Модели процессов со скачками вариации

Для описания процессов с редкими скачками вариации, вызванными в основном экстраординарными событиями, обычно используются модели, в которых дополнительно к выражению (7.101) вводится ограничение на вероятность такого скачка в произвольный момент времени t. Обычно предполагается, что р(M[v_t]=M[v_t+1])=a, где a®1. Иногда количество скачков за определенный период времени (например, за год) предполагается постоянным.

Примером такого типа моделей является модель с марковской вариацией. Она формируется на основе следующих предпосылок.

Предположим, что переменная v_t может принимать только два значения s₁ и s₂, каждое с вероятностью 1/2, t=1,2,... . И в каждый момент времени t существует вероятность (1–a), что текущее значение этой переменной может поменяться на альтернативное, т. е. вероятность того, что s₁ изменится на s₂ и, наоборот, равна (1–a), где a – величина, близкая к 1, a<1. Обозначим

 

 

где, как и ранее, процессы v_t и u_t независимы, и u_t – строгий белый шум, u_t ~ N(0,1).

Несложно показать, что процесс х_t обладает нулевой автокорреляционной функцией, начиная с первого коэффициента, т. е. по своим свойствам он близок к белому шуму. В самом деле, в силу независимости процессов u_t и u_t–i, i =1,2,... имеем

 

 

Вообще говоря, значения дисперсии этого процесса на различных временных отрезках могут различаться между собой. Вместе с тем, заметим, что в общем случае значение безусловной дисперсии процесса х_t определяется следующим выражением:

 

 

Выражение (7.106) можно получить, отталкиваясь от понятия условной дисперсии случайной величины х_t при известных значениях v_t–1, v_t–2,... (D(х_t/v_t–1, v_t–2,...)), величина которой определяется следующим образом:

 

 

Выражение (7.107) было получено с учетом того, что если в момент t–1 случайная переменная v_t–1 была равна s₁, то р(v_t=s₁)=a, а р(v_t =s₂)=1–a и наоборот, если v_t–1 была равна s₂, р(v_t=s₂)=a, а р(v_t=s₁)=1–a .

На основании этого (7.107) можно переписать в следующем виде:

 

D(x_t / v_{t - 1}) =

 

Из выражения (7.108) в частности, вытекает, что условные дисперсии рассматриваемого процесса х_t различаются между собой.

С учетом того, что р(v_t–1=s₁)=р(v_t–1=s₂)=1/2 из (7.108) непосредственно следует выражение (7.106):

 

 

Важной характеристикой, которая позволяет идентифицировать процессы, соответствующие модели (7.101) с редкими скачками вариации, является автокорреляционная функция процесса х_t². В общем случае значение i-го коэффициента автокорреляции r_i(х_t²) определяется следующим образом:

 

 

где

Четвертые моменты переменной х_t, входящие в выражение (7.109), с учетом (7.103) получим для i=1 следующим образом:

 

 

При выводе выражения (7.111) учтено, что

1) коэффициент эксцесса случайной переменной u_t, распределенной по нормальному закону, равен 3. При этом его величина для переменной u_t рассчитывается согласно следующему выражению:

 

поскольку u_t~N(0,1), то из (7.112) непосредственно следует, что M[u_t ⁴ ]=3;

2) значение M[v_t⁴] определяется с учетом равновероятных событий v_t=s₁ и v_t=s₂ как

 

 

Подставляя все известные моменты случайной величины х_t² в выражение (7.109), после несложных преобразований получим:

 

 

При получении второго коэффициента автокорреляции процесса х_t² – r₂(х_t²) необходимо анализировать различные варианты последовательностей v_t, v_t–1, v_t–2 с учетом того, что переменная v_t может принимать только значения s₁ иs₂. Опуская достаточно громоздкие выражения, приведем окончательное выражение этого показателя

 

 

Далее также можно показать, что значение i-го коэффициента автокорреляции процесса х_t² определяется общей формулой

 

 

Из выражений (7.114)–(7.116) непосредственно следует, что при a®1 для коэффициентов автокорреляции любого порядка процесса х_t² справедливо следующее соотношение:

 

 

Из выражений (7.114) и (7.115) непосредственно следует, что

 

 

Значения s₁ иs₂ могут быть определены, например, из уравнений (7.106), (7.110) или (7.111) при рассчитанных для ряда х_t значениях M[х_t²], M[х_t⁴] и M[х_t², х_t–1²].

Как это было показано в главе VI (см. раздел (6.5)), выражение (7.116) позволяет считать процесс х_t² адекватным АРСС(1,1) с малыми, но медленно спадающими значениями коэффициентов автокорреляции.