Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы систем взаимозависимых эконометрических моделей

В разделе 8.2. было показано, что использование МНК приводит к смещению оценок коэффициентов только структурной формы модели. В силу статистической независимости экзогенных переменных и ошибок структурной и приведенной форм оценки коэффициентов приведенной формы, полученные с использованием МНК, являются несмещенными (часто имеется в виду свойство их состоятельности). При этом ничто не мешает с помощью этого метода определить оценки коэффициентов каждого уравнения приведенной формы отдельно от других.

Это замечание наводит на мысль использовать для оценки коэффициентов структурной формы алгебраическое матричное уравнение (8.15) или его аналог, который может быть представлен в следующем виде:

 

С =–А^–1 ×В ÞА×С +В =0, (8.36)

 

где 0 обозначает матрицу соответствующего размера с нулевыми элементами.

В выражении (8.36) в качестве неизвестных рассматриваются элементы матриц структурной формы А и В, в то время как элементы матрицы приведенной формы С являются известными. Их можно определить путем использования МНК для оценки коэффициентов приведенной формы (8.13), (8.14) при известных значениях эндогенных и экзогенных переменных. Такой подход получил название косвенного метода оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей.

Теоретически косвенный метод представляется вполне приемлемым. Оценки коэффициентов матрицы С в силу независимости экзогенных переменных и ошибок соответствующих приведенных уравнений являются несмещенными и эффективными. Однако, к сожалению, как свидетельствуют результаты практических исследований, оценки коэффициентов структурной формы, полученные путем решения системы уравнений типа (8.36), свойство несмещенности, как правило, теряют. От оценок приведенной формы к оценкам структурной формы передается свойство состоятельности. Кроме того, использование соотношений типа (8.36) для получения оценок коэффициентов структурной формы в общем случае вообще представляется неприемлемым. В самом деле, заметим, что система (8.36) содержит т´(n+1) уравнений (по числу элементов, содержащихся в матрице 0), а неизвестных коэффициентов в общем случае в ней т²+т×(n+1), в том числе т² коэффициентов содержит матрица А, а т×(n+1) коэффициентов – матрица В. Вследствие этого система (8.36) в общем случае не имеет единственного решения.

Вместе с тем часто в конкретных исследованиях (см. примеры раздела 8.2) на коэффициенты матрицы А и В накладывают дополнительные априорные ограничения, вытекающие, например, из теоретических предпосылок, эмпирических результатов, интуитивных предположений. При достаточном количестве таких ограничений число неизвестных параметров в матрицах А и В может быть снижено до уровня, обеспечивающего разрешимость системы (8.36).

В общем случае ограничения на структурные параметры моделей системы (8.36) подразделяются на исключающие и линейно однородные. При исключающих ограничениях коэффициент при отсутствующей в уравнении переменной приравнивается к нулю. При линейно однородных ограничениях значения некоторых коэффициентов приравниваются к конкретному числу, вытекающему из условий соотношений, в которые входят соответствующие им переменные. Так, в примере 8.3 в первых трех строках в матрице В использованы только исключающие ограничения. В четвертой строке матриц А и В использованы как исключающие, так и линейно однородные ограничения, соответствующие четвертому (балансовому) уравнению системы (8.34).

Рассмотрим условия, определяющие возможности использования выражения (8.36) для оценки коэффициентов структурной формы системы (8.11), более подробно для отдельного входящего в эту систему уравнения. Для этого представим выражение (8.36) с использованием матрицы D=[AB] в следующем виде:

 

 

С

[AB] × Е_{п + 1} = D × G= 0, (8.37)

D=[AB] – матрица размера т´(т+n+1), образованная присоединением столбцов матрицы B к матрице A;