0.

Если ввести фиктивную переменную x0i, i=1,2, со следующими свойствами:

 

х01= 1, в первый период;

0, во второй период;

 

х02= 0, в первый период;

1, во второй период;

 

то выражения (10.26) и (10.27) могут быть объединены в рамках одной модели следующего вида:

 

уt=a01× х01+a02×х02+f(a,x)+et. (10.26)

 

Матрица исходных данных для такой модели будет иметь следующий вид:

 

 

Xit – матрица значений основных независимых переменных модели, i=1,2,..., п; t=1,2,....,Т2.

Очевидно, что в этом случае условное математическое ожидание переменной у будет иметь следующий вид:

 

M[y/ х1º1, х2º0, Xit]=a01+f(a,x) для t=1,2,..., Т1;

и

M[y/ х1º0, х2º1, Xit]=a02+f(a,x) для t= Т1+1,..., Т2;

 

Заметим, что для рассматриваемого случая может быть предложена и другая модификация модели (10.28), например, с одной фиктивной переменной (пусть х02), но содержащая свободный член. Ее вид определен следующим уравнением:

 

уt=a0 +a02×х02+f(a,x)+et, (10.26)

 

и матрица исходных данных для такой модели примет следующий вид:

 

 

Вместе с тем, несложно увидеть, что введение свободного члена в модели (10.28) невозможно, поскольку следствием этого является появление единичного столбца в матрице (10.29), что влечет за собой ее необратимость, поскольку единичный столбец представляет собой линейную комбинацию столбцов значений фиктивных переменных.

Модели типа (10.28) и (10.30) легко могут быть сформированы и на случай большего числа групп фиктивных переменных. Они могут выражать определенные временные периоды (например, с целью учета сезонности), статус объекта и т. п. В частности, в рассматриваемой в первой главе модели заболеваемости такие переменные могут выражать время года (весна, лето, осень зима), половозрастную группу населения (взрослые и дети, мужчины и женщины). В этом случае вводятся две группы переменных – временная и половозрастная (всего восемь). Обозначим эти переменные как s1, s2, s3, s4; q1, q2, q3, q4. При этом

 

si= 1, если наблюдения относятся к i-му времени года, i=1,2,3,4;

0, в остальных случаях;

 

qj= 1, еслинаблюденияотносятсякj-йполовозрастнойгруппеj=1,2,3,4;

0, в остальных случаях;

 

Тогда эконометрическая модель типа (10.28), описывающая заболеваемость в регионе в зависимости от условий жизнедеятельности, времени года и половозрастной группы индивидуума, может быть представлена в следующем виде:

 

 

где хit – факторы жизнедеятельности.

Оставление свободного члена в модели заболеваемости, как и в модели (10.30), приведет к уменьшению числа ее фиктивных переменных. В этом случае выражение (10.32) преобразуется к виду:

 

 

При этом для первого временного сезона и первой половозрастной группы получим a0=a01+b01.

Заметим, что модели типа (10.32) и (10.33) корректны, если все группы населения одинаково реагируют на изменение условий жизнедеятельности и, кроме того, заболеваемость характеризуется параллельными сдвигами со сменой времени года.

В этой связи модели типа (10.28), (10.30) могут быть интерпретированы как сплайн-функции, у которых зависимая переменная у одинаково и “монотонно” реагирует на изменения “количественных” независимых переменных хi на всех рассматриваемых временных интервалах и скачкообразно меняется при смене интервала.

Вместе с тем, фиктивные переменные могут быть применены при построении сплайн-функций любой модификации. Рассмотрим следующий пример. Пусть зависимая переменная у характеризует уровень дохода, а единственная переменная х – возраст индивидуума.

Предполагается, что в различных возрастных группах доход определяется специфическими формами зависимости следующего вида:

 

 

Введем фиктивные переменные d1 и d2, такие что d1=1, если х³20, и d2=1, если х³30. Тогда три уравнения из выражения (10.34) могут быть объединены в одно, следующего вида:

 

 

Заметим, что коэффициенты наклона на рассматриваемых участках согласно выражению (10.35) определяются следующим образом:

 

 

а свободные члены должны удовлетворять условию равенства функции у соответствующих участков х=20 и х=30. Исходя из этого получим

 

 

Выражение (10.37) определяет систему линейных ограничений на коэффициенты модели (10.34) следующего вида:

 

 

Подставляя ограничения (10.38) в (10.35), получим рассматриваемую модель дохода как сплайн-функцию в следующем виде:

 

 

где, напомним, d1 и d2 – фиктивные переменные, принимающие значения 1 на втором и третьем возрастных интервалах соответственно, и 0 – в противном случае.

В “фиктивной” форме может быть выражена и зависимая переменная. Такая ситуация имеет место, например, при проведении социологических опросов, когда их результат может быть представлен двумя ответами “да”, “нет” (1 или 0) (предполагаемая покупка автомобиля, дачи; желание иметь ребенка в семье и т. п.), а влияющие на этот результат факторы выражаются в произвольной форме (количественные характеристики – уровень дохода, жилая площадь и т. п., качественные характеристики – уровень образования и т. д.). Тогда расчетные значения , определенные по модели при различных комбинациях значений независимых переменных хi, можно интерпретировать как оценку условий вероятности события у при фиксированных значениях хi, i=1,2,..., п.

Модели с дискретными зависимыми переменными

1а. Семейное положение, которое выражается следующими категориями (и соответствующими целыми числами): – холост (1); – женат (2);

Модели бинарного выбора

  P(y=1)= F(a¢x); P(y=0)=1–F(a¢x). (10.41)

Таблица 10.1

уt P(уt=...)= et
xt 1–a¢xt (с вероятностью a¢xt)
xt a¢xt (с вероятностью 1–a¢xt)

 

Из табл. 10.1. следует, что ошибки et модели (10.43) имеют следующие характеристики:

 

M[et]=a¢xt(1–a¢xt)+ (1–a¢xt)( –a¢xt)=0;

D[et|xt]=a¢xt(1–a¢xt)2+(1–a¢xt)(–a¢xt) 2=a¢xt(1–a¢xt)(1–a¢xt+a¢xt)=

=a¢xt(1–a¢xt). (10.44)

 

где D[et|xt] – условная дисперсия ошибки et при условии, что вектор независимых переменных равен x t.

 

Рассмотрим в качестве критерия выбора оценок параметров модели (10.43) минимум суммы дисперсий ее ошибок et:

 

a¢xt)2+a¢xt) 2=xt(1–a¢xt)2+1–a¢xt)(–a¢xt)2=

=xt(1–a¢xt)= min. (10.45)

 

Используя МНК для оценки параметров модели (10.43) при критерии (10.45), получим следующую систему “нормальных” уравнений, относительно неизвестных оценок а0, а1,..., аn:

 

 

Выполнив дифференцирование с учетом попарной независимости коэффициентов между собой и со значениями факторов хit, i=1,2,...,T, эту систему можно представить в следующем виде:

 

 

В свою очередь, последняя система может быть представлена в векторно-матричном виде следующим образом:

           
   
   
 


 

 

или в компактной форме записи как

 

X×a=z, (10.47)

 

где матрица и вектор-столбец .

Из выражения (10.47) непосредственно вытекает, что неизвестные оценки параметров бинарной модели линейного типа могут быть получены на основании следующего выражения:

 

a=X–1×z, (10.47)

 

Однако линейная интерпретация (10.42) закона распределения вероятностей достаточно “неудобна” по своим “эконометрическим следствиям”.

Во-первых, заметим, что из выражения (10.44) вытекает, что ошибка e гетероскедастична, поскольку дисперсия ошибки зависит от вектора x. В таких условиях оценки параметров a модели (10.43), полученные на основе выражения (10.48), являются неэффективными. Для получения эффективных оценок ее параметров, необходимо использовать обобщенный МНК.

Во-вторых, любой метод оценки параметров линейных моделей бинарного выбора не дает гарантий, что результат произведения a¢x может принимать значения только на интервале [0, 1]. С учетом выражения (10.44) несложно заметить, что при отрицательных значениях этого произведениях и значениях больших единицы будет иметь место и другой абсурдный результат – отрицательная дисперсия остатков. Это обстоятельство существенно ограничивает область применения линейной модели бинарного выбора. На практике она используется только для предварительной обработки данных и для сопоставления с результатами, полученными более тонкими методами.

Из приведенных рассуждений вытекает, что модель бинарного выбора должна удовлетворять двум условиям:

 

 

и

 

 

где a¢x®+¥ – область значений x, при которых P(y=1)=1, а a¢x®–¥ – область значений x, при которых P(y=1)=0.

При этом между значениями составных частей регрессионного уравнения должно выполняться следующее соответствие (см. табл. 10.2).

Таблица 10.2

уt P(уt=...)= et
F(a¢xt) 1– F(a¢xt)
1– F(a¢xt) –(1– F(a¢xt))

 

Условиям (10.49) отвечает, например, функция F(a¢x), близкая к закону нормального распределения, график которой представлен на рис. 10.2. Ее использование позволяет снять рассмотренные выше ограничения моделей бинарного выбора. Модели с функционалом, обладающим свойством “нормального закона“, в литературе получили название probit-моделей:

 

P(Y=1)=ò (a¢x). (10.50)

 

где Ф(.) – функция стандартного нормального распределения, зависящая от значений факторов x и параметров a, j(u)– функция плотности распределения стандартной нормальной переменной u.

В предположении о независимости и гомоскедастичности ошибок et функцию j(u) можем записать в следующем виде:

 
 


j(a¢xt)=

 
 


 

 

Заметим, что s2 в выражении (10.51) является неизвестным параметром, который должен быть оценен, как и вектор параметров a.

 

Рис.10.2 График функции закона распределения, близкого к нормальному.

 

Из выражения (10.51) вытекает, что между значениями независимой переменной уt и j(a¢xt) выполняется следующее соотношение (см. табл. 10.3).

Таблица 10.3

уt j(a¢xt)
1  
0  

 

Не менее широко в моделях бинарного выбора используется и логистическое распределение:

 

P(Y=1)=L(a¢x). (10.52)

 

где L(.) представляет собой интегральную функцию логистического распределения.

Модели, построенные на его основе, называются logit-моделями. Несложно заметить, что в данном случае между составными частями регрессионного уравнения выполняется следующее соотношение (см. табл. 10.4).

Таблица 10.4

уt P(уt=...)= et
   
   

 

Вопрос о том, какое из вышеназванных распределений более подходит для практических исследований, остается открытым. На участке a¢xÎ[–1,2; 1,2] оба они ведут себя практически одинаково. Однако вне этого участка, т. е. на хвостах распределения, значения функционалов Ф(a¢x) и L(a¢x) имеют некоторые отличия. В частности, логистическое распределение имеет более “тяжелый хвост”, чем нормальное. Практика показывает, что при отсутствии существенного преобладания одной альтернативы над другой, а также для выборок с небольшим разбросом переменных, выводы, полученные на основе probit- и logit-моделей, как правило, совпадают.

В общем случае из выражения (10.41) для модели бинарного выбора вытекает, что условное математическое ожидание зависимой переменной при заданном наборе факторов может быть определено следующим выражением:

 

M[yt|xt]=0×[1–F(a¢xt)]+1×F(a¢xt)=F(a¢xt). (10.53)

 

Одно из направлений использования результата (10.53) в анализе рассматриваемых явлений связано с оценками так называемого маржинального эффекта факторов, входящих в модель. Маржинальный эффект фактора xit, i=1,2,...,n; t=1,2,..,T показывает изменение функции F(a¢xt) (характеризующей вероятность того, что у=1) при изменении фактора xit на единицу.

