Преобразование нестационарных временных рядов в стационарные

Реальные процессы свойством стационарности второго порядка могут и не обладать. Однако с помощью достаточно несложных преобразований часто удается привести наблюдаемый ряд к стационарному процессу.

Примерами таких преобразований являются:

а) взятие конечных разностей

 

 

D y_t – первая разность. Это преобразование целесообразно использовать, когда закон изменения y_t близок к линейному.

 

 

D х_t – вторая разность. Преобразование применяется, когда закон изменения y_t близок к квадратической зависимости и т. д.;

б) логарифмирование цепных индексов

 

 

Применяется при экспоненциальном росте у_t, t =1,2,..., Т;

в) расчет темпов прироста

 

 

а также некоторые другие.

Заметим, что преобразование (6.41) предоставляет исследователю несколько большие “удобства” в формировании исходной информации по сравнению с другими. Это связано с тем, что оно позволяет достаточно просто изменять временные серии исходных данных в связи, например, с укрупнением временных интервалов. В самом деле, предположим, что возникла необходимость проанализировать временные ряды серии удвоенного временного интервала (t–1, t+1), т. е., например, у₁, у₃, у₅,..., у_t–1, у_{t +1},... . Для такой серии преобразование (6.41) приводит к следующему временному ряду:

 

 

где х_{t+1, 2} – преобразованное значение показателя на удвоенном интервале.

Его величина представляет собой простую арифметическую сумму преобразованных значений показателей исходных интервалов, объединение которых привело к новой серии.

В то же время для преобразования (6.42) в этом случае получим более сложное выражение, определяющее для значения нового временного ряда:

 

 

Для превращения исходного нестационарного ряда в стационарный могут быть использованы и другие преобразования. Например, х_t=lnу_t, и т. д. В каждом конкретном случае, выбирая преобразование, необходимо исходить из примерной формы временного графика зависимости у_t. “Удачное” преобразование должно обеспечивать приблизительное выполнение условия x_t=f(у_t)»const.

В условиях постоянства математического ожидания и дисперсии особенности конкретного стационарного процесса второго порядка полностью определяются характером его автокорреляционной функции, имеющей вид зависимости значений коэффициентов автокорреляции от сдвига. Иными словами, автокорреляционная функция является дискретной и представляет собой последовательность значений коэффициентов автокорреляции r₀, r₁,..., r_i–1,..., поставленных в зависимость от сдвига i, где r₀=1, –1£r_i£1, i=1,2,... .

Аналогично можно сформировать автоковариационную функцию стационарного процесса у_t, представив ее в виде последовательности коэффициентов автоковариаций g₀, g₁,..., g_i,..., поставленных в зависимость от сдвига i. Напомним, что между соответствующими значениями этих функций существует однозначная взаимосвязь g_i =r_i ×s _y², i=0,1,... , т. е. g ₀=s _y².

Автокорреляционную функцию можно представить как проекцию диагональных элементов автокорреляционной матрицы на ось сдвигов (см. рис. 6.1).

Все множество стационарных процессов второго порядка в общем случае в зависимости от особенностей их автокорреляционных функций разбивается на несколько однородных групп, для каждой из которых можно подобрать и построить адекватную модель.

В общем случае можно выделить три группы таких моделей – модели авторегрессии (autoregressive), модели скользящего среднего (moving average) и смешанные модели авторегрессии-скользящего среднего (autoregressive- moving average).

 

 

r₀ r₁ r₂ r₃ r₄ r₅ i

r₀ 1 0,9 0,6 0,3 –0,2 0,1

r_–1 0,9 1 0,9 0,6 0,3 –0,2

r_–2 0,6 0,9 1 0,9 0,6 0,3

r_–3 0,3 0,6 0,9 1 0,9 0,6 5

r_–4 –0,2 0,3 0,6 0,9 1 0,9 3

r_–5 0,1 –0,2 0,3 0,6 0,9 1 1

0

–1