Маржинальные эффекты факторов xt для модели бинарного выбора оцениваются на основе следующего выражения:

 

M[yt|xt]/¶xt={¶ F(a¢xt)/ ¶(a¢xt)}×a=f(a¢xta, (10.54)

 

где f(.) – плотность безусловного распределения, соответствующая интегральному распределению F(.) и дифференцирование осуществляется по вектору xt. В частности, для нормального распределения маржинальный эффект рассчитывается по формуле

 

M[yt|xt]/¶xt=f(a¢xta, (10.55)

 

где f(.) – плотность стандартного нормального распределения.

Для логистического распределения производная функции этого закона по факторам xt функция f(a¢xt) имеет следующий вид:

 

¶L[a¢xt]/¶xt=ea¢x /(1+ ea¢x)2 =L(a¢xt)×[1–L(a¢xt)]. (10.56)

 

Соответственно в logit-модели маржинальные эффекты определяются как

 

M[yt|xt]/¶xt=L(a¢xt)×[1–L(a¢xt)]×a, (10.57)

 

Из выражений (10.54)–(10.57) вытекает, что величина маржинального эффекта для probit- и logit-моделей зависит от значений независимых факторов x. В связи с этим полезно будет определить так называемый “средний маржинальный эффект” в области существования значений независимых факторов.

На практике возможны два подхода к его оценке. Первый основан на усреднении значений независимых факторов, т. е. сначала рассчитываются выборочные средние всех факторов , i=1,2,..., п, а затем для оценки среднего эффекта определяется f(a¢)×a. В соответствии со вторым подходом маржинальные эффекты оцениваются для каждого наблюдения, затем по полученным оценкам этих индивидуальных маржинальных эффектов определяется его среднее значение.

Поскольку функция (10.51) у рассматриваемых моделей непрерывна, то в соответствии с теоремой Слуцкого* на больших выборках оба подхода будут давать один и тот же набор средних маржинальных эффектов. Но это неверно для малых выборок. Практика показывает, что в этом случае лучшие результаты дает второй подход, основанный на усреднение индивидуальных маржинальных эффектов.

Заметим, что средний маржинальный эффект бинарной независимой переменной (например, с) можно определить как следующую разность: P[y=1|, с=1]–P[y=1|, с=0], где – вектор выборочных средних значений остальных независимых переменных х.

Обратим внимание на то, что результаты моделей бинарного выбора могут иметь разнообразное содержание. В частности, их можно проинтерпретировать в терминах выгоды или ущерба. Рассмотрим такую интерпретацию на примере модели крупной покупки. Исходными данными (наблюдаемыми переменными) в этом случае являются сведения о покупке (1 – покупка сделана, 0 – в противном случае) и факторы, характеризующие субъекта, потребителя (доход, пол, возраст и т. д.). Далее предполагается, что покупка имеет место, если она приносит выгоду потребителю, и покупка отсутствует, если такой выгоды нет, и даже возможен “ущерб” (например, покупка бесполезна).

Ненаблюдаемую (латентную) выгоду, получаемую t-м потребителем от покупки, будем моделировать как переменную yt*, определяемую следующим выражением:

 

yt*=a¢xt+et, (10.58)

 

где a¢xt в данном случае называется индексной функцией (index funktion); et – ошибка модели, в отношении которой делается предположение, что она имеет стандартное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Вероятность получения t-м потребителем выгоды от покупки может быть определена следующим образом:

 

P(yt*>0)=P(a¢xt+et>0)=P(et>–a¢xt). (10.59)

 

Если распределение симметрично (каковыми являются нормальное и логистическое), то выражение (10.59), можно представить в следующем виде:

 

P(yt*>0)=P(e<a¢xt)=F(a¢xt). (10.60)

В качестве примера модели типа (10.58)–(10.60) рассмотрим модель миграции, разработанную Нейкостином и Циммером (Nakosteen, Zimmer, 1980). В ее основе лежит предположение о том, что индивидуум принимает решение о переезде, если это приносит ему определенную выгоду, которая оценивается на основе сопоставления доходов в настоящем и “новом” месте его проживания, затрат на переезд.

Доход yp*, который индивидуум может получить в данной местности настоящего проживания за год, определяется как

 

yp*=a¢xp+ep, (10.61)

 

где a – вектор значений параметров; xp – вектор независимых переменных, характеризующих индивидуума, например, возраст, образование, опыт работы, и т. д.; ep – ошибка модели.

Если индивидуум переезжает на новое место, то его доход ym* будет определяться согласно следующему выражению:

 

ym*= b¢xm+em, (10.62)

 

где b – вектор значений параметров; xm – вектор независимых переменных, состав которых может как совпадать, так и не совпадать с составом компонент вектора xp (включать, например, возможность получения более престижной должности); em – ошибка модели.

Переезд связан с определенными затратами C*, которые могут быть связаны линейной зависимостью со статусом индивидуума (предприниматель, наемный работник, семейный или несемейный и т. д.):

 

C*= g¢z+u, (10.63)

 

где z – вектор независимых переменных, характеризующих статус индивидуума; u – ошибка модели.

С учетом вышеперечисленного выгода от переезда может быть представлена в следующем виде:

 

N*=ym* yp* C*=b¢xma¢xpg¢z+(emep u)=d¢w+e, (10.64)

 

где w – вектор независимых переменных, характеризующих индивидуума, условия его жизнедеятельности в местах его жительства и т. п., которые влияют на уровень доходов и затраты на переезд; e=emep u – ошибка модели.

В целом, вероятность переезда P(N=1) определяется следующим образом:

 

P(N*>0)=P(d¢w+e>0)=P(e>–d¢w). (10.65)

 

Выражение (10.65) полностью соответствует выражению (10.59).

Альтернативную интерпретацию данных об индивидуальных предпочтениях дает модель случайной полезности (random utility model). Согласно этой интерпретации латентные (ненаблюдаемые) переменные предыдущей задачи, т. е. ym и yp, представляют собой полезности для индивидуума двух выборов (переезжать или не переезжать). В другом примере латентные переменные могут характеризовать полезность аренды дома и полезность владения домом. Статистика индивидуальных выборов, т. е. значения yt=1 и yt=0, дают возможность оценить, какая из альтернатив имеет большую полезность при соответствующих наборах факторов, но при этом величина полезности остается неопределенной. Обозначим полезность аренды дома через Ua, а полезность владения домом – через Ub. Наблюдаемый индикатор yt равняется 1, если Ua>Ub, и равняется 0, если Ua £Ub.

Общая постановка модели случайной полезности выглядит следующим образом:

 

Ua=a¢a x+ea;

Ub=a¢b x+eb. (10.63)

 

где aa и ab – различающиеся между собой вектора параметров модели; индексы а и b характеризуют варианты выбора.

Тогда, вероятность выбора варианта а (наблюдаемая переменная y принимает значение 1) определяется по следующей формуле:

 

P(y=1|x)=P[Ua>Ub]=P[(a¢a x+eaa¢b xeb|x]=

= P[(aaabx+eaeb>0|x]= P[a¢x+e >0|x]. (10.64)

 

На практике по известным значениям наблюдаемой переменной yt оценивается вектор a=aa ab.

Рассмотренные выше модели использовали, так называемые индивидуальные данные. Каждое наблюдение содержало набор значений [yt, xt], характеризующих реальный выбор отдельного индивидуума и соответствующий вектор независимых факторов. Вместе с тем, часто при построении моделей бинарного выбора используются групповые данные, которые выражают результаты подсчетов или пропорций. Обозначим через kt количество индивидуумов, имеющих одинаковые значения, характеризующих их признаков (т. е. одинаковый вектор xt). Индекс t в этом случае выражает различные вектора признаков xt и соответствующие количества индивидуумов kt, обладающих ими. Пусть наблюдаемая зависимая переменная Nt выражает долю индивидуумов, у которых yt=1, в общем числе индивидуумов kt. С учетом этого информация для фиксированного индекса t выглядит как [kt, Nt, xt], t=1,..., T. Для сгруппированных таким образом данных представим зависимость доли Nt от факторов-признаков, характеризующих индивидуумов t-й группы, в следующем виде:

 

Nt=F(a¢xt)+et =pt +et,

M[et]=0;

D[et]=pt ×(1–pt)/kt. (10.68)

 

где в качестве функции F(a¢xt) обычно используются функции законов нормального и логистического распределений; pt – оценка доли Nt; et – ошибка модели.

В заключение раздела, посвященного рассмотрению моделей бинарного выбора, объясним происхождение терминов logit и probit. Из выражения (10.68) следует, что дисперсия ошибки e гетероскедастична. Поскольку функция F(a¢xt) предполагается нелинейной, то для оценки параметров следовало бы применить нелинейный МНК с весами, однако можно предложить менее громоздкий подход к решению данной задачи. Для этого обозначим через F(Nt) значение интегральной функции закона распределения в точке Nt. Тогда можно показать, что обратное значение этой функции F–1(Nt) допускает следующее представление*:

 

F–1(Nta¢xt +et/f(pt)

или

F–1(Nt)=zt »a¢xt +ut, (10.66)

 

где f(pt)– значение функции плотности, соответствующей интегральной функции закона распределения F(.), в точке pt: ut=et/f(pt) – ошибка, обладающая следующими характеристиками:

M[ut]=0;

 

 

Если F(a¢xt) является логистической функцией, т. е.

 

pt =exp(a¢xt)/[1+ exp(a¢xt)],

 

то несложно показать, что

F–1(pt )=ln[pt /(1–pt)]=a¢xt. (10.71)

 

Функция типа (10.71) в научной литературе получила название logit-pt. В связи с этим модели бинарного выбора, в основе которых лежит логистическое распределение, обычно называют logit-модели.

Для нормального распределения обратная функция Ф–1(pt) называется нормитом-pt. Функция Ф–1(pt) может принимать отрицательные значения, обычно не превышающие –5. Чтобы избежать работы с отрицательными числами к значению функции на практике добавляется число 5. Функция (нормит-pt +5) получила название probit-pt. Поэтому модели бинарного выбора, основанные на нормальном распределении, называются probit-модели.

Двумерные и многомерные probit-модели.

Для каждого индивидуума t (t=1,2,...,Т) модель, определяющая вероятности двух событий, может быть представлена в виде следующей системы:   y1t*=a¢1x1t +e1t, если y1t=1, то y1*>0, если y1=0, то y1*£0;

Многомерные модели бинарного выбора с цензурированием.

  y1=1, если индивидуум t не получает кредит, y1=0 в противном случае; y2=1, если индивидуум t просит кредит, y1=0 в противном случае.

Модели множественного выбора

Рассмотрим сначала модели с неупорядоченными альтернативными вариантами. В них предполагается, что наблюдаемое значение выбора t-м индивидуумом j-го…

Рис.10.3. Последовательность выбора одной из трех альтернатив

В каждом узле, используя бинарные модели, можно оценить условную вероятность выбора соответствующего варианта. Безусловная вероятность его выбора вычисляется по формуле умножения вероятностей. Так, например, безусловная вероятность выбора метро как способа добраться до работы определяется следующим выражением:

 

P(y3=1)=P(y2=0, y1=0)=P(y2=0)×P(y2=0|y1=0). (10.99)

Вероятность P(y2=0) оценивается с использованием бинарной probit-модели (10.50), вероятность P(y2=0|y1=0) –на основе выражения (10.74)..

Гнездовые logit-модели (nested logit-models).

    где T – число наблюдений.

Модели с упорядоченными альтернативными вариантами.

Варианты в моделях множественного выбора могут быть естественным образом упорядочены. Примерами упорядоченных вариантов являются:

1. Рейтинги ценных бумаг.

2. Результаты дегустации.

3. Опросы общественного мнения.

4. Уровни сложности работ.

5. Типы страховых полисов, выбираемых потребителем (отсутствие такового, частичное покрытие, полное покрытие).

6. Степени занятости (безработный, занят часть дня, занят полный день).

Во всех этих случаях значения зависимой переменной обычно выражают отношения предпочтения среди альтернативных вариантов. Такие отношения могут быть выражены рангами, имеющими вид упорядоченных наборов чисел: 0,1,2,... При этом наиболее предпочтительному варианту может соответствовать как нуль (в этом случае рейтинги вариантов с ростом их ранга уменьшаются), так и последнее число в этой последовательности J (в этом случае рейтинги альтернатив уменьшаются вместе с уменьшением их ранга).

Для анализа определения предпочтительности выбора среди упорядоченных альтернативных вариантов и оценки влияния на этот выбор различных факторов широко применяются порядковые logit- и probit-модели. В таких моделях вероятности предпочтения также, как и в биномиальной probit-модели (10.58), определяются с использованием уравнения латентной регрессии:

 

yt*=a¢×xt+et. (10.112)

 

где yt* – ненаблюдаемая переменная, которая по-прежнему представляет собой выгоду (полезность) выбора j-го варианта для t-го индивидуума, например, дивиденды от покупки акций с j-м рейтингом; a – вектор параметров; xt – вектор независимых переменных, влияющих на выбор t-го индивидуума; et – ошибка модели.

Если значение переменной уt* удовлетворяет условию уt*<0, то предполагается, что индивидуум с характеристиками xt, выбирает нулевой альтернативный вариант. Аналогично, если выполняется условие 0<y*£m1, то выбирает первый вариант и т. д. Эту логику выбора можно представить в виде следующей системы:

 

если yt*£0, то yt=0;

если 0<yt*£m1, то yt=1;

если m1<yt*£m2, то yt=2;

. . . . . . . . . . . . . . . .

если mJ–1£yt*, то yt=J. (10.113)

 

где mj (j=1,2,...,J–1) – неизвестные параметры, которые подлежат оценке, как и параметры a (и оцениваются теми же методами). Границы m1,..., mJ–1 можно интерпретировать как один из вариантов цензурирования.

Предположим, что ошибки et нормально распределены, e~N[0,1]* . С учетом этого набор вероятностей появления j-й наблюдаемой переменной (j-го ответа) определяется следующими выражениями:

 

P(yt=0)=F(–a¢×x t);

P(yt =1)=F(m1a¢×x t)–F(–a¢×x t);

P(yt =2)= F(m2a¢×x t)–F(m1a¢×x t);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10.114)

P(yt =J)=1–F(mJ–1a¢×x t).

 

где F(.) – функция закона стандартного нормального распределения.

Из выражений (10.114) следует, что эти вероятности Р(yt =j), j=0,...,J будут положительными, если выполняется следующее условие:

 

0<m1<m2<... <mJ–1. (10.115)

 

На рис. 10.4 показано распределение вероятностей выбора конкретных альтернатив.

Рассмотрим особенности определения маржинальных эффектов факторов хt, которые будут характеризовать изменение вероятности выбора j-го альтернативного варианта при изменении одного из независимых факторов на 1 единицу. Допустим, имеется три варианта (этот случай предполагает только один параметр положения m). В соответствии с выражением (10.114) вероятности выбора каждого из вариантов определяются как

 

P(yt=0)=F(–a¢×xt);

P(yt=1)= F(ma¢×xt)–F(–a¢×xt);

P(yt=2)=1–F(ma¢×xt) (10.116)

 

 

et
xt
m3–a¢xt
m1–a¢xt
yt=3
yt=0
m2–a¢xta¢x a¢x
yt=4
yt=2
yt=1
f(et)

Рис.10.4. Вероятности в упорядоченной probit-модели.

 

Тогда маржинальные эффекты факторов определяются согласно следующему выражению:

 

P[yt=0]/¶xt=–j(a¢×xta;

P[yt=1]/¶xt=[j(–a¢×xt)–j(ma¢×xt)]×a;

P[yt=2]/¶xt=j(ma¢×xta. (10.117)

 

где j(.) – функция плотности распределения стандартной нормальной переменной.

На рис. 10.5 сплошной линией изображено распределение yt в зависимости от ошибки et. Рисунок характеризует маржинальный эффект при увеличении одного из факторов хit (i=1,2,..., n) при неизменных a и m. Этот эффект эквивалентен смещению графика распределения вправо, что показано пунктирной линией.

 

yt=2
yt=1
yt=0

Рис.10.5. Влияние изменения хt на оцененные вероятности.

 

Согласно первому выражению в (10.117) изменение вероятности выбора 0-го варианта зависит от коэффициента при факторе хi. Если коэффициент ai положителен (для данного набора хt), то вероятность P[yt=0] должна снизиться (производная ¶P[yt=0]/¶хit имеет знак, противоположный знаку ai). Соответственно, если коэффициент ai отрицателен, то вероятность P[yt=0] должна повыситься.

Согласно третьему выражению в (10.117) направление изменения вероятности P[yt=2] при увеличении фактора хi, также определяется знаком коэффициента ai: но в данном случае при положительном ai вероятность увеличивается, при отрицательном ai – уменьшается.

Заметим, что согласно второму выражению в (10.117) изменение вероятности P[yt=1] зависит не только от знака ai, но и от знака, который будет иметь разность двух плотностей [j(–a¢×xt)–j(ma¢×xt)]. Если эти знаки совпадают, что вероятность P[yt=1] увеличивается с увеличением хit, если не совпадают, то она уменьшается.

Модели счетных данных

Дискретный характер зависимой переменной дает основание предполагать, что линейные модели, связывающие число событий с уровнями сопровождающих их… Зависимость числа событий уt, произошедших за фиксированный временной интервал…  

Отрицательная биномиальная модель.

  mt×=lt× ut=,  

Модель преодоления препятствий (hurdle-model).

Модель преодоления препятствий, предложенная Мюллеэйем (Mullaey, 1986), предполагает, что вероятность нулевого значения процесса не зависит от…    

Модели с ограниченными зависимыми переменными

Усечение имеет место, когда данные выбираются из некоторого большего по объему подмножества данных (наблюдений), например, в исследовании доходов… Вместо усечения выборок может применяться также их цензурирование. В…

Модели усеченных выборок

Плотность непрерывной случайной переменной z, усеченной выше уровня b, определяется согласно следующему выражению:   Выражение (10.136) вытекает, из формулы условной вероятности. В самом деле, условная вероятность того, что случайная…

Рис. 10.6. Зависимости плотностей усеченного нормального распределения от степени усечения

 

Функцию l(b) называют обратным отношением Миллса или функцией отказов (hazard-function), b – степенью усечения.

Заметим, что d(b)<1 при любом значении b.

Из выражения (10.142) следует, что математическое ожидание усеченной стандартной нормальной переменной является функцией от степени усечения (см. рис. 10.7).

Рассмотрим некоторые результаты, приведенные на рис. 10.7. В частности, математическое ожидание стандартной нормальной величины при усечении z³0 равно 0,79, а при усечении z£b равно –0,79.

Несложно также убедиться, что вероятность того, что х меньше b, является возрастающей функцией от b. С возрастанием этой вероятности увеличивается количество нерассматриваемых элементов совокупности, а, следовательно, возрастает и математическое ожидание усеченной случайной переменной.

 

0,79  
b
–0,79
M[z|z£b]
M[z|z³b]

Рис. 10.7. Графики зависимости математических ожиданий стандартной нормальной величины от степени усечения

 

На рис. 10.8 приведена функция, отражающая взаимосвязь между математическим ожиданием M[z|z>b] и вероятностью Р[z>b] для стандартного нормального распределения.

 

P[z>b]
P[z>b]=0Þb®+¥ P[z<b]=1Þb®–¥
M[z|z³b]

Рис.10.8. Условное среднее как функция степени усечения.

 

Предположим, что зависимость некоторой случайной переменной yt, от значений влияющих на нее факторов, можно представить следующим образом:

 

yt =a¢×xt +et, (10.148)

 

где xt – вектор независимых переменных, влияющих на переменную yt; a – вектор параметров; et – ошибка модели, в отношении которой предполагается, что она распределена по стандартному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией, et ~N[0, s 2].

Переменная yt, описанная выражением (10.148), распределена по нормальному закону с математическим ожиданием mt=a¢×xt и дисперсией s 2.

Рассмотрим распределение зависимой переменной yt при условии, что наблюдаемые значения yt превышают некоторый порог b. Согласно выражению (10.142) получим, что условное математическое ожидание yt для модели (10.148) является нелинейной функцией от хt и a, и определяется как

 

M[yt | yt >b]=a¢×xt +

 

Перепишем выражение (10.149) с использованием функции отказов l(bt) (см. выражение (10.144)):

 

M[yt | yt >b]=a¢×xt +s×l(bt), (10.150)

 

где bt =(ba¢×xt)/s.

С учетом вида выражения (10.150) оценим величину маржинального эффекта факторов xtдля случая усеченной выборки:

 
 


 

 

Поскольку для каждого набора факторов xt выполняется соотношение 0<d(bt)<1, то из выражения (10.151) вытекает, что для любого xit (i=1,2,..., n; t=1,2,...,T) маржинальный эффект меньше соответствующего коэффициента ai.

Заметим, что в силу специфики выражения (10.150) ошибка et модели (10.146), построенной для усеченной выборки, имеет математическое ожидание s×l(bt). Дисперсия ошибки et в этом случае определяется следующим образом:

 

D[et | yt >b]=s 2×[1–d(bt)]. (10.152)

 

где s2 – дисперсия ошибки модели (10.148), построенной на неусеченной выборке; d(b t)=l(b t)×[l(b t)–b t]; l(b t)=j(b t)/[1–F(b t)]; bt =(ba¢×xt)/s.

Таким образом, из выражений (10.150) и (10.152) вытекает, что оценки параметров модели (10.148), определенные на основании усеченной выборки зависимой переменной (yt>b или yt<b), являются смещенными и несостоятельными по сравнению с оценками, которые могли бы быть получены по полной выборке.

Модели цензурированных выборок

Например, если спрос на билеты существенно превышает предложение, то за уровень спроса принимается количество проданных билетов (цензурирование…  

Цензурированная модель (tobit-модель).

Tobit-модель исходит из того, что цензурированная переменная yt описывается следующим выражением:   yt=a¢×xt+et. (10.159)

Модели случайно усеченных выборок (selection-model)

Нахождение распределения у связано с определением, во-первых, вида функции плотности случайно усеченного распределения переменных у и z, и,… Усеченная совместная плотность у и z согласно выражению (10.136) при любом…  

Методы оценки параметров моделей с дискретными и ограниченными зависимыми переменными

Для оценивания параметров моделей с дискретными и ограниченными зависимыми переменными обычно применяется метод максимального правдоподобия. Однако, для оценивания моделей бинарного выбора используется так называемый «метод максимального счета». Рассмотрим особенности этих методов более подробно.

Метод максимального правдоподобия

Предположим, что наблюдения y1, y2,..., yT независимы. Поскольку yt может принимать только значения 0 и 1, то функция правдоподобия для бинарной…   a¢x t)] a¢x t). (10.190)

Метод максимального счета (MSCORE)

Этот метод использует критерий, представляющий собой максимум числа совпадений реальных и расчетных ответов, который критерий можно представить в… MaxaSb(a)=(a¢xt)]* . (10.210)  

Вопросы к главе X

1. Каковы последствия ошибок измерений зависимой переменной?

2. Каковы последствия ошибок измерений независимых переменных?

3. Каковы последствия ошибок измерений и зависимой и независимых переменных?

4. Охарактеризуйте модели с фиктивными независимыими переменными.

5. Дайте классификацию моделей с дискретными заивисимыми переменными.

6. В чем состоит суть моделей бинарного выбора?

7. Какие законы распределений наиболее часто используются в моделях бинарного выбора?

8. В чем состоят недостатки линейной модели вероятности?

9. Охарактеризуйте модель бинарного выбора, исходящую из групповых данных?

10. Что собой представляет многомерная probit-модель?

11. Что собой представляют модели множественного выбора?

12. Какие типы моделей используются для описания выбора среди неупорядоченных альтернатив?

13. Каким образом моделируется выбор среди упорядоченных альтернатив?

14. Какие законы распределений используются в моделях счетных данных?

15. Охарактеризуйте последствия построения эконометрической модели на основе усеченной выборки?

16. Как изменяются математическое ожидание и дисперсия зависимой переменной, если при оценки параметров модели используется цензурированная выборка?

17. Охарактеризуйте модели случайно усеченных выборок.

18. Каковы особенности применения метода максимального правдоподобия для оценки параметров моделей с дискретными зависимыми переменными?

19. Как выглядят необходимые условия максимизации логарифма функции правдоподобия для моделей усеченных и цензурированных выборок?

20. Что собой представляет метод максимального счета?

21. В чем суть kernel-метода?

 

Упражнения к главе Х

Задание 10.1

Logit-модель была применена к выборке, в которой y=1, если количество занятых в фирме выросло (y=0 – в противном случае), х1 – доход фирмы, в млн. $; х2=1, если фирма относится к области высоких технологий (х2=0 – в противном случае). Получена следующая модель:

 

Требуется определить оценку вероятности роста занятости для фирмы высокотехнологичной фирмы А с доходом в 5 млн. $ и для фирмы Б, не относящейся к сфере высоких технологий и имеющей доход 7 млн. $.

Задание 10.2

Имеется выборка, состоящая из 528 наблюдений, в которой y=1, если заработная плата работника ниже 5$ в час (y=0 – в противном случае). Предполагается, что уровень заработной платы зависит от следующих факторов: х1 – образование, лет; х2 – пол (1–женский, 0 – мужской); х3 – опыт работы, лет. В табл. 10.1 приведены коэффициенты, полученные при оценке линейной регрессии y от х1, х2 и х3 с помощью МНК, и при оценке Logit-модели с помощью нелинейного МНК.

Таблица 10.1

  Коэффициенты  
  линейной регрессии Logit-модели Выборочные средние
0,94 5,87
х1 –0,05 –0,56 13,09
х2 0,15 1,26 0,46
х3 –0,01 –0,06 17,66

 

Требуется:

1. Определить на основе Logit-модели, оценку вероятности для мужчины и для женщины, имеющих 12 лет образования и 15 лет опыта работы, оказаться низкооплачиваемыми работниками.

2. Определить на основе Logit-модели, изменение оценки вероятности быть низко оплачиваемым работником для мужчины с характеристиками из п. 1, если он проучится на один год больше.

3. Ответить на вопросы п. 1–2 с использованием линейной регрессионной модели.

 

Задание 10.3

Имеется выборка, состоящая из 528 наблюдений, в которой y=1, если работник состоит в профсоюзе (y=0 – в противном случае). Предполагается, что членство в профсоюзе зависит от следующих факторов: х1 – образование, лет; х2 – пол (1–женский, 0 – мужской); х3 – опыт работы, лет; х4 – опыт работы в квадрате. Выборочные средние равны

 

На основе выборочных данных была получена следующая Probit-модель:

 

 

Требуется определить, насколько снижается вероятность быть членом профсоюза в расчете на год дополнительного образования.

 

Задание 10.4

Имеется набор данных, состоящий из 6 наблюдений.

y
x –1 –2

Требуется:

1. Оценить линейную модель вероятности с помощью МНК. Рассчитать R2.

2. Использовать оцененную модель для разделения индивидуумов на 2 группы. Рассчитать количество случаев правильного отнесения к соответствующей группе, применяя следующее правило классификации:

группа I (y=1), если

группа II (y=0), если

Сопоставьте долю правильного попадания и коэффициент детерминации.

 

Задание 10.5

Среди 48 респондентов был проведен опрос о среднемесячных затратах на табачные изделия. Полученные результаты представлены в табл. 10.2.

Таблица 10.2

 

Требуется:

1. Определить по цензурированным данным МНК-оценку параметра Tobit-модели где et ~N(0, s2), и уt = уt * , если уt*>0, уt =0, если уt*£0.

2. Определить по усеченным на уровне 0 данным МНК-оценку параметра Tobit-модели.

Задание 10.6[1]

В 1973 году в г. Трое (штат Мичиган) проводился референдум по вопросу о введении местного школьного налога. В ходе опроса были выявлялись определенные характеристики участников референдума (см. табл. 10.3).

Таблица 10.3

Название характерис- Значение
тики
PUB1 Один ребенок посещает государственную школу В противном случае
PUB2 Двое детей посещают государственную школу В противном случае
PUB3 Трое детей посещают государственную школу В противном случае
PUB4 Четверо детей посещают государственную школу В противном случае
PUB5 Пятеро и более детей посещают государственную школу В противном случае
PRIV В семье есть дети (один или более), посещающие частную школу В противном случае
SCHOOL Респондент работает учителем (в государственной или частной школе) В противном случае
YESVM Респондент проголосовал «за» на референдуме по вопросу о введении местного «школьного» налога В противном случае

 

Кроме того, YEARS=количество лет, прожитых в Трое; LogINC=натуральный логарифм годового дохода домашнего хозяйства, $; PTCON=натуральный логарифм суммы годовых платежей по налогу на имущество, $. Информация о 95 респондентах представлена в табл. 10.4

Таблица 10.4

PUB1&2 PUB3&4 PUB5 PRIV YEARS SCHOOL Log INC PTCON YESVM
09.770 7.0475
10.021 7.0475
10.021 7.0475
09.4335 6.3969
10.021 7.2792
10.463 7.0475
10.021 7.0475
10.021 7.2793
10.222 7.0475
09.4335 7.0475
10.021 7.0475
09.770 6.3969
09.770 6.7452
10.021 7.0475
10.820 6.7452
09.770 6.7452
10.222 7.0475
10.021 7.0475
10.222 7.0475
10.222 6.7452
10.463 7.0475
10.222 7.0475
09.770 6.7452
10.463 7.2793
10.021 6.7452
10.463 7.0475
09.770 6.7452
09.770 7.0475

 

Продолжение табл. 10.4

09.770 6.7452
10.222 7.0475
10.021 6.7452
09.4335 6.7452
08.294 7.0475
10.463 7.0475
10.021 7.0475
10.222 7.2793
10.222 7.0475
10.222 7.4955
10.021 7.0475
10.222 7.0475
10.021 7.0475
10.820 7.4955
10.021 7.0475
10.021 7.0475
10.021 6.7452
10.021 7.0475
09.770 6.7452
10.222 7.4955
09.7700 6.7452
10.021 7.0475
10.021 6.7452
09.4335 6.7452
10.463 7.2793
09.770 7.0475
10.021 7.0475
09.7700 5.9915
09.4335 7.0475
09.770 6.3969

 

Продолжение табл. 10.4

10.021 6.7452
10.463 7.0475
10.021 7.0475
10.820 7.2793
09.4335 6.7452
09.770 5.9915
08.9227 6.3969
09.4335 7.4955
09.4335 6.7452
10.021 7.0475
10.021 7.0475
10.021 7.0475
10.222 7.0475
09.770 7.0475
10.021 7.2793
09.770 7.0475
09.770 7.0475
10.222 6.7452
10.463 6.7452
10.222 6.7452
09.770 6.7452
10.222 7.0475
10.021 7.2793
10.463 6.7452
09.770 7.0475
10.820 7.4955
08.9227 5.9915
09.770 7.0475

Окончание табл. 10.4

09.4335 6.3969
09.7700 6.7452
10.021 7.0475
10.021 6.7452
10.222 7.2793
10.021 7.0475
10.021 7.0475
08.9227 5.9915
10.463 7.4955

 

Требуется:

1. Оценить параметры следующей модели:

Prob(YESVM=1)=F(PUB1&2, PUB3&4, PUB5, PRIV, YEARS, SCHOOL, LogINC, PTCON)

c использованием МНК, Probit- и Logit-процедур.

2. Рассчитать на основе модели, оцененной с помощью МНК, прогноз вероятности для каждого из респондентов проголосовать “за” введение местного школьного налога. Определить для скольких случаев прогнозное значение выходит за рамки интервала от 0 до 1.

 

ГЛАВА XI. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Особенности оценки параметров нелинейных моделей

Поясним происхождение этих проблем на примере двухфакторной нелинейной модели следующего вида:   Попытаемся использовать при определении оценок a0, a1, a2 ее параметров a0, a1, a2 метод наименьших квадратов при…

Метод прямого поиска

Процесс получения оценок параметров эконометрической модели согласно методу прямого поиска реализуется на основе определенного алгоритма, логика… 1. На первом этапе выбираются начальные оценки параметров эконометрической…  

Методы оценки параметров, основанные на линейной аппроксимации модели

Нахождение оценок параметров модели, соответствующих глобальному минимуму, может быть осуществлено с использование такого же подхода, как и в методе… В практике оценивания параметров нелинейных эконометрических моделей… 1. Нелинейный функционал ft(a, x) в момент времени t и в точке оценок параметров a0 в соответствии с аппроксимирующей…

Методы, предполагающие линеаризацию целевой функции

Здесь следует подчеркнуть, что направление наискорейшего спуска в некоторой точке пространства параметров не обязательно указывает на точку оптимума… Градиент целевой функции S2(a, х) в произвольно выбранной исходной (нулевой)…  

Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей

  Cov(a)= se 2×(X¢×X)–1,  

Вопросы к главе XI

1. Каковы причины нелинеаризуемости моделей?

2. По каким признакам классифицируются методы оценки параметров нелинейных моделей?

3. Охарактеризуйте методы с производными и методы без производных?

4. Опишите процедуру прямого поиска.

5. В чем состоит суть методов Гаусса?

6. Опишите градиентные методы оценки параметров нелинейной модели и особенности представления целевой функции.

 

Упражнения к главе XI

Задание 11.1

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

y=f(x)+e=a×ebx+e.

 

Требуется разложить функцию f(x) в ряд Тейлора второго порядка в точке x0=0 и определить, чему равен предел разложения в ряд n-го порядка при n®¥?

 

Задание 11.2

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

Требуется записать систему нормальных уравнений для определения оценок параметров a0, a1 и a2.

Задание 11.3

Имеется нелинейное уравнение регрессии

 

 

Требуется записать “псевдолинейную” модель.

 

Задание 11.4

Имеется нелинейная однофакторная регрессионная модель

 

 

где et~(0, s2).

Требуется:

1. Вывести рекурсивные формулы для алгоритма Ньютона-Рафсона.

2. Показать, что выполняется следующее равенство:

 

где S – сумма квадратов остатков.

 

Задание 11.5

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

 

где et~N(0, s2).

Требуется показать, что оценка параметра a по методу максимума правдоподобия совпадает с оценкой a, определенной с использованием нелинейного МНК в модели

 

где et~(0, s2).

 

 

Задание 11.6

Имеется нелинейное уравнение регрессии

 

 

где et распределена по закону Коши с функцией плотности f(z)=1/p(1+z2).

Требуется построить алгоритм метода максимального правдоподобия Ньютона-Рафcона.

 

Задание 11.7

В результате оценивания по методу наименьших квадратов получается следующая линейная регрессионная модель:

 

yt=4x1t+0,5x2tt

с ковариационной матрицей

 

Сov (a)=

Требуется:

1. Рассчитать значение статистики Вальда для следующих нулевых гипотез:

а) H0 : a1×a2=1;

б) H0 : ln(a1)+ln(a2)=0.

Проанализировать взаимоотношения между двумя гипотезами и соответствующими тестами.

2. Написать псевдолинейную модель для оценки приведенной в условии модели в предположении, что верна гипотеза а) из п. 1. Описать, как можно вычислить значение критической статистики в тесте множителей Лагранжа применительно к полученному результату.

3. Вычислить значение статистики в тесте отношения правдоподобия для модели с ограничением, если сумма квадратов остатков в модели без ограничения равна 500, в модели с ограничением – 510, а величина выборки Т=40.


 

ГЛАВА XII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Особенности эконометрического прогнозирования

Термин “эконометрическое прогнозирование” обычно означает процедуру получения на основе эконометрических моделей некоторых характеристик зависимого… В этой связи следует отметить, что развитие эконометрических прогнозных…  

Рис.12.1. Типы прогнозов

 

Рисунок иллюстрирует следующую ситуацию. Оценки коэффициентов модели были получены с использованием исходной информации, относящейся к интервалу (0,Т). Текущий момент времени определен точкой Т1. В период от Т до Т1 значения независимых факторов модели известны точно, а после момента Т1 они определяются, исходя из некоторых гипотез, предположений. В этом случае расчетные значения рассматриваются как безусловные прогнозы, а значения – как условные.

Значения независимых факторов, используемых при определении прогнозных значений зависимой переменной ... образуют так называемый “прогнозный фон”, характеризующий совокупность исходных данных, необходимых для получения прогнозов. В общем случае отметим, что прогнозный фон может иметь как экзогенную, так и эндогенную природу. В первом варианте значения прогнозного фона определяются вне модели (например, значения независимых факторов в прогнозный период хi,T+t, t=1,2,... , i=1, 2,..., п; в случае получения прогноза на основе “типовой” эконометрической модели).

Во втором варианте количественные характеристики прогнозного фона определяются в рамках самой эконометрической модели (например, прогноз на основе модели авторегрессии (12.4), в которой значение прогнозного фона определено с помощью этой же модели (12.3)).

Здесь следует отметить, что при разработке прогнозов важную роль играет процедура их верификации. Ее особенности подробно рассмотрены в специальной литературе, посвященной проблемам прогнозирования. Здесь отметим, что верификация предполагает обоснование достоверности прогноза, оценки его точности, качества. Одним из важнейших этапов верификации является выявление (или невыявление) систематической ошибки при формализованном описании (экстраполяции) тенденций развития исследуемого процесса. Такая ошибка может быть порождена, например, неправильно выбранной формой основного функционала эконометрической модели f(a, x), ошибками при выборе состава входящих в нее факторов, погрешностями в оценках коэффициентов модели. Появление систематической ошибки в общем случае может быть вызвано и неверным подбором “прогнозного фона”.

Наличие такой систематической ошибки обычно приводит к тому, что прогнозные значения ..., определенные на основе эконометрической модели, будут существенно (и односторонне) отличаться от реальной тенденции развития рассматриваемого процесса.

В этой связи отметим, что разработка безусловных прогнозов на интервале (Т, Т1) – ex post forecast period – при известном прогнозном фоне может рассматриваться как один из приемов верификации прогнозов на будущий прогнозный период – ex ente forecast period. Отсутствие “систематических” расхождений между реальными значениями рассматриваемого процесса уT+1, уT+2,... и полученными с помощью эконометрической модели ... является определенной гарантией “высокого качества” используемой модели. Отметим, что “систематические” расхождения на практике между значениями уT+t и t=1,2.... ; характеризуются совпадением знаков у разностей уT+t– и ростом их величины с увеличением периода упреждения, т. е. индекса t.

Вместе с тем, следует иметь в виду, что “высокое качество” прогнозной эконометрической модели не является достаточной гарантией обоснованности эконометрических прогнозов, особенно в отдаленной перспективе. Дело в том, что в будущем тенденции развития рассматриваемых процессов, структура и сила взаимосвязей между ними могут существенно изменяться. Эти изменения могут носить эволюционный характер, накапливаясь постепенно, например, вследствие роста масштабов явлений. Они могут происходить и скачкообразно вслед за финансовыми кризисами, революционными преобразованиями в обществе и т. п. При этом “удачная” для периода (1,Т) эконометрическая модель, как правило, не сможет учесть такие изменения, поскольку она построена на основе информации, отражающей иной характер взаимосвязей между рассматриваемыми явлениями, имевший место в прошлом.

В некоторых случаях обоснованность и достоверность эконометрических прогнозов могут быть повышены путем либо корректировки самих результатов формальной экстраполяции, т. е. “предварительных” прогнозных значений ..., полученных непосредственно с использованием построенной эконометрической модели, либо предварительной (до прогноза) корректировки самой модели, исходя из некоторых дополнительных сведений, предположений. Зачастую такие корректировки осуществляются на основе экспертной информации. В отношении этого американский экономист П.Самуэльсон заметил: “... почти все эконометрики, за редким исключением, корректируют параметры моделей с помощью неформальных методов, считая, что это улучшает результат”*. Обосновывая необходимость уточнения “формальных” эконометрических прогнозов, другой американский экономист М. Уитмент пишет: “Использование эконометрических моделей позволяет опереться на критерии точных дисциплин и получить внутренне согласованные прогнозы. Однако сырые результаты модельных расчетов, так же как и их основополагающие предпосылки, должны быть подвергнуты тщательному экспертному анализу”** .

В такой ситуации при эконометрическом прогнозировании уместным является вопрос о максимально возможной глубине прогнозного периода. Однозначного ответа на него дать невозможно. Очевидно, что, чем более инерционным является рассматриваемый процесс, чем устойчивее его взаимосвязи, чем стабильнее ситуация в обществе, экономике, тем больше может быть и прогнозный период. В некоторых научных публикациях можно встретить рекомендации определять глубину эконометрического прогноза как 1/3 или 1/2 от величины оценочного периода, т. е. как 1/3Т, 1/2Т.

Обзор эконометрических прогнозных исследований свидетельствует, что многофакторные эконометрические модели, как правило, используются при разработке так называемых краткосрочных и в крайнем случае среднесрочных прогнозов. Для многих реальных социально-экономических процессов (спрос, производительность труда, выпуск продукции и т. п.) такие прогнозы разрабатываются на 5-10 временных точек (кварталов, лет – в зависимости от длины интервала (t, t+1)).

Эти рекомендации не относятся к прогнозам финансовых показателей, которые разрабатываются на основе моделей финансовой эконометрики. “Финансовые” прогнозы являются, как правило, краткосрочными (на один, два шага вперед), в то время как модели финансовой эконометрики формируются на основе достаточно длинных временных рядов исходных данных. Это связано с тем, что практически всегда имеется возможность получить “свежую” информацию о текущем уровне рассматриваемого процесса (данные с финансовых рынков становятся доступными без задержки), и на ее основе скорректировать построенную модель.

Достаточно очевидны и выводы, следствия, которые могут быть получены из эконометрических прогнозов, например, в сфере управления. В этой связи заметим, что эконометрические прогнозы разрабатываются для оценки будущих состояний рассматриваемого процесса в зависимости от ожидаемых уровней влияющих на него факторов. При этом, в общем случае факторы можно разделить на три группы: управляемые, неуправляемые и частично управляемые.

Если прогноз разрабатывается на основе неуправляемых факторов (погодные условия, состояние мировой экономики и т. п.), то и сам процесс является неуправляемым. Прогнозы таких процессов часто называют поисковыми (исследовательскими). В этом случае система управления имеет возможность только приспособиться к его тенденциям прогнозируемого процесса, учесть их при обосновании управляющих мер для соответствующего объекта.

Если факторы являются управляемыми, то система управления может сознательно выбирать, формировать их уровни, определяя тем самым наиболее рациональную, “оптимальную” для объекта тенденцию развития процесса в прогнозном периоде. Такие прогнозы обычно называют нормативными.

При частично управляемых факторах, возможности регулирования развития процесса в прогнозный период являются ограниченными. Например, из-за того что в моделях присутствуют факторы обеих групп. Часто эти ограничения обусловлены имеющимися ресурсами (финансовыми, трудовыми, сырьевыми и т. п.).

В случае управляемых и частично управляемых факторов заметим, что эконометрические модели предоставляют исследователю фактически всю информацию относительно границ управления (диапазонах изменения факторов), эффективности их использования в управлении. При этом, показатель эффективности в некоторой степени может быть определен на основании значений коэффициентов эластичности переменной у по факторам хi (в части определения реакции у на изменения хi).

Другие составляющие эффективности (стоимость затрат на реализацию управления, результаты, выгоды, к которым оно приводит) выявляются на основе экономического анализа рассматриваемой проблемы.

В связи с проблемой управления также заметим, что эконометрические модели достаточно часто используются в разработках так называемых “прогнозов-предупреждений”. Результаты таких прогнозов являются нежелательными для объекта и реакция системы управления в этом случае состоит в определении мер, способных внести необходимые коррективы в тенденции развития процесса уt в рассматриваемый период. Эти меры в данном случае выражаются в виде необходимых приростов независимых управляемых факторов.

Одной из важнейших характеристик качества прогноза является величина его доверительного интервала. Очевидно, что при прочих равных условиях чем уже этот интервал, тем более обоснованным представляется и сам прогноз, и мероприятия по управлению рассматриваемым процессом.

В общем случае можно указать на два взаимодополняющих подхода к оценке доверительного интервала прогноза – эвристический и формальный. По своей сути эвристический подход предполагает расчет размера доверительного интервала как разницы между двумя возможными “экстремальными” значениями прогнозов переменной у, полученными при подстановке в уравнение эконометрической модели определяющих их “экстремальных” значений факторов. Часто такие значения и соответствующие им прогнозы называют “пессимистическим” и “оптимистическим”: где хопт и хпесс – оптимистические и пессимистические значения независимых факторов. Тогда ширина доверительного интервала прогноза определяется как разность уоптупесс. Заметим, что рассчитанный таким образом “эвристический” доверительный интервал в большей степени характеризует возможный разброс прогнозируемого значения процесса в зависимости от разброса прогнозного фона, в свою очередь вызванного неопределенностью оценок его значений в перспективе.

Формальный подход к оценке ширины доверительного интервала прогноза предполагает расчет этой характеристики с использованием методов математической статистики. Для этого необходимо оценить дисперсию ошибки прогноза.

В общем случае ошибка эконометрического прогноза может быть определена как разность между фактическим значением рассматриваемого показателя уT+k в некоторый момент времени Т+k в будущем, которое, вообще говоря, неизвестно, и его значением k=1,2,...;

 

 

При этом предполагается, что ошибка прогноза обладает следующими двумя свойствами:

1) несмещенности, т. е. что означает, что прогноз является несмещенной оценкой истинного значения уT+k;

2) эффективности, т. е. дисперсия ошибки является минимальной среди дисперсий всех других возможных прогнозов, построенных с использованием данного эконометрического уравнения.

Далее, в предположении, что ошибка прогноза распределена согласно нормальному закону N(0, ), доверительный интервал для истинного значения прогноза может быть определен согласно следующему известному выражению:

 

где t* – табличная константа, полученная для стандартизованного нормального распределения N(0,1) при заданном уровне доверительной вероятности p*. Напомним, например, для p*=0,95 t*=1,96.

Таким образом, при определении ширины доверительного интервала эконометрического прогноза с использованием формального подхода основной проблемой является оценка дисперсии рассчитанного прогнозного значения рассматриваемого процесса.

В общем случае такая оценка может быть получена, основываясь на информации, характеризующей степень неопределенности как в инструментарии прогнозирования (модели), так и в исходных данных – прогнозном фоне. Эта неопределенность обычно выражается характеристиками соответствующих ошибок. Так, неопределенность модели определяется ошибками ее параметров, характеристики которых заданы в виде их ковариационной матрицы – Cov(a)).

В отношении прогнозного фона на практике обычно рассматривают два возможных варианта его неопределенности. Согласно первому из них прогнозный фон рассматривается как набор детерминированных показателей, т. е. предполагается, что значения независимых переменных определены точно с нулевой ошибкой. Такая ситуация возможна при разработке некоторых безусловных прогнозов, например, на основе моделей с лаговыми зависимыми переменными (см. выражение (12.5)). Однако в большинстве случаев прогнозный фон нельзя считать детерминированным. В самом деле, для моделей авторегрессии (выражения (12.3) и (12.4)), в частности, детерминированный эндогенный прогнозный фон имеет место только при разработке прогноза на момент Т+1. Значение используемое в расчете следующего прогнозного значения уже определено на основании выражения (12.3) с ошибкой.

Аналогично нет никаких гарантий, что и при экзогенном прогнозном фоне значения факторов хi,T+k, i=1,2,..., n; k=1,2,..., относящиеся к будущим моментам времени, определены абсолютно точно. Обычно эти значения также получают в ходе каких-либо прогнозных исследований (например, с использованием методов экспертного прогнозирования). В таких случаях обычно оцениваются и соответствующие характеристики ошибки их прогнозов.

Прогнозный фон с известной ошибкой называют случайным. Рассмотрим особенности методов оценки дисперсий прогнозных значений зависимой переменной при детерминированном и случайном прогнозном фоне более подробно.

Методы оценки дисперсии прогноза при детерминированном прогнозном фоне

В соответствии с процедурой разработки эконометрического прогноза, рассматриваемое прогнозное значение зависимой переменной у, например, в момент…   где ai, i=0,1,..., n – коэффициенты эконометрической модели, рассматриваемые как случайные величины; eT+1 – случайная…

Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне

  При этом дисперсии и ковариации ошибок Dхi,T+1, Dхj,T+1, в общем случае… Тогда, например, для момента Т+1 истинное значение прогноза определяется следующим выражением:

Прогнозирование на основе моделей временных рядов

Рассмотрим особенности разработки прогнозов стационарного процесса – временного ряда, описываемого обобщенной моделью авторегрессии-скользящего среднего порядка (k,m) (выражение (6.87)):

 

где в общем случае представляет собой центрированную переменную с математическим ожиданием m.

Таким образом, данную модель можно переписать в несколько измененном виде:

 

 

и после очевидных упрощений – в следующем виде:

 

 

Предположим, что оценки математического ожидания ошибок и оценок коэффициентов модели были получены на основе временного ряда у1, у2,..., уT.

Оценка точечных прогнозов.

  при известных значениях оценок коэффициентов ai, bj, i=1,...,k; j=1,...,m. Подставляя вместо переменных уt–r, ошибок e t–r и коэффициентов ai, bj соответствующие значения и оценки, на основе…

Проблемы оценки дисперсий прогнозов.

  где символ Dх означает ошибку переменной х. В случае детерминированных величин… Так, например, дисперсия прогноза процесса, разрабатываемого на один шаг вперед с помощью модели АРСС(1,1) в этом…

Оценки дисперсий прогнозов при детерминированных параметрах моделей.

Эти методы можно рассматривать как следствие более общих результатов теории прогнозирования, Г. Валдом, Н.Винером, А. Колмогоровым, П. Уиттлом. В их… Модель АР(1). В соответствии с выражением (12.34) представим модель АР(1) в виде следующего уравнения:

Модель СС(1).

  получим следующее прогнозное значение рассматриваемой переменной y:  

Модель АРСС(1,1).

    Несложно заметить, что прогнозное значение переменной уT+1 определяется следующим выражением:

Вопросы к главе XII

1. Что представляет собой “верификации прогноза”?

2. Как оценивается точность прогноза?

3. Что представляет собой “доверительный интервал прогноза”?

4. Охарактеризуйте методы оценки доверительного интервала прогноза в моделях с детерминированными и случайными параметрами.

5. Охарактеризуйте особенности прогнозирования на основе моделей временных рядов.

Упражнения к главе XII

Задание 12.1

На основании выборки из 20 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости затрат на рекламу у от годового оборота х в определенной отрасли (см. задание 2.4):

 

 

Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.

Требуется:

1. Определить 95%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной y0 при x0=30.

2. Определить 95%-е прогнозные интервалы математического ожидания целевой переменной при значениях объясняющей переменной 10, 15, 20, 25. Отобразить все прогнозные интервалы и линию регрессии на графике. Прокомментировать результат. Проверить правильность утверждения: “С доверительной вероятностью 95% все перечисленные прогнозные значения математического ожидания лежат в данном интервале ”.

3. Оценить 95%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при x0=30 и сравнить его с прогнозным интервалом в п. 1.

 

Задание 12.2

На основании выборки из 10 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости спроса на некоторое благо у домохозяйств определенной структуры (у) от цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2) (см. задание 2.15):

 

Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.

Требуется:

1. Рассчитать 95%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной y0 для значений объясняющих переменных (5,5; 1100) и (6,0; 1150).

2. Определить 95%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при таких же, как в п. 1, значениях объясняющих переменных.

 

Задание 12.3

Имеется информация о средних транспортных индексах в летний период 1999 г. (см. табл. 6.3).

Требуется на основе модели ARIMA (0,1,1), оцененной в задании 6.5, построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.

 

Задание 12.4

Имеются данные процесса контроля качества (см. табл. 6.5).

Требуется на основании модели ARIMA (1,1,1), оцененной в задании 6.6 п. 2, построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.

 

Задание 12.5

Имеется модель следующая модель GARCH(1,1):

 

 

 

Требуется построить точечный прогноз условной дисперсии на 3 периода вперед, если последнее ее расчетное значение для базисного периода равно 0,7619, а остаток составляет 0,0707.

 

Задание 12.6

На основании информации, приведенной в табл. 12.1, оценены коэффициенты структурной формы системы взаимозависимых уравнений

Сt =41,4245+0,6216×Yt+ еt;

Yt = Сt + It.

Требуется:

1. Оценить коэффициенты прогнозной формы.

2. Рассчитать точечный прогноз валового национального продукта и потребления, если объем инвестиций равен 164,50.

3. Построить 95%-й совместный прогнозный интервал для эндогенных переменных.

4. Определить 95%-е прогнозные интервалы для отдельно взятых эндогенных переменных.

 

 

Таблица 12.1

Период Потребление, Сt Валовый национальный продукт, Yt Инвестиции, It
226,37 308,599 95,12
239,93 327,563 101,29
252,99 344,420 104,04
260,37 352,998 102,85
273,34 378,819 112,39
292,11 401,523 118,77
300,62 411,201 120,35
303,63 406,023 112,61
317,39 442,000 116,60
342,41 477,637 129,28
367,55 533,110 143,03
386,80 562,388 154,18
402,24 583,098 161,12
412,48 609,915 161,64
413,79 611,528 140,35
425,93 600,410 133,98
441,68 628,388 143,25
445,50 643,152 151,46

 


КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

adjustedR2 скорректированный коэффициент детерминации

autocorrelation function (ACF)– автокорреляционная функция

autoregressive conditional heteroscedasicity (ARCH)– авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью

autoregressive model (AR)– авторегрессионная модель

autoregressive integrated moving average model (ARIMA)– интегрированная модель авторегрессии-скользящего среднего

best linear unbiesed estimator (BLUE) –лучшая (эффективная) оценка в классе линейных несмещенных оценок

binary variable – бинарная переменная, которая может принимать значения 0 и 1

Box-Jenkins model (ARIMA) – модель Бокса и Дженкинса, интегрированная модель авторегрессии-скользящего среднего

censored model – модель, основанная на цензурированной выборке, зависимые переменные ограничиваются некоторым пороговым значением

classical normal regression (CNR)– классическая регрессионная модель, ошибки которой имеют совместное нормальное распределение

classical regression (CR)– классическая регрессионная модель

coefficient of determination (R-squared) – коэффициент детерминации

conditional distribution – условное распределение

confidence interval– доверительный интервал

consistent estimator– состоятельная оценка

convergence in distribution – конвергенция по распределению

correlation– корреляция

correlation coefficient– коэффициент корреляции

count data – счетные данные

covariance– ковариация

cross-section data – поперечные данные, показатели, характеризующие разные объекты в фиксированный момент времени

density function– функция плотности

dependent variable– зависимая переменная

distributed lags model – модель распределенных лагов

distribution – распределение

dummy variable – фиктивная переменная

duration model – модель “времени жизни”

efficient estimator – эффективная оценка

endogenous variable – эндогенная переменная, переменная, определяемая внутри модели

estimator – оценивание

exogenous variable – экзогенная, внешняя по отношению к модели переменная

explanatory variables – объясняющие переменные

exponential smoothing– экспоненциальное сглаживание

fitted value – прогнозное значение

generalized autoregressive conditonal heteroscedasticity model (GARCH)– обобщенная авторегрессионная условно гетероскастичная модель

generalized least squres (GLS) estimation– обобщенный метод наименьших квадратов

goodness-of-fit– качество приближения моделью данных

hazard rate– интенсивность отказов

heteroscedasticity– гетероскедастичность, непостоянство дисперсии

homoscedasticity– гомоскедастичность, постоянство дисперсии

idempotent matrix– идемпотентная матрица

independent variable – независимая переменная

index function– индексная функция

indirect least squares– косвенный метод наименьших квадратов

information matrix– информационная матрица

instrumental variable (IV)– инструментальная переменная

intersept– свободный член

joint distributoin– совместное распределение

kernel estimator – метод оценивания непараметрической регрессии

lag operator– оператор сдвига

lagged variable– запаздывающая переменная

latent variable– скрытая, ненаблюдаемая переменная

law of large numbers– закон больших чисел

likelihood function– функция правдоподобия

linear probability model– линейная модель вероятности

linear regression model– линейная регрессионная модель

logit modellogit-модель, нелинейная модель бинарной зависимой переменной, основанная на логистическом распределении ошибки

loglikelihood function– логарифм функции правдоподобия

marginal distribution – маржинальное распределение, распределение одной или нескольких компонент случайного вектора

maximum likelihood (ML)– метод максимальльного правдоподобия

maximum likelihood estimate – оценка максимального правдоподобия

maximum likelihood estimator – оценивание с помощью метода максимального правдоподобия

maximum score estimator (MSCORE) – оценивание по методу максимального счета

mean– математическое ожидание

mean absolute deviation– среднее абсолютное отклонение

mean absolute percentage error– среднее относительное отклонение

mean squared error– среднеквадратическая ошибка

model for binary choice– модель бинарного выбора

model for multiple choice– модель множественного выбора

model specification– спецификация модели

moving average– скользящее среднее

moving average (MA) model– модель скользящего среднего

multicollinearity– мультиколлинеарность

multiple regression model– модель множественной регрессии

normal (Gaussian) distribution– нормальное (Гаучссовское) распределение

OLS-estimator– оценивание с помощью метода наименьших квадратов

ommited variables – пропущенная (невключенная в модель) независимая переменная

ordired data – упорядоченные данные

ordinary least squares (OLS) method– метод наименьших квадратов

panel data– сочетание временного и поперечного ряда, т. е. совокупность показателей, относящихся к разным объектам, за определенный период времени

partial autocorrelation function (PACF)– частная автокорреляционная функция

partial correlation coefficient– частный коэффициент корреляции

probit modelprobit-модель, нелинейная модель бинарной зависимой переменной, основанная на нормальном распределении ошибки

qualitative variable – качественная переменная

random utility model– модель случайной полезности

random walk– случайное блуждание

ranking variable– ординальная, порядковая, ранговая, переменная

reduced form of the model– приведенная или прогнозная форма модели

residuals– остатки

restricted regression– регрессия с ограничениями на параметры

sample– выборка

sample mean (variance, covariance, moment etc.)– выборочное среднее (дисперсия, ковариация, момент и т. д.)

seemingly unrelated regression (SUR)– система внешне несвязанных уравнений

selection model– модель, основанная на случайно усеченной выборке

serial correlation– корреляция между показателями, относящимися к разным моментам времени

significance level – уровень значимости

simultaneous equations – одновременные уравнения

slope– коэффициент наклона

standart deviation– стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии)

stationary time series – стационарный временной ряд

strictly stationary process – строго стационарный процесс, стационарный в узком смысле процесс

time-series data– временной ряд

truncated model– модель, построенная для усеченной выборки, т. е. такой, из котрой исключены некоторые наблюдения

two-stage least squares (2SLS)– двухшаговый метод наименьших квадратов

unbiased estimator– несмещенная оценка

unrestricted regression – модель без ограничений на параметры

variance– дисперсия

variance (covariance) matrix– ковариационная матрица

weighted least squares – взвешенный метод наименьших квадратов

white noise– “белый шум”, процесс с независимыми одинаково распределенными значениями с нулевыми средними


ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Функция стандартного нормального распределения

Ф(z)= ò

z 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,6948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6301 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7167 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7464 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,9707 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9723 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9783 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9830 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9868 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9898 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9922 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9941 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9956 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9967 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9976 0,9977 0,9978 0,9979 0,9980 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9982 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Двусторонние квантили распределения Стьюдента

Число степеней a
свободы 0,1 0,05 0,01
6,314 12,706 63,657
2,920 4,303 9,925
2,353 3,182 5,841
2,132 2,776 4,604
2,015 2,571 4,032
1,943 2,447 3,707
1,895 2,365 3,449
1,860 2,306 3,355
1,833 2,262 3,250
1,812 2,228 3,169
1,796 2,201 3,106
1,782 2,179 3,055
1,771 2,160 3,012
1,761 2,145 2,977
1,753 2,131 2,947
1,746 2,120 2,921
1,740 2,110 2,898
1,734 2,101 2,878
1,729 2,093 2,861
1,725 2,086 2,845
1,708 2,060 2,878
1,697 2,042 2,750
1,684 2,021 2,704
1,676 2,009 2,678
1,660 1,984 2,626
1,652 1,972 2,601
¥ 1,645 1,960 2,576

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Таблица критерия Дарбина-Уотсона для a= 0,05

  п=1 п=2 п=3 п=4 п=5
Т d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2
0,610 1,400
0,700 1,356 0,467 1,896
0,763 1,332 0,559 1,777 0,368 2,287
0,824 1,320 0,624 1,699 0,455 2,128 0,296 2,588
0,879 1,320 0,697 1,641 0,525 2,016 0,376 2,814 0,243 2,822
0,927 1,324 0,758 1,604 0,595 1,928 0,444 2,283 0,316 2,645
0,971 1,331 0,812 1,579 0,658 1,864 0,512 2,177 0,379 2,506
1,010 1,340 0,861 1,562 0,715 1,816 0,574 2,094 0,445 2,390
1,045 1,350 0,905 1,551 0,767 1,779 0,632 2,030 0,505 2,296
1,077 1,361 0,946 1,543 0,814 1,750 0,685 1,977 0,562 2,220
1,106 1,371 0,982 1,539 0,857 1,728 0,734 1,935 0,615 2,157
1,133 1,381 1,015 1,536 0,897 1,710 0,779 1,900 0,664 2,104
1,158 1,391 1,046 1,535 0,933 1,696 0,820 1,872 0,710 2,060
1,180 1,401 1,074 1,536 0,967 1,685 0,859 1,848 0,752 2,023
1,201 1,411 1,100 1,537 0,998 1,676 0,894 1,828 0,792 1,991
1,221 1,420 1,125 1,538 1,026 1,669 0,927 1,812 0,824 1,964
1,239 1,429 1,147 1,541 1,053 1,664 0,958 1,797 0,863 1,940
1,257 1,437 1,168 1,543 1,078 1,660 0,986 1,785 0,895 1,920
1,273 1,446 1,188 1,546 1,101 1,656 1,013 1,775 0,925 1,902
1,288 1,454 1,206 1,550 1,123 1,654 1,038 1,767 0,953 1,886
1,352 1,489 1,284 1,567 1,214 1,650 1,143 1,739 1,071 1,833
1,442 1,544 1,391 1,600 1,338 1,659 1,285 1,721 1,230 1,786
1,503 1,585 1,452 1,628 1,421 1,674 1,378 1,721 1,335 1,771
1,549 1,616 1,514 1,652 1,480 1,689 1,444 1,727 1,408 1,767
1,583 1,641 1,554 1,672 1,525 1,703 1,494 1,735 1,464 1,768
1,611 1,662 1,586 1,688 1,560 1,715 1,534 1,743 1,507 1,772
1,635 1,679 1,612 1,703 1,589 1,726 1,568 1,751 1,542 1,776
1,654 1,694 1,634 1,715 1,613 1,736 1,592 1,758 1,571 1,780
1,720 1,746 1,706 1,760 1,693 1,774 1,679 1,789 1,665 1,802
1,758 1,778 1,748 1,789 1,736 1,799 1,728 1,810 1,718 1,820

 

 

Окончание приложения 2

  п=6 п=7 п=8 п=9 п=10
Т d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2
0,203 3,005
0,268 2,832 0,171 3,149
0,328 2,692 0,230 2,985 0,147 3,266
0,389 2,572 0,286 2,848 0,200 3,111 0,127 3,360
0,447 2,472 0,343 2,727 0,251 2,979 0,175 3,216 0,111 3,438
0,502 2,388 0,398 2,624 0,304 2,860 0,222 3,090 0,155 3,304
0,554 2,318 0,451 2,537 0,356 2,757 0,272 2,975 0,198 3,184
0,603 2,257 0,502 2,461 0,407 2,667 0,321 2,873 0,244 3,073
0,649 2,206 0,549 2,396 0,456 2,589 0,369 2,783 0,290 2,974
0,692 2,162 0,595 2,339 0,502 2,521 0,416 2,704 0,336 2,885
0,732 2,124 0,637 2,290 0,547 2,460 0,461 2,633 0,380 2,806
0,769 2,090 0,677 2,246 0,588 2,407 0,504 2,571 0,424 2,734
0,804 2,061 0,715 2,208 0,628 2,360 0,545 2,514 0,465 2,670
0,837 2,035 0,751 2,174 0,666 2,318 0,584 2,464 0,506 2,613
0,868 2,012 0,784 2,144 0,702 2,280 0,621 2,419 0,544 2,560
0,998 1,931 0,926 2,034 0,854 2,141 0,782 2,251 0,712 2,363
1,175 1,854 1,120 1,924 1,064 1,997 1,008 2,072 0,945 2,149
1,219 1,822 1,246 1,875 1,201 1,930 1,156 1,986 1,110 2,044
1,372 1,808 1,335 1,850 1,298 1,894 1,260 1,939 1,222 1,984
1,433 1,802 1,401 1,837 1,369 1,873 1,337 1,910 1,305 1,948
1,480 1,801 1,428 1,831 1,425 1,861 1,397 1,893 1,369 1,925
1,518 1,801 1,494 1,827 1,469 1,854 1,445 1,881 1,420 1,909
1,550 1,803 1,528 1,826 1,506 1,850 1,484 1,874 1,462 1,898
1,651 1,817 1,637 1,832 1,622 1,847 1,608 1,862 1,594 1,877
1,707 1,831 1,697 1,841 1,686 1,852 1,675 1,863 1,665 1,874

 


ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица критерия Фишера для a = 0,05

n1 n2
18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4
10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96
6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74
5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,26 4,21 4,15 4,10 4,06
5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,69 3,64
5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35
5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14
4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98
4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85
4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75
4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67
4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60
4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54
4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49
4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45
4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41
4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38
4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35
4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,38 2,24
4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16
4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08
4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03
4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99
3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,14 2,07 2,02 1,97
3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95
3,95 3,10 2,71 2,47 2,32 2,20 2,11 2,04 1,99 1,94
3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93
3,92 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88
¥ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83

n1 число степеней свободы числителя, n2 – число степеней свободы знаменателя.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Квантили распределения c2(n)

 

n a 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995
0,000039 0,00016 0,00098 0,0039 0,0158 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88
0,0100 0,0201 0,0506 0,1026 0,2107 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60
0,0717 0,115 0,216 0,352 0,584 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84
0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86
0,412 0,554 0,831 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75
0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55
0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28
1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 21,96
1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59
2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19
0,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,73 26,76
3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30
3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82
4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32
4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80
5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27
6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 31,53 34,81 37,16
7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00
9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56
13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 63,67
20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77
35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95
51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 96,58 101,88 106,6 112,3 116,3
67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 118,50 124,34 129,6 135,8 140,2
83,85 86,92 91,58 95,70 100,62 140,2 146,57 152,2 159,0 163,6

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

* Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.

* Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление/Пер. в анг./ – М.: Мир, 1974.

* Грубер Й. Эконометрия 1: Введение во множественную регрессию и эконометрию. Ч.1,2,3. Б.м.: Б.и., 1993.

* Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

* Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА – М., 1997.

* Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. М.: Финансы и статистика, 1987-88.

* Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрика. М.: Статистика, 1977.

* Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. М.: Дело, 2000.

* Ферстер Э., Ренц Б. Методы регрессионного и корреляционного анализа: Руководство для экономистов. М.: Финансы и статистика, 1983.

* Уотшем Т. Дж, Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: ЮНИТИ, 1999.

* Berndt E.R. The practice of econometrics. Classic and contemporary. Adisson-Wesley Publishing Company. Reading-Massachusetts-Menlo Parc-California, 1990.

* Cambell J.Y. and other. The Econometric of Financial Markets. Princeton. Univercity. New Jersey, 1997.

* Econometric models and economic forecasts/Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld. McGraw-Hill, Inc. 1999.

* Goldberger A. A Course in Econometrics. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1990.

* Green W.H. Econometric Analysis, 3rd edition. Prentice-Hall, 1997.

* Hamilton J. D. Time sries Analysis. Princeton University Press, 1994.

* Johnston J., DiNardo J. Econometric methods. International Editions. 1997.

* Kennedy P. A Guide to Econometrics. 4th edition, Blakwell Publishers, 1998.

* Magnus J.R. and Neudecker H. (1999). Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Revised Edition, N. Y., Wiley.

* Verbeek M. A Guide to Modern Econometrics. Wiley, 2000.

 

Программа дисциплины

Составители: д.э.н., профессор ТИХОМИРОВ Н.П. к.э.н., доцент ДОРОХИНА Е.Ю.  

I.Проблемы обоснования эконометрической модели

 

Исходные предпосылки эконометрического моделирования. Зависимые и независимые переменные. Типы исходных информационных массивов — статический и динамический. Функциональные зависимости между переменными — линейная, степенная, гиперболическая и т.д. Формула эконометрической модели как отображение закономерностей развития процесса. Методы линеаризации формы эконометрической модели.

Экономический смысл коэффициентов модели, их связь с коэффициентами эластичности.

Методы отбора факторов. Коэффициенты парной и множественной корреляции. Корреляционная матрица. Отбор факторов на основе корреляционного анализа (пошаговое наращивание числа факторов). Явление ложной корреляции.

Пошаговое уменьшение числа факторов. Коэффициенты множественной корреляции и детерминации, критерий Фишера, критерий Стьюдента.

Деловая игра “Отбор факторов для эконометрической модели”.

II.Методы оценки параметров линейных

Эконометрических моделей

Процедуры оценивания по методу наименьших квадратов (МНК). Исходные предпосылки классической регрессии. Условия несмещенности, эффективности и состоятельности коэффициентов модели. Способы оценки ковариационных матриц остатков и ошибок коэффициентов модели.

Однофакторная и двухфакторная линейные модели как частные случаи эконометрической модели.

Метод максимального правдоподобия. Метод моментов. Преимущества и недостатки этих методов по сравнению с МНК.

Критерии адекватности эконометрической модели: критерии Фишера, Дарбина-Уотсона, выборочный парный коэффициент корреляции, критерий Стьюдента, множественный коэффициент детерминации, вычисляемый между объясняющими переменными.

 

III.Методы оценки коэффициентов эконометрической

Модели при коррелирующих или нестационарных ошибках

Обобщенный МНК и особенности его использования в оценках коэффициентов модели. Зависимость ошибок модели и ковариационная матрица ошибок. Причины появления зависимости между ошибками.

Эконометрические модели с коррелирующими ошибками. Модели зависимых ошибок (авторегрессии и скользящего среднего).

Методы оценки ковариационной матрицы ошибок.

Двухшаговый МНК и особенности его использования.

Модели с гетероскедастичными ошибками. Причины непостоянства дисперсии ошибки. Тестирование на гетероскедастичность. Взвешенные эконометрические модели. Методы построения ковариационной матрицы при гетероскедастичных ошибках. Особенности оценки параметров моделей с гетероскедастичными ошибками.

 

IY.Модели с коррелирующими факторами

Рекурентные методы оценки параметров эконометрических моделей. Гребневые оценки коэффициентов.

Исходные предпосылки использования метода главных компонент. Преимущества и недостатки моделей с главными компонентами. Экономический смысл главных компонент.

Метод построения главных компонент.

Матрица главных компонент и ее связь с матрицей исходных факторов. Оценки потерь в информации при использовании главных компонент. Применение метода главных компонент при построении моделей потребления продуктов питания.

Модели с лаговыми независимыми переменными как пример моделей с коррелирующими факторами. Преобразование объясняющих переменных. Особенности определения ковариационной матрицы оценок коэффициентов. Определение величины максимального лага. Оценка коэффициентов модели на основе метода Ш.Алмон. Использование метода Ш.Алмон при моделировании ввода фондов и капитальных вложений.

 

Y. Модели с лаговыми зависимыми переменными

Проблемы построения моделей с лаговыми зависимыми переменными. Модель Койка. Модели ожиданий.

Методы оценки коэффициентов эконометрических моделей, содержащих лаговые зависимые переменные. Инструментальные переменные. Трехшаговый МНК.

 

YI.Линейные модели временных рядов

Стационарный процесс второго порядка. Методы преобразования наблюдаемого ряда к стационарному процессу. Тесты на стационарность. Классификация тестов. Примеры параметрических и непараметрических тестов.

Модели авторегрессии.

Модели скользящего среднего.

Модели авторегрессии-скользящего среднего. Взаимосвязи в системе моделей авторегрессии-скользящего среднего.

Применение моделей авторегрессии, скользящего среднего и авторегрессии скользящего среднего в анализе динамики курса акций.

Автокорреляционная функция. Уравнение Юла-Уокера. Оценка дисперсий коэффициентов автокорреляции.

Процедуры идентификации моделей.

YII.Модели финансовой эконометрики

Гипотезы финансовой эконометрики — гипотезы случайного блуждания (ГСБ). ГСБ-1, ГСБ-2, ГСБ-3. Их различия. Тестирование гипотез финансовой… Модели ГСБ-1. Броуновское движение. Методы оценки параметров Броуновского… Модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией. Тестирование изменяющейся вариации. Типы моделей с изменяющейся…

YIII.Системы взаимозависимых эконометрических моделей

Основные предпосылки систем взаимозависимых переменных. Доказательство смещенности оценок коэффициентов уравнений, полученных с использованием МНК.

Структурные и предопределенные переменные. Структурная и приведенная формы модели. Макроэкономические модели I и II типа как иллюстрация системы взаимозависимых уравнений.

Оценки коэффициентов с использованием ограничений на структурные параметры. Примеры ограничений. Условия существования решений.

Рекурсивные системы моделей. Использование МНК в оценках коэффициентов рекурсивных моделей.

Двухшаговый и трехшаговый МНК в оценке коэффициентов моделей.

 

IX.Модели с переменной структурой

Причины изменчивости структуры модели и способы ее отображения в уравнении регрессии. Критерии постоянства и изменчивости структуры.

Представление исходной информации в моделях с переменной структурой. Специальные приемы обнаружения изменчивости структуры модели и закономерностей этого процесса с использованием статической и динамической информации.

Типы моделей с переменной структурой. Модели с переключениями. Модели с эволюционирующими коэффициентами. Уравнение фильтра Калмана, адаптивная регрессия.

Особенности оценки коэффициентов моделей с переменной структурой.

 

X.Модели с дискретными зависимыми переменными

Измерение зависимой переменной в дихотомической шкале. Проблемы построения моделей с дискретными зависимыми переменными. Probit-, Logit-, Tobit-модели. Оценивание параметров. Использование нелинейной и линейной регрессионных моделей с гетероскедастичными остатками. Взвешенный МНК.

Примеры моделей с дискретными зависимыми переменными.

XI. Методы оценки параметров нелинейных моделей

Причины нелинеаризуемости моделей. Классификация оценки параметров нелинейных моделей. Критерий оценки.

Методы с производными и методы без производных. Построение процедур прямого поиска. Методы Гаусса и представление целевой функции. Процедура оценки коэффициентов модели по методу Гаусса-Зайделя.

Градиентные методы оценки параметров нелинейной модели и представления целевой функции.

Процедуры оценки параметров градиентными методами.

XII. Использование эконометрических моделей

В прогнозировании социально-экономических процессов

  3.Перечень примерных контрольных вопросов для самостоятельной работы. · Как выглядят линейная и степенная эконометрическая модели?

– Конец работы –

Используемые теги: Эконометрика0.037

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЭКОНОМЕТРИКА

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Лекция 1. Предмет, задачи и методы эконометрики
Цели и задачи изучения темы... изучить предмет задачи и методы эконометрики... Основные понятия эконометрики Измерения в экономике Наблюдение сводка и группировка статистических данных...

ГОТОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Эконометрика
Федеральное агентство по образованию... Санкт Петербургский государственный... Университет сервиса и экономики...

ЭКОНОМЕТРИКА
ЭКОНОМЕТРИКА Методические указания к выполнению контрольной работы... Цель дисциплины... Цель дисциплины Эконометрика заключается в том чтобы дать студентам представление о содержании эконометрики как...

Курс лекций по дисциплине Эконометрика. В последнее время специалисты
Введение... В последнее время специалисты обладающие знаниями и навыками проведения прикладного экономического анализа с...

ЭКОНОМЕТРИКА
САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ... ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ... ЭКОНОМЕТРИКА Санкт Петербург...

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭКОНОМЕТРИКЕ
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ... ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ... Кафедра статистики и эконометрики...

ЛЕКЦИЯ 1 1. Под редакцией И. И. Елисеевой Эконометрика, М,: Финансы и статистика, -2001 г
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... Под редакцией И И Елисеевой Эконометрика М Финансы и статистика г Под редакцией И И Елисеевой Практикум по эконометрике М Финансы и статистика г...

Эконометрика
Г М Булдык... Эконометрика...

Эконометрика
Г М Булдык... Эконометрика...

ЭКОНОМЕТРИКА
ЭКОНОМЕТРИКА Учебно методическое пособие...

0.032
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • ЭКОНОМЕТРИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ... МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра ИС и ПМ...
  • ЭКОНОМЕТРИКА КАК НАУКА ЭКОНОМЕТРИКА КАК НАУКА... КОРРЕЛЯЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ... ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ...
  • Эконометрика Приведены таблицы для отыскания критических значений статистик, используемых для проверки гипотез, необходимых в эконометрическом анализе. Пособие… Такую величину называют объясняемой переменной функцией или результативным… Пусть имеется p объясняющих переменных X1, X2 Xp и зависимая переменная Y. Переменная Y - случайная величина, имеющая…
  • Контрольная по эконометрике Линейный коэффициент корреляции чаще всего рассчитывается по формуле: Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Равенство… Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака…
  • Эконометрика Поле корреляции и линия регрессии: Сначала построим поле корреляции – точки с координатами (хi, уi), и принимая во внимание экономические… Используя для этого классический подход, который основан на методе наименьших… Итак, полученный линейный коэффициент корреляции , коэффициент регрессии b1= 0,314 и коэффициент детерминации …